Kangourou 2025 Student finale

Intervalli razionali inscatolati con intersezione vuota

Per $a<b$ numeri razionali, l’insieme, che denoteremo con $R[a;b]$, si dice intervallo chiuso razionale se contiene tutti e soli i numeri razionali compresi fra $a$ e $b$, $a$ e $b$ inclusi. Dimostra o confuta la seguente affermazione:

“Se $\{A_n\}=\{R[a_n;b_n]\}$ ($n=1,2,\dots$) è una successione di intervalli chiusi razionali e inscatolati (cioè $A_{n+1}\subseteq A_n$ per ogni $n$), allora l’intersezione degli $A_n$ non può essere vuota.”

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Falso Fonte: apri PDF p.1

Rational intervals boxed with empty intersection

For $a<b$ rational numbers, the set, which we will denote with $R[a;b]$, is said to be ** rational closed interval** if it contains all but the rational numbers between $a$ and $b$, $a$ and $b$ included. Show or refute the following statement:

‘If $\{A_n\}=\{R[a_n;b_n]\}$ ($n=1,2,\dots$) is a sequence of closed, rational and boxed intervals (i.e. $A_{n+1}\subseteq A_n$ for each $n$), then the intersection of $A_n$ cannot be empty.’

Answer: Falso src_kangourou_2025_student_finale__QS1

In quanti modi 270 come somma interi consecutivi

In quanti modi diversi si può ottenere $270$ sommando interi positivi consecutivi?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7 Fonte: apri PDF p.1

*In as many as 270 ways as consecutive integers *

How many different ways can $270$ be obtained by adding consecutive positive integers?

Answer: 7 src_kangourou_2025_student_finale__QS2

piu lungo del diametro?

Due punti sulla circonferenza di un cerchio $\Gamma$ sono estremi di un arco $\delta$ di un’altra circonferenza. L’arco $\delta$ ripartisce il cerchio $\Gamma$ in due regioni di uguale area. È necessariamente vero che $\delta$ è più lungo del diametro di $\Gamma$?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: Si Fonte: apri PDF p.2

longer than the diameter?

Two points on the circumference of a circle $\Gamma$ are extremes of an arc $\delta$ of another circumference. The arc $\delta$ divides the circle $\Gamma$ into two regions of equal area. Is it necessarily true that $\delta$ is longer than the diameter of $\Gamma$?

Answer: Si src_kangourou_2025_student_finale__QS3

Strategia scelta mazzi di carte rosse/verdi

Io e un mio amico facciamo il seguente gioco. Su un tavolo ci sono quattro mazzetti di $7$ carte ciascuno, delle quali $4$ sono rosse e $3$ sono verdi, mescolate casualmente. Ciascun giocatore gioca con un mazzo, diverso dal mazzo dell’altro, e pesca da esso una carta a caso. I quattro mazzi assegnano punteggi diversi al giocatore a seconda che estragga una carta rossa o una verde: nello specifico, il primo mazzo assegna $6$ punti e $2$ punti rispettivamente all’estrazione di una carta rossa e di una verde, il secondo mazzo $5$ punti e $5$ punti, il terzo mazzo $4$ punti e $7$ punti, il quarto mazzo $3$ punti e $3$ punti. Naturalmente vince chi realizza il punteggio più alto.

a) Se io posso scegliere per primo un mazzo e il mio amico invece deve pescare a caso uno dei restanti tre mazzi (ed entrambi dobbiamo ancora giocare), che mazzo mi conviene scegliere?

b) Se entrambi possiamo scegliere il mazzo con cui giocare (e la scelta deve essere fatta prima di giocare), mi conviene essere il primo o il secondo a scegliere?

Topic: Probabilita e statistica, Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: a)terzo b)secondo Fonte: apri PDF p.2

Strategy selected red/green decks of cards

My friend and I play the following game. On a table there are four sets of $7$ cards each, of which $4$ are red and $3$ are green, randomly mixed. Each player plays with a deck, different from the other’s deck, and catches a random card from it. The four decks assign different scores to the player depending on whether they extract a red or a green card: specifically, the first deck assigns $6$ points and $2$ points respectively to red and green card extraction, the second deck $5$ points and $5$ points, the third deck $4$ points and $7$ points, the fourth deck $3$ points and $3$ points. Of course, the one with the highest score wins.

(a) If I can choose a deck first and my friend has to fish one of the remaining three decks at random (and we both still have to play), which deck should I choose?

(b) If we can both choose the deck to play with (and the choice must be made before playing), should I be the first or the second to choose?

Answer: a)terzo b)secondo src_kangourou_2025_student_finale__QS4

n interi distinti ciascuno divide somma altri n-1

Dimostra o confuta la seguente affermazione.

“Per ogni intero $n\ge 3$ esistono $n$ numeri interi tutti diversi fra loro tali che ciascuno di essi divida la somma dei restanti $n-1$.”

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: vera Fonte: apri PDF p.3

n distinct integers each divided by the sum of other n-1

Show or refute the following statement.

‘For each $n\ge 3$ there are $n$ integers all different from each other such that each of them divides the sum of the remaining $n-1$.’

Answer: vera src_kangourou_2025_student_finale__QS5

Numero scelte di 10 elementi con distanze crescenti

Si consideri l’insieme ordinato $S=(1,2,\dots ,n)$ dei primi $n$ interi positivi e sia $n$ sufficientemente grande per poter realizzare quanto segue. Si vuole selezionare un sottoinsieme ordinato di $S$ (cioè che erediti l’ordine da quello di $S$) di $10$ elementi tali che il secondo disti almeno $1$ dal primo, il terzo disti almeno $2$ dal secondo, il quarto almeno $3$ dal terzo e così via fino al decimo che disti almeno $9$ dal nono. Attenzione: non si chiede che la distanza tra un numero scelto e il precedente numero scelto sia crescente al crescere del numero scelto; ad esempio il secondo potrebbe distare $5$ dal primo e il terzo potrebbe distare $2$ dal secondo. Al variare di $n$ (ammissibile), quante diverse scelte sono possibili?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: (n-36)!/((n-46)!10!) Fonte: apri PDF p.3

Number of choices of 10 elements with increasing distances

Consider the ordered set $S=(1,2,\dots ,n)$ of the first $n$ positive integers and be $n$ large enough to achieve the following. You want to select an ordered subset of $S$ (i.e. you inherit the order from $S$) of $10$ such elements that the second gives at least $1$ from the first, the third gives at least $2$ from the second, the fourth gives at least $3$ from the third and so on until the tenth gives at least $9$ from the ninth. Note: the distance between a number chosen and the previous number chosen is not required to increase as the number chosen increases; for example, the second could deviate $5$ from the first and the third could deviate $2$ from the second. If $n$ is eligible, how many different choices are possible?

Answer: (n-36)!/((n-46)!10!) src_kangourou_2025_student_finale__QS6