Esiti palline rosse/verdi in due scatole e fuori
Hai una discreta mira? Come nel quesito “Hai una buona mira?” della semifinale, hai 11 palline: 6 colorate di rosso, indistinguibili fra loro, e 5 colorate di verde, indistinguibili fra loro. Ora sono due le scatole aperte, una bianca e una nera, nelle quali tenti di lanciare le palline: alcune (eventualmente nessuna) entreranno in una scatola, altre (eventualmente nessuna) nell’altra, altre (eventualmente nessuna) finiranno fuori. Quanti sono i possibili diversi esiti ? (Ad esempio: un esito è “3 palline verdi e 2 rosse nella scatola bianca, nessuna verde e 2 rosse nella scatola nera, le altre fuori”, un esito diverso è “3 palline verdi e 2 rosse nella scatola nera, nessuna verde e 2 rosse nella scatola bianca, le altre fuori”.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0588 Fonte: apri PDF p.10
Red/green ball outputs in two boxes and out*
Do you have a decent target? How about the question Have you a good goal? of the semi-final, you have 11 balls: 6 red, indistinguishable from each other, and 5 green, indistinguishable from each other. Now there are two boxes open, one white and one black, in which attempts to throw the balls: some (possibly none) will go into a box, some (possibly none) into the other, some (possibly none) will end up out. How many different possible outcomes ? (For example: one outcome is 3 green balls and 2 red balls in the white box, no green and 2 red balls in the black box, the others out, a different outcome is 3 green balls and 2 red balls in the black box, no green and 2 red balls in the white box, the others out.)
Answer: 0588 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q01
Numero poligoni di un circuito chiuso pentagoni-quadrati
Il circuito Hai a disposizione alcuni pentagoni regolari e alcuni quadrati; i lati di questi poligoni hanno tutti la stessa lunghezza. Accostandoli alternando pentagoni a quadrati, in modo che un lato di un pentagono venga a combaciare con un lato di un quadrato e viceversa, vuoi comporre restando su un piano un circuito chiuso: la costruzione dell’anello deve procedere come ti è indicato dalla figura. Ammesso che sia possibile costruirlo, da quanti poligoni risulterà formato il circuito chiuso? (Scrivete 0000 se non è possibile costruirlo).
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0020 Fonte: apri PDF p.10
Number of polygons in a closed circuit pentagon-square
The circuit has some regular pentagons and some squares available; the sides of these polygons are all the same length. By alternating pentagons into squares, so that one side of a pentagon matches one side of a square and vice versa, you want to make a closed circuit while staying on a plane: the construction of the ring must proceed as shown by the figure. Assuming it is possible to build it, how many polygons will the closed circuit consist of? (Write 0000 if you can’t build it.)
Answer: 0020 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q02
Quanti numeri scrive Marco (sequenza +29, tutte cifre 9)
Marco sta ancora scrivendo?
Marco ha iniziato a scrivere la sequenza di numeri 7, 36, 65, 94, … dove ognuno, dal secondo in poi, è il precedente aumentato di 29. Marco intende fermarsi non appena avrà scritto un numero le cui cifre siano tutte uguali a nove. Riuscirà Marco a fermarsi e, in caso affermativo, quanti numeri avrà scritto quando si sarà fermato? (Scrivete 0000 se non riuscirà a fermarsi.)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3449 Fonte: apri PDF p.10
*How many numbers does Mark write (sequence +29, all digits 9) *
Is Marco still writing? Mark started writing the sequence of numbers 7, 36, 65, 94, …where each, from the second on, is the previous one increased by 29. Marco intends to stop as soon as he has written a number whose digits are all equal to nine. Will Mark be able to stop, and if so, how many numbers will he have written when he stops? (Write 0000 if he can’t stop.)
Answer: 3449 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q03
Partite giocate in torneo a eliminazione con 2009 iscritti
Un torneo ambito Lo scorso anno ad un torneo di tennis ad eliminazione diretta hanno partecipato 32 giocatori. Nella prima fase ogni giocatore ne ha affrontato un altro (sono state giocate in totale 16 partite) e il perdente è stato eliminato. Nella seconda fase ognuno dei 16 vincenti ne ha affrontato un altro (sono state giocate in totale 8 partite) e il perdente è stato eliminato. Così si è proceduto fino alla quinta fase (la finale). Tutti gli accoppiamenti (tranne ovviamente l’ultimo) sono avvenuti per sorteggio. Quest’anno le richieste di partecipazione, tutte accolte, sono state molte di più: guarda caso proprio 2009. Il comitato organizzatore ha deciso di sorteggiare alcuni giocatori, il minor numero possibile, da ammettere direttamente alla seconda fase e rendere quindi attuabile a partire dalla seconda fase il meccanismo illustrato sopra (numero dei giocatori dimezzabile ad ogni fase). Quante partite sono state giocate complessivamente quest’anno in quel torneo?
Topic: Combinatoria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2008 Fonte: apri PDF p.10
Matches played in the knockout tournament with 2009 entries
Last year, 32 players participated in a direct knockout tennis tournament. In the first stage each player faced another (there were 16 matches played in total) and the loser was eliminated. In the second stage each of the 16 winners faced another (there were a total of 8 matches played) and the loser was eliminated. So it went on until the fifth stage (the final). All matches (except, of course, the last one) were drawn. This year, there were many more requests for participation, all of which were accepted: look at 2009. The organising committee decided to draw a number of players, as few as possible, to be admitted directly to the second stage and to make the mechanism described above (number of players halfway through each stage) applicable from the second stage. How many games were played in total this year in that tournament?
Answer: 2008 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q04
Massimo numero di sottoinsiemi a intersezione consecutiva
I sottoinsiemi speciali
Considerate l’insieme {1, 2, … , 151} dei primi 151 interi maggiori di zero. Tra tutti i suoi sottoinsiemi, volete sceglierne alcuni in modo che l’intersezione fra due qualunque di quelli che avete scelto sia costituita o da un numero solo o da una sequenza di numeri consecutivi (condizione soddisfatta, ad esempio, da entrambe le coppie di sottoinsiemi ({1, 2}, {2, 3}) e ({1, 2, 3}, {2, 3, 4}), ma non dalle coppie ({1, 2}, {3, 4}) o ({1, 2, 4}, {2, 3, 4})). Quanti sottoinsiemi potete scegliere al massimo?
Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5776 Fonte: apri PDF p.11
Maximum number of consecutive intersecting sub-sets
Special subsets Consider the sum of the first 151 integers greater than zero. From all its sub-sets, you want to choose some so that the intersection between any two of those you have chosen is either a single number or a sequence of consecutive numbers (condition satisfied, for example, by both pairs of sub-sets ({1, 2}, {2, 3}) and ({1, 2, 3}, {2, 3, 4}), but not by pairs ({1, 2}, {3, 4}) or ({1, 2, 4}, {2, 3, 4})). How many sub-sets can you pick at most?
Answer: 5776 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q05
Frazione massima <1/3 con somma num+den <=103
Trova la frazione Il numeratore e il denominatore di una frazione sono entrambi numeri interi maggiori di zero e la loro somma non supera 103; il valore della frazione è il più alto possibile compatibilmente con il fatto di essere strettamente minore di 1/3. Scrivete nell’ordine prima il numeratore e poi il denominatore della frazione.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2576 Fonte: apri PDF p.11
Maximum fraction < 1/3 with sum of numbers + den <=103*
Find the fraction The numerator and denominator of a fraction are both integers greater than zero and their sum does not exceed 103; the value of the fraction is as high as possible compatible with the fact that it is strictly less than 1/3. Write in the order first the numerator and then the denominator of the fraction.
Answer: 2576 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q06
Minimo numero di collegamenti tra 13 citta con 3 mezzi
I mezzi di trasporto In una strana nazione vi sono 13 città che possono essere collegate tra loro da uno o più dei seguenti mezzi di trasporto: autobus, treno, aereo. Il presidente, il vice-presidente e il primo ministro devono poter visitare ogni città, ma ciascuno dei tre si rifiuta di usare uno dei tre mezzi: il presidente
l’autobus, il vice-presidente il treno e il primo ministro l’aereo. Qual è il più piccolo numero di collegamenti fra le varie città che occorre predisporre per soddisfare tutte le esigenze?
Topic: Combinatoria Metodo: Teoria dei grafi Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0018 Fonte: apri PDF p.11
Minimum number of connections between 13 cities by 3 means
Transportation In a strange nation there are 13 cities that can be connected by one or more of the following means of transport: bus, train, plane. The President, the Vice-President and the Prime Minister must be able to visit each city, but each of the three refuses to use one of the three means: the President bus, the Vice-President train and the Prime Minister air. What is the smallest number of city-to-city connections to meet all needs?
Answer: 0018 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q07
rettangolo 36x81 ricomposto in quadrato
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.06]
\draw (0,0) rectangle (81,36);
\draw (0,36) -- (27,0);
\draw (27,36) -- (81,0);
\draw[<->] (0,39) -- (27,39) node[midway,above] {x};
\node[left] at (0,18) {36};
\node[below] at (40.5,0) {81};
\end{tikzpicture}
\end{document}Il rettangolo diventa un quadrato
La figura mostra le linee lungo le quali Marco ha tagliato un rettangolo di cartoncino, i cui lati misuravano 36 e 81 centimetri, ottenendo due triangoli e un pentagono. Accostando opportunamente i tre pezzi ricavati, Marco ha potuto realizzare un quadrato. Quanti centimetri è lungo il segmento indicato con x?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0027 Fonte: apri PDF p.11
*rectangle 36x81 squared *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.06]
\draw (0,0) rectangle (81,36);
\draw (0,36) -- (27,0);
\draw (27,36) -- (81,0);
\draw[<->] (0,39) -- (27,39) node[midway,above] {x};
\node[left] at (0,18) {36};
\node[below] at (40.5,0) {81};
\end{tikzpicture}
\end{document}The rectangle becomes a square The figure shows the lines along which Mark cut a cardboard rectangle, the sides of which measured 36 and 81 centimeters, obtaining two triangles and a pentagon. By timely joining the three pieces, Marco was able to make a square. How many centimeters is the length of the segment indicated by x?
Answer: 0027 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q08
Primi due numeri ‘dispettosi’ (resto 5 mod6, 7 mod8)
Numeri dispettosi Diciamo che un numero intero positivo è “dispettoso” se diviso per 6 dà resto 5 e diviso per 8 dà resto 7. Trovate i primi due numeri dispettosi e scriveteli nell’ordine (per esempio, se fossero 65 e 86 dovreste scrivere 6586).
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2347 Fonte: apri PDF p.11
*First two ‘reasonable’ numbers (reserve 5 mod6, 7 mod8) *
Disparate numbers Let’s say a positive integer is disparate if divided by 6 gives the remainder 5 and divided by 8 gives the remainder 7. Find the first two odd numbers and write them in order (for example, if they were 65 and 86 you would write 6586).
Answer: 2347 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q09
Somma numeri di 4 cifre con divisibilita multiple
Quante pretese!
Stai cercando tutti i numeri interi positivi di quattro cifre ciascuno dei quali goda di tutte le seguenti proprietà:
- le cifre che lo compongono devono essere tutte diverse fra loro;
- deve essere un multiplo di 5;
- se si sopprime la cifra delle migliaia, il numero di tre cifre che resta deve essere un multiplo di 9;
- se si sopprime la cifra delle centinaia, il numero di tre cifre che resta deve essere un multiplo di
11;- se si sopprime la cifra delle decine, il numero di tre cifre che resta deve essere un multiplo di 7. Trova la loro somma.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 9080 Fonte: apri PDF p.11
*sum of 4-digit numbers with multiple divisible *
What a demand! You’re looking for all positive integers of four digits each of which has all of the following properties: - the digits that make it up must all be different from each other; - it must be a multiple of 5; - if you subtract the number of thousands, the number of three digits left must be a multiple of 9; - if you subtract the number of hundreds, the number of three digits left must be a multiple of 11; - if you subtract the number of tens, the number of three digits left must be a multiple of 7. Find their sum.
Answer: 9080 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q10
Porte aperte dopo 1000 passaggi (divisori dispari)
Le porte In un lunghissimo corridoio ci sono 1.000 porte numerate da 1 a 1.000 che inizialmente sono chiuse. All’inizio del corridoio ci sono 1.000 persone, numerate da 0 a 999, che agiscono come segue. La persona 0 percorre il corridoio dall’inizio e modifica lo stato di tutte le porte (dunque le apre tutte). Dopo di lei, la persona 1 percorre il corridoio dall’inizio: salta una porta (la prima) e modifica lo stato della seconda (in questo caso la chiude), quindi salta la terza e modifica lo stato della quarta e così via. Dopo di lei, la persona 2 percorre il corridoio dall’inizio saltando ordinatamente 2 porte su 3 (cioè la prima e la seconda, la quarta e la quinta e così via) e cambia lo stato delle porte che non salta. Si procede in questo modo: la persona n per corre il corridoio dall’inizio saltando ordinatamente n porte su n + 1 e cambiando lo stato di quelle che non salta (cioè aprendo quelle che trova chiuse e chiudendo quelle che trova aperte). Quando anche la millesima persona avrà compiuto il proprio percorso, quante saranno le porte rimaste aperte?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0031 Fonte: apri PDF p.12
*Gates opened after 1000 steps (spontaneous splitters) *
There are 1,000 doors numbered from 1 to 1,000 in a very long hallway that are initially closed. At the beginning of the corridor there are 1,000 people, numbered from 0 to 999, who act as follows. Person 0 walks through the hallway from the beginning and changes the status of all the doors (hence opening them all). After her, person 1 walks the corridor from the beginning: he jumps a door (the first one) and changes the state of the second one (in this case closes it), then he jumps the third one and changes the state of the fourth one and so on. After her, person 2 runs the corridor from the beginning skipping orderly 2 doors out of 3 (i.e. first and second, fourth and fifth and so on) and changes the state of the doors that do not jump. This is how it is done: the person n to run the corridor from the beginning by skipping orderly n doors on n + 1 and changing the state of those that do not jump (i.e. opening those that find closed and closing those that find open). When even the thousandth person has completed his journey, how many doors will remain open?
Answer: 0031 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q11
Minimo nella cella A di griglia 3x4 di multipli
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (4,3);
\node at (3.5,0.5) {A};
\end{tikzpicture}
\end{document}La griglia
In ogni cella della griglia 3 × 4 in figura vuoi sistemare un numero intero positivo rispettando tutte le seguenti regole:
- i numeri devono essere tutti diversi fra loro;
- in ogni riga ogni numero dal secondo (da sinistra) in poi è un multiplo del precedente;
- in ogni colonna ogni numero dal secondo (dall’alto) in poi è un multiplo del precedente. Qual è il più piccolo numero che può comparire nella cella indicata con A?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0072 Fonte: apri PDF p.12
Minimum in grid cell A of 3x4 multiples
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) grid (4,3);
\node at (3.5,0.5) {A};
\end{tikzpicture}
\end{document}The grid In each cell of the grid 3 × 4 in the figure you want to arrange a positive integer by following all the following rules: - the numbers must all be different from each other; - in each row each number from second (left) forward is a multiple of the previous one; - in each column each number from second (from top) forward is a multiple of the previous one. What is the smallest number that can appear in the cell marked with A?
Answer: 0072 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q12
Secondi di separazione tra Anna e il cane su pista
Anna e il suo cane Anna sta passeggiando con il suo cane su una pista circolare che contorna un laghetto. La pista è lunga 500 metri. Ad un certo istante il cane inizia a correre alla velocità di 10 Km all’ora; Anna lo insegue correndo alla velocità di 8 Km all’ora. Quando la distanza fra il cane e Anna è diventata di 250 metri, Anna inverte il verso della sua corsa, con l’intenzione di recuperare il cane (che invece continua a correre nello stesso verso) correndogli incontro. Se le velocità del cane e di Anna rimangono le stesse, per quanti secondi Anna starà separata dal suo cane?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0500 Fonte: apri PDF p.12
Seconds of separation between Anna and the dog on the track
Anna and her dog Anna is walking with her dog on a circular track that surrounds a pond. The runway is 500 meters long. At a certain moment the dog starts running at a speed of 10 km/h; Anna chases him running at a speed of 8 km/h. When the distance between the dog and Anna has become 250 meters, Anna reverses the side of her run, intending to recover the dog (which instead continues to run in the same direction) running towards him. If the dog and Anna’s speeds stay the same, how many seconds will Anna be separated from her dog?
Answer: 0500 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q13
Valore n% per cui Peter e’ certo dell’elezione
L’elezione del sindaco A Kangcity si è svolto il ballottaggio fra Peter e Max per l’elezione alla carica di sindaco ed è in corso lo spoglio delle schede. Tutte le schede consegnate sono valide e non bianche. Per ogni numero intero k compreso fra 0 e 100, quando k% delle schede sono state scrutinate la commissione comunica l’esito del voto fino a quel momento. Quando, per un certo numero intero n, n% delle schede sono state scrutinate, Peter ha ottenuto il 62% dei voti scrutinati e Max il 38%: questo è il primo momento in cui Peter è sicuro di essere il nuovo sindaco. Quanto vale n?
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0081 Fonte: apri PDF p.12
N% value for which Peter is certain of the election
The mayor’s election in Kangcity has been held. Peter and Max have been voting for the mayor’s election and the ballot papers are being unsealed. All cards delivered are valid and not white. For each integer k between 0 and 100, when k% of the cards have been scrutinised, the committee shall report the result of the vote until that time. When, for a certain number of whole numbers, n% of the ballots were voted on, Peter got 62% of the votes cast and Max 38%: this is the first time Peter is sure he’s the new mayor. How much is n?
Answer: 0081 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q14
Valore frazione somma dispari 1001..1999 / 1..999
Una frazione da semplificare
Qual è il valore della frazione 1001+1003+1005+…+1997 +1999 1+ 3+ 5+…+ 997 + 999 ? A
Kangourou della Matematica 2009 Coppa a squadre Kangourou - finale Mirabilandia, 10 maggio 2009
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0003 Fonte: apri PDF p.12
Value of the odd fraction sum 1001.1999 / 1.999
A fraction to be simplified
What is the value of the fraction 1001+1003+1005+…+1997+1999 1+3+5+…+997+999?
A
Kangourou of Mathematics 2009 Kangourou team cup - final by Mirabilandia, 10 May 2009
Answer: 0003 src_kangourou_squadre_2009_finale__Q15