Perimetro pentagono ombreggiato da triangoli equilateri annidati
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\coordinate (A) at (0.5, 0.866);
\coordinate (B) at (0, 0);
\coordinate (C) at (1, 0);
\coordinate (F) at (0.5, 0);
\coordinate (G) at (0.75, 0);
\coordinate (D) at (0.75, 0.433);
\coordinate (E) at (0.625, 0.2165);
\fill[gray!30] (A) -- (B) -- (G) -- (E) -- (D) -- cycle;
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[thick] (E) -- (F) -- (G) -- cycle;
\draw[thick] (D) -- (E);
\node[above] at (A) {$A$};
\node[left] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[left] at (E) {$E$};
\node[below] at (F) {$F$};
\node[below] at (G) {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Il pentagono
Osservate la figura. ABC e EFG sono triangoli equilateri; F è il punto medio di BC, G è il punto medio di FC e D è allineato con F ed E. Il perimetro del triangolo ABC è 132. Qual è il perimetro del pentagono ombreggiato ABGED?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0121 Fonte: apri PDF p.1
Pentagon perimeter shaded by nested equilateral triangles
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\coordinate (A) at (0.5, 0.866);
\coordinate (B) at (0, 0);
\coordinate (C) at (1, 0);
\coordinate (F) at (0.5, 0);
\coordinate (G) at (0.75, 0);
\coordinate (D) at (0.75, 0.433);
\coordinate (E) at (0.625, 0.2165);
\fill[gray!30] (A) -- (B) -- (G) -- (E) -- (D) -- cycle;
\draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[thick] (E) -- (F) -- (G) -- cycle;
\draw[thick] (D) -- (E);
\node[above] at (A) {$A$};
\node[left] at (B) {$B$};
\node[right] at (C) {$C$};
\node[above right] at (D) {$D$};
\node[left] at (E) {$E$};
\node[below] at (F) {$F$};
\node[below] at (G) {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Look at the figure. ABC and EFG are equilateral triangles; F is the mean point of BC, G is the mean point of FC and D is aligned with F and E. The perimeter of the ABC triangle is 132. What is the perimeter of the shaded pentagon ABGED?
Answer: 0121 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q01
Minimo intero somma di 9 e di 10 interi consecutivi
Somme di positivi
Qual è il più piccolo numero intero positivo che è esprimibile come somma sia di nove interi positivi consecutivi sia di dieci interi positivi consecutivi?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0135 Fonte: apri PDF p.1
Minimum whole sum of 9 and 10 consecutive integers
Positive sums What is the smallest positive integer that can be expressed as the sum of both nine consecutive positive integers and ten consecutive positive integers?
Answer: 0135 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q02
Lunghezza segmento PQ in un quadrato con perpendicolari note
Il segmento PQ
Nella figura, l’estremo P del segmento PQ è un vertice del quadrato mentre l’estremo Q è un punto interno a un lato del quadrato che non ha un estremo in P. Gli altri due segmenti interni al quadrato hanno entrambi un estremo in un vertice del quadrato e l’altro sul segmento PQ e sono perpendicolari a PQ. La figura, che non è in scala, riporta le loro lunghezze in centimetri. Quanti millimetri è lungo il segmento PQ?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0136 Fonte: apri PDF p.1
PQ segment length in a square with perpendicular notes
The PQ segment In the figure, the P extreme of the PQ segment is a vertex of the square while the Q extreme is an internal point on one side of the square that has no extreme in P. The other two segments inside the square have both one end at one vertex of the square and the other on the PQ segment and are perpendicular to PQ. The figure, which is not in scale, shows their lengths in centimeters. How many millimeters is the PQ segment?
Answer: 0136 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q03
Numero ABC = B x CB con B e CB primi
Numeri primi
Il numero di tre cifre n = ABC (A ≠ 0) è tale che n = B × CB dove sia B sia CB sono numeri primi. Quanto vale n?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0679 Fonte: apri PDF p.1
Number ABC = B x CB with B and CB prime
Prime numbers The three digit number n = ABC (A ≠ 0) is such that n = B × CB where both B and CB are prime numbers. How much is n?
Answer: 0679 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q04
Anno del primo romanzo data la somma degli anni
Il primo romanzo
In un certo periodo della sua vita, uno scrittore ha pubblicato ogni due anni un romanzo. Ne ha pubblicati sicuramente più di 7 e meno di 14. Sommando gli anni nei quali sono stati pubblicati i suoi romanzi, si ottiene 21.945. In quale anno ha pubblicato il suo primo romanzo?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1985 Fonte: apri PDF p.1
Year of first novel given sum of years
At some point in his life, a writer published a novel every two years. He’s certainly published more than 7 and less than 14. Adding up the years in which his novels were published, you get 21,945. In what year did you publish your first novel?
Answer: 1985 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q05
Ultimo intero scritto con somma alternata uguale a 2024
La somma è 2024
Simeone ha incominciato a scrivere i numeri interi positivi, partendo da 1, ma premettendo il segno meno a tutti e soli i numeri pari. Ha iniziato dunque scrivendo 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + …. Si è fermato esattamente quando la somma algebrica che risulta scritta ha dato come risultato 2024. Qual è l’ultimo intero che ha scritto?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4047 Fonte: apri PDF p.1
Last integer written with an alternate sum equal to 2024
The sum is 2024 Simeon started writing the positive integers, starting with 1, but pressing the minus sign to all and only the even numbers. So he started by writing 1 2 + 3 4 + 5 6 + … It stopped exactly when the written algebraic sum resulted in 2024. What’s the last whole he wrote?
Answer: 4047 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q06
Area tra due circonferenze tangenti internamente diviso pi
La regione ombreggiata
La figura evidenzia due circonferenze tangenti internamente in un punto, il diametro della circonferenza esterna che ha quel punto come uno degli estremi e il diametro della stessa circonferenza ad esso perpendicolare. Sono inoltre precisate le lunghezze in metri, 20 e 36, dei due segmenti indicati. Quanto vale, in metri quadrati, l’area della regione (ombreggiata) compresa tra le due circonferenze divisa per π?} 36 20 }
P Q A B C D E F G
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 3276 Fonte: apri PDF p.1
*Area between two tangent circumferences internally divided by *
The shaded region The figure highlights two inner tangent circumferences in a point, the diameter of the outer circumference having that point as one of the extremes and the diameter of the same circumference perpendicular to it. The lengths in metres, 20 and 36, of the two segments indicated are also specified. What is the area of the region (shaded) divided by π in square metres?
} 36 20 } P Q A B C D E F G
Answer: 3276 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q07
Aumento percentuale del volume di un parallelepipedo
La scatola
Una scatola ha la forma di un parallelepipedo rettangolo. Se si aumentano la lunghezza del 50% e la larghezza del 40%, e si diminuisce l’altezza del 10%, di quale percentuale aumenta il volume della scatola? (Rispondete senza il simbolo %.)
Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 0089 Fonte: apri PDF p.2
Percentage increase in the volume of a parallel piped
The box A box is shaped like a rectangular parallel-piped. If the length is increased by 50% and the width by 40%, and the height is decreased by 10%, by what percentage does the volume of the box increase? (Answer without the % symbol.)
Answer: 0089 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q08
Numero di incroci tra due nuotatrici in un’ora
Le nuotatrici
Due nuotatrici si allenano in una piscina: partono da uno dei lati e, quando raggiungono il lato opposto, invertono il verso del nuoto. Per raggiungere il lato opposto una impiega 45 secondi, l’altra 30. Se partono contemporaneamente da lati opposti e nuotano in corsie adiacenti entrambe per un’ora esatta a velocità costante, quante volte si troveranno affiancate per un incrocio o un sorpasso?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 0100 Fonte: apri PDF p.2
Number of crosses between two swimmers in one hour
Two swimmers train in a swimming pool: they start from one side and, when they reach the opposite side, they turn the swimmer’s face. One takes 45 seconds to reach the opposite side, the other 30 seconds. If they both start from opposite sides and swim in adjacent lanes for one hour at a constant speed, how many times will they find themselves next to each other for a crossing or crossing?
Answer: 0100 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q09
Minimo intero il cui prodotto delle cifre e 540
Il più piccolo
Qual è il più piccolo numero intero positivo il prodotto delle cui cifre è 540? (Scrivete 0000 se ritenete che un tale numero non esista.)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2569 Fonte: apri PDF p.2
*Minimum whole of which the product of the digits and 540 *
What is the smallest positive integer whose product is 540? (Write 0000 if you believe such a number does not exist.)
Answer: 2569 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q10
Somma diagonali griglia nxn minima con celle 3 e 17
La griglia
In ogni cella di una griglia quadrata n × n, dove n è un numero intero positivo, è collocato un numero intero in modo che i numeri che si trovano in due celle adiacenti (cioè che condividono un lato) differiscano esattamente di 1. I numeri 3 e 17 compaiono nella griglia. Se n è il più piccolo valore possibile compatibile con l’enunciato del problema, quanto vale la somma dei numeri che compaiono sulle diagonali della griglia?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: parita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0160 Fonte: apri PDF p.2
Minimum diagonal grid sum nxn with cells 3 and 17
The grid In each cell of a square grid n, where n is a positive integer, an integer is placed so that the numbers in two adjacent cells (i.e. they share a side) differ exactly by 1. The numbers 3 and 17 are in the grid. If n is the smallest possible value compatible with the statement of the problem, what is the sum of the numbers appearing on the diagonal of the grid?
Answer: 0160 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q11
Somma dei numeri nella 25a riga di schema triangolare
Schema a triangolo
Immaginate che i numeri interi positivi siano elencati in uno schema triangolare (illimitato) come suggerito dalla figura. Quanto vale la somma dei numeri contenuti nella venticinquesima riga?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7825 Fonte: apri PDF p.2
sum of numbers in the 25th row of the triangular scheme
Triangle pattern Imagine that positive integers are listed in a triangular (unlimited) pattern as suggested by the figure. What is the sum of the numbers in the twenty-fifth row?
Answer: 7825 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q12
Risultato incontro A-D in torneo di calcio a 4 squadre
Il torneo
Ad un torneo di calcio partecipano le quattro squadre A, B, C, D. Ognuna incontra una e una sola volta ognuna delle altre tre. La classifica finale (3 punti per la vittoria, 1 per il pareggio, 0 per la sconfitta) è quella che vedi in figura. A e C hanno incassato solo una rete ciascuna, B e C hanno segnato solo una rete ciascuna, A ha segnato 3 reti. Qual è il risultato dell’incontro tra A e D?
Se l’incontro è terminato m per A e n per D (ad esempio 1 a 0), scrivete [0m0n] (nel caso dell’esempio [0100]).
Topic: Logica, giochi, strategie, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0201 Fonte: apri PDF p.2
Result of match A-D in four-team football tournament
The tournament A football tournament involves four teams A, B, C, D. Each meets each of the other three once and only once. The final ranking (3 points for victory, 1 for tie, 0 for defeat) is what you see in the figure. A and C only collected one network each, B and C only scored one network each, A scored three networks. What is the result of the meeting between A and D? If the meeting ends m for A and n for D (e.g. 1 to 0), write [0m0n] (in the case of the example [0100]).
Answer: 0201 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q13
Somma massima dei punteggi di 24 lanci di dado vincolati
Il dado
Mauro ha lanciato un dado equo 24 volte. Tutti i punteggi da 1 a 6 sono usciti almeno una volta, ma 1 è uscito più di ogni altro. La somma di tutti i punteggi ottenuti da Mauro è la più alta possibile compatibilmente con quanto detto in precedenza: qual è questa somma?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 0090 Fonte: apri PDF p.2
Maximum score of 24 bound dice throws
The Mauro dice has thrown a fair dice 24 times. All scores from 1 to 6 came out at least once, but 1 came out more than any other. The sum of all the scores obtained by Mauro is as high as possible in accordance with the above: what is this sum?
Answer: 0090 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q14
Area regione ombreggiata in quadrato ripartito
Il quadrato ripartito I lati del quadrato nella figura a destra sono ripartiti in segmenti delle lunghezze indicate in centimetri; collegando con altri segmenti gli estremi di alcuni di essi si sono ottenute le due regioni che appaiono, una bianca e una ombreggiata. Qual è l’area, in centimetri quadrati, della regione ombreggiata?
Squadra Punti A 7 B 5 C 4 D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … … .Kangourou della Matematica 2024 Coppa Kangourou a squadre Finale 2 Cervia, 4 maggio 2024
Titoli e risposte
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 0218 Fonte: apri PDF p.2
Area region shaded in square divided
The sides of the square in the figure to the right are divided into segments of lengths indicated in centimetres; connecting the ends of some of these with other segments gives rise to the two regions that appear, one white and one shaded. What is the area in square centimetres of the shaded region? Four four four four four four four four three three three three three two two two seven seven seven seven squad Points A seven B five C four D 0 one two three four five six seven eight nine ten eleven twelve thirteen four four four four four four four three three three three three three two two two two seven seven seven seven seven squad Points A seven B five four D one two three four five six seven eight nine ten eleven twelve thirteen four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four four
Kangourou of Mathematics 2024 Kangourou Cup to teams Final 2 Cervia, 4 May 2024
Securities and replies
Answer: 0218 src_kangourou_squadre_2024_finale__Q15