Olimpíada Brasileira de Matemática 1998 — Nível 1 — Fase 1

Largest among five exponential expressions in base 3

Which of the following numbers is the largest?

• (A) $3^{10}$
• (B) $9^{10}$
• (C) $27^{11}$
• (D) $243^8$
• (E) $81^{11}$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

La più grande delle cinque espressioni esponenziali nella base 3

Quale dei seguenti numeri è il più grande?

• (A) $3^{10}$
• (B) $9^{10}$
• (C) $27^{11}$
• (D) $243^8$
• (E) $81^{11}$

Risposta: E src_obm_1998_n1_f1__Q01

Count distinct sums when three dice are thrown

A boy throws three dice and adds the numbers that appear on the top faces. The number of different possible results of this sum is:

• (A) $112$
• (B) $18$
• (C) $216$
• (D) $16$
• (E) $15$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Contare somme distinte quando vengono lanciati tre dadi

Un ragazzo lancia tre dadi e aggiunge i numeri che appaiono sulle facce superiori. Il numero di risultati possibili diversi di questa somma è:

• (A) $112$
• (B) $18$
• (C) $216$
• (D) $16$
• (E) $15$

Risposta: D src_obm_1998_n1_f1__Q02

Recover input number from a sequence of operations

Renata typed a number on her calculator, multiplied it by $3$, added $12$, divided the result by $7$, and obtained the number $15$. The number she typed was:

• (A) $31$
• (B) $7$
• (C) $39$
• (D) $279$
• (E) $27$

Topic: Algebra Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Ricuperare il numero di input da una sequenza di operazioni

Renata ha digitato un numero sulla sua calcolatrice, lo ha moltiplicato per $3$, aggiunto $12$, diviso il risultato per $7$ e ottenuto il numero $15$. Il numero che ha digitato era:

• (A) $31$
• (B) $7$
• (C) $39$
• (D) $279$
• (E) $27$

Risposta: A src_obm_1998_n1_f1__Q03

Lap count for slower cyclist when faster completes lap 80

In a cycling competition, Carlinho completes one full lap of the track in $30$ seconds, while Paulinho takes $32$ seconds to complete one lap. When Carlinho completes lap number $80$, Paulinho will be completing lap number:

• (A) $79$
• (B) $78$
• (C) $76$
• (D) $77$
• (E) $75$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Lap count per ciclisti più lenti quando completano più velocemente il giro 80

In una competizione ciclistica, Carlinho completa un giro completo della pista in $30$ secondi, mentre Paulinho impiega $32$ secondi per completare un giro. Quando Carlinho completerà il numero del giro $80$, Paulinho completerà il numero del giro:

• (A) $79$
• (B) $78$
• (C) $76$
• (D) $77$
• (E) $75$

Risposta: E src_obm_1998_n1_f1__Q04

Result of squaring, subtracting, and dividing a positive number by itself

I raised a positive number to the square, subtracted the result from the same number, and then divided what remained by the same number. The result I obtained was equal to:

• (A) The number itself
• (B) Double the number
• (C) The number plus $1$
• (D) The square root of the number
• (E) The number minus $1$

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Resultat di squadratura, sottrazione e divisione di un numero positivo da solo

Ho sollevato un numero positivo al quadrato, ho sottratto il risultato dallo stesso numero, e poi ho diviso quello che rimaneva dallo stesso numero. Il risultato ottenuto è stato uguale a:

• (A) Il numero stesso
• (B) raddoppiare il numero
• (C) Numero più $1$
• (D) La radice quadrata del numero
• (E) Il numero meno $1$

Risposta: E src_obm_1998_n1_f1__Q05

Count 3-digit numbers whose digit sum is 25

How many $3$-digit numbers are there whose digit sum equals $25$?

• (A) $2$
• (B) $4$
• (C) $6$
• (D) $8$
• (E) $10$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Contare i numeri a 3 cifre la cui somma digitale è 25

Quanti sono i numeri $3$ a cui la somma digitali è uguale a $25$?

• (A) $2$
• (B) $4$
• (C) $6$
• (D) $8$
• (E) $10$

Risposta: C src_obm_1998_n1_f1__Q06

Identify the youngest among four boys from age relations

João is older than Pedro, who is younger than Carlos; António is older than Carlos, who is younger than João. António is not younger than João, and all four boys have different ages. The youngest of them is:

• (A) João
• (B) António
• (C) Pedro
• (D) Carlos
• (E) Impossible to determine from the given information

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

*Identificare il più giovane tra i quattro ragazzi di età *

João è più vecchio di Pedro, che è più giovane di Carlos; António è più vecchio di Carlos, che è più giovane di João. António non è più giovane di João, e tutti e quattro i ragazzi hanno età diversa. Il più giovane di loro è:

• (A) João
• (B) António
• (C) Pedro
• (D) Carlos
• (E) Impossibile determinare dalle informazioni fornite

Risposta: C src_obm_1998_n1_f1__Q07

Find last number in a circle chain where every three consecutive sum to 12

Write a number in each circle in the row below so that the sum of any three consecutive numbers is $12$. The first circle contains $3$ and the sixth circle contains $5$.

$◯3◯◯◯◯5◯◯◯$

The number that must appear in the last (rightmost) circle is:

• (A) $3$
• (B) $2$
• (C) $1$
• (D) $4$
• (E) $7$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Trova l’ultimo numero in una catena circolare in cui ogni tre somme consecutive fino a 12

Scrivi un numero in ogni cerchio nella riga seguente in modo che la somma di tutti e tre numeri consecutivi sia $12$. Il primo cerchio contiene $3$ e il sesto cerchio $5$.

$◯3◯◯◯◯5◯◯◯$

Il numero che deve apparire nell’ultimo cerchio (a destra) è:

• (A) $3$
• (B) $2$
• (C) $1$
• (D) $4$
• (E) $7$

Risposta: A src_obm_1998_n1_f1__Q08

Count unit cubes with exactly 2 painted faces after separating a painted rectangular solid

Sixteen unit cubes (each with $1\text{cm}$ side) are placed together forming the rectangular solid (cuboid) shown above. The surface of the solid was painted green; then the cubes were separated. The number of cubes that have exactly two green faces is:

• (A) $2$
• (B) $6$
• (C) $4$
• (D) $8$
• (E) $10$

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Contare i cubetti unitari con esattamente 2 facce verniciate dopo aver separato un solido rettangolare verniciato

16 cubetti unitari (ciascuno con lato $1\text{cm}$) sono collocati insieme formando il solido rettangolare (cuboide) mostrato sopra. La superficie del solido fu dipinta di verde; poi i cubetti furono separati. Il numero di cubi che hanno esattamente due facce verdi è:

• (A) $2$
• (B) $6$
• (C) $4$
• (D) $8$
• (E) $10$

Risposta: D src_obm_1998_n1_f1__Q09

Area per family after dividing a rectangular farm among 200 families

A rectangular farm measuring $10\text{km}$ in width and $20\text{km}$ in length was expropriated for agrarian reform. The farm must be divided among $200$ families so that each family receives the same area. Each family should receive:

• (A) $1,000,000{\text{m}}^2$
• (B) $100,000{\text{m}}^2$
• (C) $5,000{\text{m}}^2$
• (D) $1,000{\text{m}}^2$
• (E) $10,000{\text{m}}^2$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Zona per famiglia dopo aver diviso un’azienda agricola rettangolare tra 200 famiglie

Una fattoria rettangolare di $10\text{km}$ di larghezza e $20\text{km}$ di lunghezza è stata espropria per la riforma agraria. L’azienda agricola deve essere suddivisa tra famiglie $200$ in modo che ciascuna famiglia riceva la stessa superficie. Ogni famiglia dovrebbe ricevere:

• (A) $1,000,000{\text{m}}^2$
• (B) $100,000{\text{m}}^2$
• (C) $5,000{\text{m}}^2$
• (D) $1,000{\text{m}}^2$
• (E) $10,000{\text{m}}^2$

Risposta: A src_obm_1998_n1_f1__Q10

Compute parking fee for a given time interval

A parking lot charges $1$ real for the first hour and $75$ centavos for each subsequent hour or fraction thereof. André parked his car at $11$h$20$minandleftat$15h\40$min. How many reais must he pay for the parking?

• (A) $2.50$
• (B) $4.00$
• (C) $5.00$
• (D) $4.75$
• (E) $3.75$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Fee di parcheggio per un determinato intervallo di tempo

Un parcheggio impone $1$ reali per la prima ora e $75$ centavos per ogni ora successiva o frazione di essa. André ha parcheggiato la sua auto a $11$h\$20$min e se ne è andato a $15$h$40$min. Quanti reais deve pagare per il parcheggio?

• (A) $2.50$
• (B) $4.00$
• (C) $5.00$
• (D) $4.75$
• (E) $3.75$

Risposta: B src_obm_1998_n1_f1__Q11

Maximum rolls made from limited ingredient quantities

To make $12$ rolls, one needs exactly $100\text{g}$ of sugar, $50\text{g}$ of butter, half a litre of milk, and $400\text{g}$ of flour. The greatest number of rolls one can make with $500\text{g}$ of sugar, $300\text{g}$ of butter, $4$ litres of milk, and $5$ kilograms of flour is:

• (A) $48$
• (B) $60$
• (C) $72$
• (D) $54$
• (E) $42$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Rolle massime ottenute da quantità limitate di ingredienti

Per realizzare i rulli $12$ occorre esattamente $100\text{g}$ di zucchero, $50\text{g}$ di burro, mezzo litro di latte e $400\text{g}$ di farina. Il maggior numero di rulli che si possono produrre con $500\text{g}$ di zucchero, $300\text{g}$ di burro, $4$ di litri di latte e $5$ di chilogrammi di farina è:

• (A) $48$
• (B) $60$
• (C) $72$
• (D) $54$
• (E) $42$

Risposta: B src_obm_1998_n1_f1__Q12

Matchsticks needed for 100 squares in a row

Joãozinho makes a row of squares using matchsticks, as shown in the figure. The number of matchsticks needed to make a row of $100$ squares is:

• (A) $296$
• (B) $293$
• (C) $297$
• (D) $301$
• (E) $28$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Matchsticks necessari per 100 quadrati consecutivi

Joãozinho fa una fila di quadrati utilizzando i fiammiferi, come mostra la figura. Il numero di fiammiferi necessari per creare una fila di quadrati $100$ è:

• (A) $296$
• (B) $293$
• (C) $297$
• (D) $301$
• (E) $28$

Risposta: D src_obm_1998_n1_f1__Q13

Difference between sum of all odd and all even two-digit numbers

The sum of all odd two-digit numbers minus the sum of all even two-digit numbers equals:

• (A) $50$
• (B) $46$
• (C) $45$
• (D) $49$
• (E) $48$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Differenza tra la somma di tutti i numeri odd e tutti i numeri pari a due cifre

La somma di tutti i numeri a due cifre dispari meno la somma di tutti i numeri a due cifre pari:

• (A) $50$
• (B) $46$
• (C) $45$
• (D) $49$
• (E) $48$

Risposta: C src_obm_1998_n1_f1__Q14

Number to add to numerator and subtract from denominator to invert a fraction

The number that we must add to the numerator and subtract from the denominator of the fraction $\frac{1478}{5394}$ in order to transform it into its reciprocal (inverse) is:

• (A) $3,916$
• (B) $3,913$
• (C) $3,915$
• (D) $3,912$
• (E) $3,917$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Numero da aggiungere al numeratore e da sottrarre dal denominatore per invertere una frazione

Il numero che dobbiamo aggiungere al numeratore e sottrarre dal denominatore della frazione $\frac{1478}{5394}$ per trasformarla nella sua reciproca (inversa) è:

• (A) $3,916$
• (B) $3,913$
• (C) $3,915$
• (D) $3,912$
• (E) $3,917$

Risposta: A src_obm_1998_n1_f1__Q15

Count distinct 4-letter surnames with a 2-letter alphabet

The alphabet used on planet X has only two letters: X and x. A surname (family name) of each of its inhabitants is a sequence of $4$ letters. The maximum number of different surnames that can be given on planet X is:

• (A) $12$
• (B) $14$
• (C) $15$
• (D) $16$
• (E) $18$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Conta i cognomi distinti a 4 lettere con un alfabeto a 2 lettere

L’alfabeto usato sul pianeta X ha solo due lettere: X e x. Un cognome (nome di famiglia) di ciascuno dei suoi abitanti è una sequenza di lettere $4$. Il numero massimo di diversi cognomi che si possono dare sul pianeta X è:

• (A) $12$
• (B) $14$
• (C) $15$
• (D) $16$
• (E) $18$

Risposta: D src_obm_1998_n1_f1__Q16

Find minimum remainder after distributing marbles to 10 children in arithmetic sequence

João wants to get rid of his collection of $1,000$ marbles. To do so he chooses $10$ boys from his street. He gives the first boy $x$ marbles, the second boy $x+1$ marbles, and so on, always giving one more marble to the next boy than to the previous one, until he reaches the tenth boy. In the end, João is left with the smallest possible remainder $x$. The value of $x$ is:

• (A) $94$
• (B) $95$
• (C) $96$
• (D) $97$
• (E) $98$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Ricerca il residuo minimo dopo aver distribuito i marmi a 10 bambini in sequenza aritmetica

João vuole sbarazzarsi della sua collezione di marmi. Per farlo sceglie ragazzi della sua strada. Il primo ragazzo gli dà marmi $x$, il secondo ragazzo $x+1$ marmi, e così via, dando sempre un marmo in più al prossimo ragazzo rispetto al precedente, fino a quando non raggiunge il decimo ragazzo. Alla fine, a João resta il minor residuo possibile $x$. Il valore di $x$ è:

• (A) $94$
• (B) $95$
• (C) $96$
• (D) $97$
• (E) $98$

Risposta: B src_obm_1998_n1_f1__Q17

Deduce maximum number of cars from total legs and wheels on planet Z

On planet Z, every inhabitant has $3$ legs and every car has $5$ wheels. In a small city on this planet, there are in total $97$ legs and wheels. We can therefore affirm:

• (A) It is possible that there are $19$ cars in this city
• (B) There are at most $16$ cars in this city
• (C) This city has $9$ inhabitants and $14$ cars
• (D) There are at most $17$ cars in this city
• (E) In this city there are more cars than people

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

*Ridurre il numero massimo di auto dal totale di gambe e ruote sul pianeta Z *

Sul pianeta Z, ogni abitante ha $3$ gambe e ogni macchina ha $5$ ruote. In una piccola città di questo pianeta, ci sono in totale $97$ gambe e ruote. Possiamo quindi affermare:

• (A) È possibile che ci siano macchine in questa città.
• (B) Ci sono al massimo $16$ auto in questa città
• (C) Questa città ha $9$ abitanti e $14$ auto
• (D) Ci sono al massimo $17$ auto in questa città
• (E) In questa città ci sono più auto che persone .

Risposta: D src_obm_1998_n1_f1__Q18

Count ways to place an L-shaped piece on a grid to cover exactly 3 squares

A board and a piece are shown in the figure. In how many different ways can we place the piece on the board so that it covers exactly $3$ squares of the board completely?

• (A) $16$
• (B) $24$
• (C) $36$
• (D) $48$
• (E) $60$

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Contare i modi per posizionare un pezzo a forma di L su una griglia per coprire esattamente 3 quadrati

Una lavagna e un pezzo sono mostrati nella figura. In quanti modi diversi possiamo posizionare il pezzo sulla lavagna in modo che copra esattamente $3$ quadrati della lavagna completamente?

• (A) $16$
• (B) $24$
• (C) $36$
• (D) $48$
• (E) $60$

Risposta: C src_obm_1998_n1_f1__Q19

Determine the day when both a liar and a truth-teller say ‘Tomorrow is a lying day’

Pedro and Maria form a peculiar couple. Pedro lies on Wednesdays, Thursdays, and Fridays, and tells the truth on the rest of the week. Maria lies on Sundays, Mondays, and Tuesdays, and tells the truth on the rest of the week. One day, both say: “Tomorrow is a lying day.” The day on which this statement was made was:

• (A) Monday
• (B) Tuesday
• (C) Friday
• (D) Saturday
• (E) Sunday

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Determina il giorno in cui sia un bugiardo che uno che dice la verità diranno: “Domani è un giorno di bugie”.

Pedro e Maria formano una coppia particolare. Pedro mente mercoledì, giovedì e venerdì e dice la verità per il resto della settimana. Maria mente domenica, lunedì e martedì, e dice la verità per il resto della settimana. Un giorno, entrambi dicono: “Domani sarà un giorno di menzogna”. Il giorno in cui questa dichiarazione fu fatta fu:

• (A) Lunedì
• (B) Martedì
• (C) Venerdì
• (D) Sabato
• (E) Domenica

Risposta: B src_obm_1998_n1_f1__Q20