Olimpíada Brasileira de Matemática 1998 — Nível 2 — Fase 1

Count integers satisfying a double inequality with square root

How many integers $x$ satisfy the inequality $3<\sqrt{x}<7$?

A) 13 B) 20 C) 38 D) 39 E) 40

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Conteggi interi che soddisfano una doppia disuguaglianza con radice quadrata

Quanti integri $x$ soddisfano la disuguaglianza $3<\sqrt{x}<7$?

A) 13 B) 20 C) 38 D) 39 E) 40

Risposta: D src_obm_1998_n2_f1__Q01

Day of week 99 days after a Saturday

Today is Saturday. What day of the week will it be 99 days from now?

A) Monday B) Saturday C) Sunday D) Thursday E) Wednesday

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Giorno della settimana 99 giorni dopo sabato

Oggi è sabato. Quale giorno della settimana sarà tra 99 giorni?

A) lunedì B) sabato C) domenica D) giovedì E) mercoledì

Risposta: C src_obm_1998_n2_f1__Q02

Cancelled problem

(Cancelled / Voided — Anulada.)

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Problema annullato

(Annullato / Annullato Annulada.)

src_obm_1998_n2_f1__Q03

Age when father’s age is triple son’s age

A father is 33 years old and his son is 7 years old. In how many years will the father’s age be triple the son’s age?

A) 3 B) 7 C) 6 D) 9 E) 13

Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

età in cui l’età del padre è triplice dell’età del figlio

Un padre ha 33 anni e suo figlio ha 7 anni. In quanti anni l’età del padre sarà triplicata dell’età del figlio?

A) 3 B) 7 C) 6 D) 9 E) 13

Risposta: C src_obm_1998_n2_f1__Q04

Area of triangle with vertices at midpoints of square sides

The quadrilateral $ABCD$ is a square of area $4{\mathrm{m}}^2$. Points $M$ and $N$ are the midpoints of sides $DC$ and $BC$, respectively. What is the area, in ${\mathrm{m}}^2$, of the shaded triangle (the triangle with vertices at $A$, $M$, and $N$)?

A) 2 B) 1.5 C) 2.5 D) 3 E) 3.5

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Area di triangolo con vertici nei punti di mezzo dei lati quadrati

Il quadrilaterale $ABCD$ è un quadrato di superficie $4{\mathrm{m}}^2$. I punti $M$ e $N$ sono rispettivamente i punti medi dei lati $DC$ e $BC$. Qual è l’area, in ${\mathrm{m}}^2$, del triangolo ombrato (il triangolo con vertici a $A$, $M$ e $N$)?

A) 2 B) 1.5 C) 2.5 D) 3 E) 3.5

Risposta: B src_obm_1998_n2_f1__Q05

Units digit of 3 raised to the 1998th power

What is the units digit of $3^{1998}$?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

L’unità di 3 aumentata alla potenza 1998

Qual è la cifra di unità di $3^{1998}$?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

Risposta: E src_obm_1998_n2_f1__Q06

Secret code: find a+b+c+d from digit equations

In a secret code, the first 10 letters of the alphabet represent the digits 0 through 9, with each letter corresponding to exactly one digit and vice versa. It is known that $d+d=f$, $d\cdot d=f$, $c+c=d$, $c+d=a$, and $a-a=b$. We can conclude that $a+b+c+d$ equals:

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Codice segreto: trovare a+b+c+d dalle equazioni digitali

In un codice segreto, le prime 10 lettere dell’alfabeto rappresentano i numeri da 0 a 9, con ogni lettera corrispondente esattamente a una cifra e viceversa. È noto che $d+d=f$, $d\cdot d=f$, $c+c=d$, $c+d=a$ e $a-a=b$. Possiamo concludere che $a+b+c+d$ è uguale a:

A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

Risposta: D src_obm_1998_n2_f1__Q07

Find digit a so that 1234a6 is divisible by 7

The number $1234a6$ is divisible by 7. The digit $a$ is:

A) 0 B) 2 C) 5 D) 6 E) 8

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Trova la cifra a in modo che 1234a6 sia divisibile per 7

Il numero $1234a6$ è divisibile per 7. La cifra $a$ è:

A) 0 B) 2 C) 5 D) 6 E) 8

Risposta: D src_obm_1998_n2_f1__Q08

Find length AB in trapezoid with given angles and sides

In the trapezoid below, $AB$ is parallel to $CD$, $AD=10\mathrm{cm}$, and $CD=15\mathrm{cm}$. Angle $C$ measures $75^{\circ }$ and angle $D$ measures $30^{\circ }$. What is the length of side $AB$, in centimetres?

A) 5 B) 7.5 C) 10 D) 12.5 E) $5\sqrt{3}$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Ricerca la lunghezza AB nel trapezoide con angoli e lati dati

Nel trapezoide di seguito, $AB$ è parallelo a $CD$, $AD=10\mathrm{cm}$ e $CD=15\mathrm{cm}$. L’angolo $C$ misura $75^{\circ }$ e l’angolo $D$ misura $30^{\circ }$. Qual è la lunghezza del lato $AB$, in centimetri?

A) 5 B) 7.5 C) 10 D) 12.5 E) $5\sqrt{3}$

Risposta: A src_obm_1998_n2_f1__Q09

Find missing number X in a magic square

In the magic square below, the sum of the numbers in each row, column, and diagonal is always the same. Therefore, the number that should replace $X$ is:

$\begin{array}{ccc}15& & 35\\ 50& & \\ 25& X& \end{array}$

A) 30 B) 20 C) 35 D) 45 E) 40

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Trova il numero mancante X in un quadrato magico

Nel quadrato magico qui sotto, la somma dei numeri in ogni riga, colonna e diagonale è sempre la stessa. Pertanto, il numero che dovrebbe sostituire $X$ è:

$\begin{array}{ccc}15& & 35\\ 50& & \\ 25& X& \end{array}$

A) 30 B) 20 C) 35 D) 45 E) 40

Risposta: B src_obm_1998_n2_f1__Q10

Sparrows on branches: count given landing rules

Sparrows are playing around an old tree. If two sparrows land on each branch, one sparrow is left flying. If all sparrows land on the same branch (three on each), one branch remains empty. How many sparrows are there?

A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Sparrows on branches: count given landing rules

I passeri giocano intorno a un vecchio albero. Se due passeri atterrano su ogni ramo, un passero volando. Se tutti i passeri sbarcano sul medesimo ramo (tre su ciascuno), un ramo rimane vuoto. Quanti passeri ci sono?

A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

Risposta: B src_obm_1998_n2_f1__Q11

Minimum string length to tie 15 packages

What is the minimum number of metres of string needed to tie 15 packages, given that each package measures $10\mathrm{cm}\times 20\mathrm{cm}\times 40\mathrm{cm}$ and 20 cm of string is reserved for the bow?

A) 39 B) 36 C) 48 D) 56 E) 42

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Lunghezza minima della corda per legare 15 confezioni

Qual è il numero minimo di metri di corda necessari per legare 15 imballaggi, dato che ogni imballaggio misura $10\mathrm{cm}\times 20\mathrm{cm}\times 40\mathrm{cm}$ e 20 cm di corda sono riservati per l’arco?

A) 39 B) 36 C) 48 D) 56 E) 42

Risposta: B src_obm_1998_n2_f1__Q12

Find ticket price per student given total and absences

To attend the film \textit{Central do Brasil}, each of $x$ students from a class should pay $y$ reais for the bus fare. Since 3 students were absent, each of the students present had to pay 2 reais more to cover the total cost. What was the price per person?

A) $(x+3)(y-2)$ B) $(x-3)y+2$ C) $x(y-2)-3$ D) $xy-6$ E) $(x-3)(y+2)$

Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Find il prezzo del biglietto per studente dato il totale e le assenze

Per partecipare al film \textit{Central do Brasil}, ciascuno degli studenti di una classe deve pagare $y$ reais per la tariffa dell’autobus. Poiché 3 studenti erano assenti, ciascuno degli studenti presenti dovette pagare 2 reais in più per coprire il costo totale. Qual era il prezzo per persona?

A) $(x+3)(y-2)$ B) $(x-3)y+2$ C) $x(y-2)-3$ D) $xy-6$ E) $(x-3)(y+2)$

Risposta: E src_obm_1998_n2_f1__Q13

True discount versus apparent discount in a sale

Horacio decided to increase the sales of CDs in his shop and announced a liquidation sale with 30% off the label price. It so happened that on the day before the sale, Horacio had raised the price marked on the labels. As a result, the true discount was only 9%. By how much did Horacio increase the price?

A) 30% B) 39% C) 21% D) 40% E) 31%

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Sconto reale rispetto allo sconto apparente in una vendita

Horacio ha deciso di aumentare le vendite di CD nel suo negozio e ha annunciato una vendita di liquidazione con un 30% di sconto sul prezzo dell’etichetta. Succede che il giorno prima della vendita, Horacio aveva aumentato il prezzo segnalato sulle etichette. Di conseguenza, il vero sconto è stato solo del 9%. Quanto ha aumentato Horacio il prezzo?

A) 30% B) 39% C) 21% D) 40% E) 31%

Risposta: A src_obm_1998_n2_f1__Q14

Count boxes used given two types with fixed quantities

A toy manufacturer packs ping-pong balls in two types of boxes: one type holds 10 balls and the other holds 24 balls. On a certain day, he packed 198 balls using no more than 10 boxes. How many boxes were used that day?

A) 14 B) 16 C) 15 D) 17 E) 11

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Quadro di conteggio utilizzato per due tipi con quantità fisse

Un produttore di giocattoli imballa le palle di ping-pong in due tipi di scatole: una ha 10 palle e l’altra 24 palle. Un certo giorno ha messo 198 palle con non più di 10 scatole. Quante scatole sono state usate quel giorno?

A) 14 B) 16 C) 15 D) 17 E) 11

Risposta: D src_obm_1998_n2_f1__Q15

Fill grid with digits 1-5; find most repeated digit

Place the digits 1, 2, 3, 4, or 5 in each small cell of the grid shown, so that each digit appears at least once and the largest possible number formed is a multiple of 9.

(The grid has 9 cells in a row.)

Which digit appeared most often in the number you constructed?

A) 6 times B) 5 times C) 4 times D) 3 times E) 2 times

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Remplire la griglia con le cifre 1-5; trovare la cifra più ripetuta

Metti i numeri 1, 2, 3, 4 o 5 in ogni piccola cella della griglia mostrata, in modo che ogni cifra appaia almeno una volta e il numero più grande possibile formato sia un multiple di 9.

(La griglia ha 9 celle consecutive.)

Quale cifra appare più spesso nel numero che hai costruito?

A) 6 volte B) 5 volte C) 4 volte D) 3 volte E) 2 volte

Risposta: B src_obm_1998_n2_f1__Q16

Generalise Pythagorean triple pattern to find x+y

Observe the following identities: $3^2+4^2=5^2$ $5^2+12^2=13^2$ $7^2+24^2=25^2$ $9^2+40^2=41^2$ $⋮$ Using these examples as a guide, consider the identity $17^2+x^2=y^2$, where $x$ and $y$ are natural numbers. Determine the value of $x+y$.

A) 289 B) 121 C) 81 D) 144 E) 196

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Generalizzare il modello triplo di Pitagora per trovare x+y

Osservare le seguenti identità: $3^2+4^2=5^2$ $5^2+12^2=13^2$ $7^2+24^2=25^2$ $9^2+40^2=41^2$ $⋮$ Usando questi esempi come guida, considera l’identità $17^2+x^2=y^2$, dove $x$ e $y$ sono numeri naturali. Determinare il valore di $x+y$.

A) 289 B) 121 C) 81 D) 144 E) 196

Risposta: A src_obm_1998_n2_f1__Q17

Count ways to paint flag with 4 colours, two cannot be adjacent

You are going to paint the flag below using 4 colours: blue, green, yellow, and red, one colour per region.

If red and yellow cannot be adjacent, in how many ways can the flag be painted?

A) 12 B) 4 C) 18 D) 20 E) 16

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Conta i modi per dipingere la bandiera con 4 colori, due non possono essere adiacenti

Verrai dipinto la bandiera sotto utilizzando 4 colori: blu, verde, giallo e rosso, un colore per regione.

Se il rosso e il giallo non possono essere vicini, in quanti modi si può dipingere la bandiera?

A) 12 B) 4 C) 18 D) 20 E) 16

Risposta: A src_obm_1998_n2_f1__Q18

Logic puzzle: one truth-teller among four suspects

A crime is committed by one person, and there are four suspects: André, Eduardo, Rafael, and João. When questioned, they make the following statements:

• André: Eduardo is guilty.
• Eduardo: João is guilty.
• Rafael: I am not guilty.
• João: Eduardo is lying when he says I am guilty.

Knowing that exactly one of the four told the truth, who is guilty?

A) André. B) Eduardo. C) Rafael. D) João. E) It cannot be determined.

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Un puzzle logico: uno dei quattro sospettati dice la verità

Un crimine è commesso da una sola persona e ci sono quattro sospetti: André, Eduardo, Rafael e João. Quando vengono interrogati, fanno le seguenti dichiarazioni: - André: Eduardo è colpevole. - João è colpevole. - Non sono colpevole. Eduardo mente quando dice che sono colpevole.

Sapendo che esattamente uno dei quattro ha detto la verità, chi è colpevole?

A) André. B) Eduardo. C) Rafael. D) João. E) Non può essere determinato.

Risposta: C src_obm_1998_n2_f1__Q19

Cancelled problem

(Cancelled / Voided — Anulada.)

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Problema annullato

(Annullato / Annullato Annulada.)

src_obm_1998_n2_f1__Q20