Olimpíada Brasileira de Matemática 1998 — Nível 2 — Fase 3

Consecutive interior angles in convex pentagon sum over 216°

Prove that in any convex pentagon there exist two consecutive interior angles whose sum is greater than or equal to $216^{\circ }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angoli interiori consecutivi in pentagone converso sommato su 216°

Prove che in qualsiasi pentagono converso esistono due angoli interni consecutivi la cui somma è maggiore o uguale a $216^{\circ }$.

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Find angle BAC given midpoints and equal-angle conditions in triangle

In triangle $ABC$, $D$ is the midpoint of $AB$ and $E$ is the point on side $BC$ such that $BE=2\cdot EC$. Given that angles $ADC$ and $BAE$ are equal, find angle $BAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Find angolo BAC dato punti di mezzo e condizioni di angolo uguale in triangolo

Nel triangolo $ABC$, $D$ è il punto medio di $AB$ e $E$ è il punto laterale $BC$ in modo tale che $BE=2\cdot EC$. Dato che gli angoli $ADC$ e $BAE$ sono uguali, trovare l’angolo $BAC$.

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Maximum pins placeable in a row of 20 holes under neighbor rules

In a game there are 20 empty holes in a row, and a player must place a pin in each hole according to the following rules:

a) If a pin is placed in a hole and both neighboring holes are empty, the pin stays. b) If a pin is placed in a hole and one of the neighboring holes is occupied, the pin in that neighboring hole must be removed. c) If a pin is placed in a hole and both neighboring holes are occupied, then one of the two neighboring pins must be removed.

Determine the maximum number of pins that can be placed.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Invarianti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massimi pin da posizionare in una fila di 20 buchi secondo le regole dei vicini

In una partita ci sono 20 buchi vuoti di fila, e un giocatore deve inserire un bastone in ciascun buco secondo le seguenti regole:

a) Se un cerchio viene inserito in un buco e entrambi i buchi vicini sono vuoti, il cerchio rimane. b) Se viene inserito un bastone in un buco e uno dei buchi vicini è occupato, il bastone in quel buco vicino deve essere rimosso. c) Se viene inserita una pinna in un buco e sono occupati entrambi i buchi vicini, allora uno dei due pinni vicini deve essere rimosso.

Determinare il numero massimo di pin che possono essere posizionati.

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Among 15 naturals >1 and <1998 pairwise coprime, at least one is prime

Let 15 natural numbers greater than $1$ and less than $1998$ be given such that any two of them are coprime. Prove that at least one of these 15 numbers is prime.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tra i 15 naturali > 1 e < 1998 copriamo in copriamo, almeno uno è primo

Si devono dare 15 numeri naturali superiori a $1$ e inferiori a $1998$ in modo tale che due di essi siano copriemi. Prova che almeno uno di questi 15 numeri è primo.

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