Cross-reference to Problem 1 of Level 2 (statement not on these pages).
See Problem 1 of Level 2.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF
Riferazione incrociata al problema 1 del livello 2 (dichiarazione non presente in queste pagine).
Vedi il problema 1 del livello 2.
Risposta: D src_obm_1998_n3_f1__Q01
Cross-reference to Problem 2 of Level 2 (statement not on these pages).
See Problem 2 of Level 2.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF
Cross-reference al problema 2 del livello 2 (dichiarazione non presente in queste pagine).
Vedi il problema 2 del livello 2.
Risposta: C src_obm_1998_n3_f1__Q02
Cross-reference to Problem 5 of Level 2 (statement not on these pages).
See Problem 5 of Level 2.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF
Cross-reference al problema 5 del livello 2 (dichiarazione non presente in queste pagine).
Vedi il problema 5 del livello 2.
Risposta: B src_obm_1998_n3_f1__Q03
Cross-reference to Problem 6 of Level 2 (statement not on these pages).
See Problem 6 of Level 2.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF
Riferazione incrociata al problema 6 del livello 2 (dichiarazione non presente in queste pagine).
Cfr. il problema 6 del livello 2.
Risposta: E src_obm_1998_n3_f1__Q04
Cross-reference to Problem 15 of Level 2 (statement not on these pages).
See Problem 15 of Level 2.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF
Cross-reference al problema 15 del livello 2 (dichiarazione non presente in queste pagine).
Vedi il problema 15 del livello 2.
Risposta: D src_obm_1998_n3_f1__Q05
Compute the square root of the repeating decimal 0.4444…
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF
Calcolare la radice quadrata del decimale ripetitivo 0,4444…
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: E src_obm_1998_n3_f1__Q06
Cross-reference to Problem 8 of Level 2 (statement not on these pages).
See Problem 8 of Level 2.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF
Riferazione incrociata al problema 8 del livello 2 (dichiarazione non presente in queste pagine).
Cfr. il problema 8 del livello 2.
Risposta: D src_obm_1998_n3_f1__Q07
Maximum number of sides of a convex polygon whose interior angles are all smaller than 160 degrees (and cannot equal 160).
All interior angles of a convex polygon are smaller than (cannot be equal to) . The number of sides of this polygon is, at most, equal to:
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF
Numero massimo di lati di un poligono convex i cui angoli interni sono tutti inferiori a 160 gradi (e non possono essere uguali a 160).
Tutti gli angoli interni di un poligono converso sono inferiori a (non possono essere uguali a) . Il numero di lati di questo poligono è, al massimo, uguale a:
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
Risposta: D src_obm_1998_n3_f1__Q08
Arithmetic mean of six numbers is 4; after adding a seventh number the mean becomes 5. Find the added number.
The arithmetic mean of six numbers is . When we add a seventh number, the new mean is . The number that was added is:
A) 5
B) 6
C) 8
D) 10
E) 11
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF
La media aritmetica di sei numeri è 4; dopo l’aggiunta di un settimo numero la media diventa 5. Trova il numero aggiunto.
La media aritmetica di sei numeri è . Quando aggiungiamo un settimo numero, la nuova media è . Il numero che è stato aggiunto è:
A) 5
B) 6
C) 8
D) 10
E) 11
Risposta: E src_obm_1998_n3_f1__Q09
Cross-reference to Problem 19 of Level 2 (statement not on these pages).
See Problem 19 of Level 2.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF
Riferazione incrociata al problema 19 del livello 2 (dichiarazione non presente in queste pagine).
Vedi il problema 19 del livello 2.
Risposta: C src_obm_1998_n3_f1__Q10
On a calculator, key A maps x to 1/x and key 2 doubles; starting from 2, the sequence ABABAB…AB (998 keystrokes) is typed. Find the resulting number.
On a calculator, key transforms the number on the display into and key multiplies by the number on the display. If the number is on the display and we type the sequence ABABABAB…AB (total of keystrokes), the number that will appear on the display is equal to:
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Algebra Metodo: Ricorsione, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF
Su una calcolatrice, la chiave A mappa da x a 1/x e la chiave 2 è doppia; a partire da 2, viene digitata la sequenza ABABAB…AB (998 tasti). Trova il numero risultante.
Su una calcolatrice, la chiave trasforma il numero sul display in e la chiave moltiplica per il numero sul display. Se il numero è sul display e digitamo la sequenza ABABABAB…AB (total di tastiere), il numero che apparirà sul display è uguale a:
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: A src_obm_1998_n3_f1__Q11
An integer n is ‘good’ when 4n+1 is a multiple of 5. Count the good numbers between 500 and 1000.
An integer is good when is a multiple of . How many good numbers are there between and ?
A) 50
B) 51
C) 100
D) 101
E) 102
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF
Un numero intero n è “buono” quando 4n+1 è un multiple di 5. Conteggi i numeri buoni tra 500 e 1000.*
Un intero è buono quando è un multiple di . Quanti numeri buoni ci sono tra e ?
A) 50
B) 51
C) 100
D) 101
E) 102
Risposta: C src_obm_1998_n3_f1__Q12
In a set of points in space where any two distinct points are at distance 1, find the maximum number of points.
In a set of points in space, the distance between any two different points is equal to . The maximum number of points that this set can have is:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Topic: Geometria solida Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF
In un insieme di punti nello spazio in cui due punti distinti sono a distanza 1, trovare il numero massimo di punti.
In un insieme di punti nello spazio, la distanza tra due punti diversi è uguale a . Il numero massimo di punti che questo insieme può avere è:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Risposta: C src_obm_1998_n3_f1__Q13
If x men make x bundles in x seconds, how many seconds do y men take to make y bundles?
If men make bundles in seconds, in how many seconds will men make bundles?
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF
Se x uomini fanno x bundles in x secondi, quanti secondi ci vogliono y uomini per fare y bundles?
Se gli uomini fanno bundles in secondi, in quanti secondi gli uomini faranno bundles?
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: B src_obm_1998_n3_f1__Q14
Pizza price is proportional to area; a 20cm-diameter pizza costs R$3.60. Find the price of a 30cm-diameter pizza.
You enter a restaurant to eat pizza and expect to pay an amount proportional to the quantity of food ordered. If a pizza of in diameter costs R$ , how much should you expect to pay for another one of the same flavor with in diameter?
A) R$
B) R$
C) R$
D) R$
E) R$
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF
Il prezzo della pizza è proporzionale all’area; una pizza di 20 cm di diametro costa R$3,60. Trova il prezzo di una pizza di 30 cm di diametro.*
Entrate in un ristorante per mangiare pizza e vi aspettate di pagare un importo proporzionale alla quantità di cibo ordinato. Se una pizza di diametro costa R$ , how much should you expect to pay for another one of the same flavor with diametro?
A) R$
B) R$
C) R$
D) R$
E) R$
Risposta: E src_obm_1998_n3_f1__Q15
Function f assigns to each real x the smaller element of {x+1, (15-x)/2}. Find the maximum value of f(x).
The function associates to each real number the smallest element of the set . The maximum value of is:
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF
La funzione f assegna a ogni x reale l’elemento più piccolo di {x+1, (15-x)/2}. Trova il valore massimo di f ((x).*
La funzione associa a ogni numero reale il più piccolo elemento del set . Il valore massimo di è:
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: D src_obm_1998_n3_f1__Q16
Two radios sold at equal prices, one with 25% profit and one with 25% loss; find the net result on invested capital.
I sold two radios at equal prices. On one of them I made a profit of over the purchase price, and on the other a loss of . With respect to the invested capital:
A) I had neither profit nor loss
B) I made a profit of
C) I made a profit of
D) I had a loss of
E) I had a loss of
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF
Due radio vendute a prezzi uguali, una con profitto del 25% e una con perdita del 25%; trovare il risultato netto sul capitale investito.
Ho venduto due radio a prezzi uguali. Su una di esse ho ottenuto un profitto di sul prezzo di acquisto, e sull’altra una perdita di . Per quanto riguarda il capitale investito:
A) Non avevo né profitto né perdita
B) Ho ottenuto un profitto di
C) Ho ottenuto un profitto di
D) Ho perso
E) Ho perso
Risposta: D src_obm_1998_n3_f1__Q17
Four people make statements about a problem’s answer; find the maximum number that can be simultaneously true.
Regarding the answer of a problem, Maurício, Paulo, Eduardo and Carlos made the following statements:
- Maurício: It is greater than .
- Paulo: It is greater than .
- Eduardo: It is a prime number.
- Carlos: It is greater than .
Among the statements above, how many, at most, can be true?
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF
Quattro persone fanno dichiarazioni sulla risposta a un problema; trovare il numero massimo che possa essere simultaneamente vero.
Per quanto riguarda la risposta a un problema, Maurício, Paulo, Eduardo e Carlos hanno fatto le seguenti dichiarazioni:
- Maurício: è superiore a . - Paulo: è superiore a . E’ un numero primo. - Carlos: è maggiore di.
Tra le affermazioni di cui sopra, quante possono essere vere?
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: D src_obm_1998_n3_f1__Q18
Find the real values of x satisfying sqrt(x) + sqrt(1/x) <= 2.
The real values of that satisfy the inequality are:
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF
Ricerca i valori reali di x che soddisfano sqrt(x) + sqrt(1/x) <= 2.
I valori reali di che soddisfano la disuguaglianza sono:
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: B src_obm_1998_n3_f1__Q19
Place two A’s, two B’s and two C’s in a 2x3 table, one per cell, so that no column contains two equal letters; count the arrangements.
In how many ways can one place in the table below two letters , two letters and two letters , one in each cell, so that there are no two equal letters in the same column?
\begin{tikzpicture}\draw (0,0) grid (3,2);\end{tikzpicture}
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF
Posizionare due A, due B e due C in una tabella 2x3, una per ogni cella, in modo che nessuna colonna contenga due lettere uguali; contare gli arrangiamenti.
In quanti modi può un posto nella tabella sotto due lettere , due lettere e due lettere , una in ogni cella, in modo che non ci siano due lettere uguali nella stessa colonna?
\cominciare{tikzpicture}\disegnare (0,0) griglia (3,2);\finire{tikzpicture}
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: D src_obm_1998_n3_f1__Q20
A traveler should walk one hour between north and east at 30 degrees from east, but mistakenly walks one hour between west and north at 30 degrees from north; find the angle from north of the direction he must now take.
A traveler should walk for one hour in a direction between north and east, making with east. He got it wrong and walked for one hour in a direction between west and north, forming with north. To reach his destination, he must now take a direction that makes with north an angle of:
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF
Un viaggiatore deve camminare un’ora tra nord e est a 30 gradi da est, ma erroneamente cammina un’ora tra ovest e nord a 30 gradi da nord; trova l’angolo da nord della direzione che deve prendere ora.*
Un viaggiatore deve camminare per un’ora in direzione tra nord e est, facendo con est. Ha sbagliato e camminato per un’ora in direzione tra ovest e nord, formando con nord. Per raggiungere la sua destinazione, ora deve prendere una direzione che faccia con il nord un angolo di:
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: E src_obm_1998_n3_f1__Q21
Ferries take 25 min and launches 15 min from Rio to Niteroi; find when the ferry that left at 10h01 is overtaken by the launch that left at 10h07.
Ferries go from Rio to Niterói in minutes and launches make the trip in minutes. At what time is the ferry that departed from Rio at 10h01min overtaken by the launch that left Rio at 10h07min?
A) 10h 15min
B) 10h 16min
C) 10h 17min
D) 10h 18min
E) 10h 20min
Topic: Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF
I traghetti impiegano 25 minuti e lanciano 15 minuti da Rio a Niteroi; scoprire quando il traghetto che partì alle 10h01 viene superato dal lancio che partì alle 10h07.
I traghetti partono da Rio a Niterói in minuti e i lanci fanno il viaggio in minuti. A che ora il traghetto che partì da Rio alle 10:01 è stato superato dal lancio che ha lasciato Rio alle 10:07?
A) 10h 15min
B) 10h 16min
C) 10h 17min
D) 10 ore 18 minuti
E) 10 ore e 20 minuti
Risposta: B src_obm_1998_n3_f1__Q22
Cross-reference to Problem 17 of Level 2 (statement not on these pages).
See Problem 17 of Level 2.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF
Riferazione incrociata al problema 17 del livello 2 (dichiarazione non presente in queste pagine).
Cfr. il problema 17 del livello 2.
Risposta: A src_obm_1998_n3_f1__Q23
Find the sum of the real roots of x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0.
The sum of the real roots of is:
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF
Trovare la somma delle radici reali di x^3 + 3x^2 + 3x - 1 = 0.
La somma delle radici reali di è:
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: D src_obm_1998_n3_f1__Q24
Given a cube, consider the 27 points formed by vertices, edge midpoints, face centers and the cube center; count the lines passing through three of these points.
Given a cube, consider the set of points formed by the vertices of this cube, the midpoints of its edges, the centers of its faces and the center of the cube. How many lines are there that pass through three of these points?
A)
B)
C)
D)
E)
Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF
Dato un cubo, considera i 27 punti formati da vertici, punti di bordo, centri facciali e il centro del cubo; conta le linee che passano attraverso tre di questi punti.
Considerando un cubo, si considera l’insieme dei punti formati dalle vertici di questo cubo, i punti medi dei suoi bordi, i centri delle sue facce e il centro del cubo. Quante linee passano attraverso tre di questi punti?
A)
B)
C)
D)
E)
Risposta: A src_obm_1998_n3_f1__Q25