Olimpíada Brasileira de Matemática 1998 — Nível 3 — Fase 2

Max times cards can be removed from a box under a rule

Five cards numbered $3,4,5,6,7$ respectively are placed in a box. The cards are removed from the box one at a time, each placed on top of a pile on the table. If the number on the card being removed is less than the number on the card immediately preceding it, or less than the number on the card immediately below it on the pile, then that card is placed back in the box at once. The procedure continues until all cards are on the table. What is the maximum number of times that cards can be removed from the box?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 15 Fonte: apri PDF

Le schede max volte possono essere rimosse da una casella secondo una regola

Si inseriscono in una scatola cinque carte numerate $3,4,5,6,7$ rispettivamente. Le carte vengono rimosse dalla scatola una alla volta, ognuna posta su una pila sul tavolo. Se il numero della carta che viene rimossa è inferiore al numero della carta che la precede immediatamente, o inferiore al numero della carta che la segue immediatamente sulla pila, la carta viene riposta immediatamente nella scatola. La procedura continua fino a quando tutte le carte sono sul tavolo. Qual è il numero massimo di volte che le carte possono essere rimosse dalla scatola?

Risposta: 15 src_obm_1998_n3_f2__Q01

Two children take turns eating balls; strategy for second player to win

There are 20 balls on a table and two children take turns eating them. On each turn, a child must eat at least one ball and at most all the balls currently on the table. In this game, the child who is able to leave exactly one ball on the table wins. Which of the two children — the first or the second to play — can always win? What must they do to win?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Backward, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Due bambini che si alternano a mangiare palle; strategia per il secondo giocatore a vincere

Ci sono 20 palle su un tavolo e due bambini si alternano a mangiarle. A ogni turno, un bambino deve mangiare almeno una palla e al massimo tutte le palle attualmente sul tavolo. In questo gioco vince il bambino che riesce a lasciare esattamente una palla sul tavolo. Quale dei due bambini il primo o il secondo a giocare può sempre vincere? Cosa devono fare per vincere?

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Line through midpoints of opposite sides of convex quadrilateral bisects both diagonals

A line passes through the midpoints of two opposite sides of a convex quadrilateral and makes equal angles with both diagonals. Show that the two diagonals have the same length.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Linea attraverso i punti di mezzo dei lati opposti di quadrilaterali convexi bisecta entrambe le diagonali

Una linea passa attraverso i punti medi di due lati opposti di un quadrilaterale convexo e fa angoli uguali con entrambi i diagonali. Mostrare che le due diagonali hanno la stessa lunghezza.

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Semicircles on legs of acute triangle; altitude lines meet them at equal segments

On the sides $AB$ and $AC$ of an acute triangle $ABC$, semicircles are constructed externally, with those sides as diameters. The lines containing the altitudes relative to sides $AB$ and $AC$ cut these semicircles at points $P$ and $Q$ respectively. Prove that $AP=AQ$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Semi-cerchi su gambe di triangolo acuto; linee d’altitudine li incontrano in segmenti uguali

Nei lati $AB$ e $AC$ di un triangolo acuto $ABC$, sono costruiti semicircoli esternamente, con quei lati come diametri. Le linee contenenti le altitudini relative ai lati $AB$ e $AC$ tagliano tali semicircoli rispettivamente ai punti $P$ e $Q$. Dimostra che $AP=AQ$.

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Find f(1998) for a function satisfying a given functional equation

Let $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ be a function such that $f(1)=999$ and $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)=n^{2}f(n)$ for every positive integer $n$. Determine the value of $f(1998)$.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Telescoping, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $\frac{1}{1999}$ Fonte: apri PDF

Trovare f(1998) per una funzione che soddisfa una determinata equazione funzionale

Let $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ essere una funzione tale che $f(1)=999$ e $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)=n^{2}f(n)$ per ogni intero positivo $n$. Determinare il valore di $f(1998)$.

Risposta: $\frac{1}{1999}$ src_obm_1998_n3_f2__Q05

Smallest multiple of 1998 with only digits 0 and 3

The smallest multiple of $1998$ that has only the digits $0$ and $9$ is $9990$. What is the smallest multiple of $1998$ that has only the digits $0$ and $3$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $333333330$ Fonte: apri PDF

Il più piccolo multiple del 1998 con solo i numeri 0 e 3

Il più piccolo multiple di $1998$ che ha solo le cifre $0$ e $9$ è $9990$. Qual è il più piccolo multiple di $1998$ che ha solo le cifre $0$ e $3$?

Risposta: $333333330$ src_obm_1998_n3_f2__Q06