Olimpíada Brasileira de Matemática 1998 — Nível 3 — Fase 3

15 pairwise-coprime integers in (1,1998); show one is prime

Fifteen natural numbers greater than $1$ and less than $1998$ are given such that any two of them are relatively prime. Show that at least one of these fifteen numbers is prime.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione, Principio dei cassetti Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

15 integri copri­mi in copri­mi in (1,1998); mostrare uno è primo

Sono dati quindici numeri naturali superiori a $1$ e inferiori a $1998$ in modo tale che due di essi siano relativamente primi. Mostrare che almeno uno di questi quindici numeri è primo.

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Triangle with D midpoint of AB, E on BC with BE=2EC, equal angles; find angle BAC

In triangle $ABC$, $D$ is the midpoint of $AB$ and $E$ is the point on side $BC$ such that $BE=2\cdot EC$. Given that the angles $\widehat{ADC}$ and $\widehat{BAE}$ are equal, find the angle $\widehat{BAC}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con D punto medio di AB, E su BC con BE=2EC, angoli uguali; trovare angolo BAC

Nel triangolo $ABC$, $D$ è il punto medio di $AB$ e $E$ è il punto laterale $BC$ in modo tale che $BE=2\cdot EC$. Dato che gli angoli $\widehat{ADC}$ e $\widehat{BAE}$ sono uguali, trovare l’angolo $\widehat{BAC}$.

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Two-player number game with n rounds and increment t; gcd scoring; determine the winner

Two people play a game described as follows. Initially they choose two natural numbers $n\ge 2$ (the number of rounds) and $t\ge 1$ (the maximum increment). In the first round, player $A$ chooses a natural number $m_1>0$ and, afterwards, player $B$ chooses a natural number $n_1$ with $0<n_1<m_1$. In round $k$, for $2\le k\le n$, player $A$ chooses a natural number $m_k$ with $n_{k-1}<m_k\le n_{k-1}+t$ and, afterwards, player $B$ chooses a natural number $n_k$ with $m_k<n_k\le m_k+t$. After these choices, in round $k$, player $A$ gains $\mathrm{mdc}(m_k,n_{k-1})$ points and player $B$ gains $\mathrm{mdc}(m_k,n_k)$ points. The player who gains the larger total number of points at the end of the $n$ rounds is considered the winner. In case of equal total scores, player $A$ is considered the winner. For each choice of $n$ and $t$, determine which of the two players has a winning strategy.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gioco numero per due giocatori con n round e incremento t; punteggio gcd; determina il vincitore

Due persone giocano a un gioco descritto come segue. Inizialmente scelgono due numeri naturali $n\ge 2$ (numero di round) e $t\ge 1$ (incremento massimo). Nel primo round, il giocatore $A$ sceglie un numero naturale $m_1>0$ e, successivamente, il giocatore $B$ sceglie un numero naturale $n_1$ con $0<n_1<m_1$. Nel round $k$, per $2\le k\le n$, il giocatore $A$ sceglie un numero naturale $m_k$ con $n_{k-1}<m_k\le n_{k-1}+t$ e, successivamente, il giocatore $B$ sceglie un numero naturale $n_k$ con $m_k<n_k\le m_k+t$. Dopo queste scelte, nel round $k$, il giocatore $A$ guadagna $\mathrm{mdc}(m_k,n_{k-1})$ punti e il giocatore $B$ guadagna $\mathrm{mdc}(m_k,n_k)$ punti. Il giocatore che guadagna il maggior numero totale di punti alla fine dei round $n$ è considerato vincitore. In caso di punteggi totali uguali, il giocatore $A$ è considerato vincitore. Per ciascuna scelta di $n$ e $t$, determinare quale dei due giocatori ha una strategia vincente.

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Two-player quadratic-coefficient game using two integers and 1998; first player forces two distinct rational roots

Two boys play the following game. The first chooses two distinct nonzero integers and the second writes a second-degree equation using as coefficients the two numbers chosen by the first player together with $1998$, in whatever order he wishes (for example, with $a$ and $b$ he may write the equation $1998x^2+ax+b=0$, or $b{x}^2+1998x+a=0$, etc.). The first player is considered the winner if the equation has two distinct rational roots. Show that the first player can always win.

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Gioco quadratico-coefficiente per due giocatori utilizzando due enti e 1998; il primo giocatore forza due radici razionali distinte

Due ragazzi giocano il seguente gioco. Il primo sceglie due diversi enti non zeri e il secondo scrive un’equazione di secondo grado utilizzando come coefficienti i due numeri scelti dal primo giocatore insieme a $1998$, in qualsiasi ordine desideri (ad esempio, con $a$ e $b$ può scrivere l’equazione $1998x^2+ax+b=0$, o $b{x}^2+1998x+a=0$, ecc.). Il primo giocatore è considerato vincitore se l’equazione ha due radici razionali distinte. Dimostra che il primo giocatore può sempre vincere.

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Find all f: N->N with f(2f(x)) = x + 1998

Determine all functions $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ that satisfy $f(2f(x))=x+1998$ for every $x\in \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova tutte le f: N->N con f(2f(x)) = x + 1998

Determinare tutte le funzioni $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ che soddisfano $f(2f(x))=x+1998$ per ogni $x\in \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$.

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Worst-case path length to reach a Berlin corner with unknown side and unknown distance

Two mathematicians, lost in Berlin, arrive at the corner of Barbarossa Street and Martin Luther Street, and need to reach the corner of Meininger Street and Martin Luther Street. Unfortunately they do not know on which side of Martin Luther Street the corner with Meininger Street is, nor at what distance it lies; that is, they do not know whether they are obliged to turn right or left and how far to walk along Martin Luther Street until they reach the desired corner. What is the smallest positive value $X$ such that they can be certain of reaching the corner of Barbarossa Street and Meininger Street walking at most $X$ blocks (quarters)?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Stima, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La lunghezza di percorso peggiore per raggiungere un angolo di Berlino con lato sconosciuto e distanza sconosciuta

Due matematici, persi a Berlino, arrivano all’angolo di Barbarossa Street e Martin Luther Street, e devono raggiungere l’angolo di Meininger Street e Martin Luther Street. Purtroppo non sanno su quale lato di Martin Luther Street si trova l’angolo con Meininger Street, né a quale distanza si trova; cioè non sanno se sono obbligati a girare a destra o a sinistra e quanto a piedi lungo Martin Luther Street finché non raggiungono l’angolo desiderato. Qual è il minimo valore positivo $X$ tale da poter essere certo di raggiungere l’angolo di Barbarossa Street e Meininger Street percorrendo al massimo $X$ blocchi (quarti)?

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