Olimpíada Brasileira de Matemática 1999 — Nível 1 — Fase 2

Remove 10 digits from a long number to maximize the remaining value

Remove 10 digits from the number $12345123451234512345$ so that the remaining number is as large as possible.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5512345512345 Fonte: apri PDF

Rimuovere 10 cifre da un numero lungo per massimizzare il valore rimanente

Rimuovere 10 cifre dal numero $12345123451234512345$ in modo che il numero rimanente sia il più grande possibile.

Risposta: 5512345512345 src_obm_1999_n1_f2__Q01

Consecutive Sundays in four months of a non-leap year

It is known that three consecutive months of a given non-leap year each have exactly four Sundays.

a) Can these months be January, February, and March?

b) Can they be August, September, and October?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Domenica consecutiva in quattro mesi di un anno non bisestivo

Si sa che tre mesi consecutivi di un determinato anno non bisestile hanno esattamente quattro domeniche.

a) Questi mesi possono essere gennaio, febbraio e marzo?

b) Può essere agosto, settembre e ottobre?

src_obm_1999_n1_f2__Q02

Equilateral triangles ABC and EFG sharing vertices; find shaded area perimeter and fraction

In the figure, triangles $ABC$ and $EFG$ are equilateral. The perimeter of triangle $ABC$ is $132\text{cm}$ and, additionally, $AE=EC,BD=DC,EF=FC,DG=GE.$

a) What is the perimeter of the shaded region?

b) What fraction of the area of triangle $ABC$ does the shaded area represent?

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangoli equalaterali che condividono le vertici ABC ed EFG; trovare il perimetro e la frazione dell’area ombreggiata

Nella figura, i triangoli $ABC$ e $EFG$ sono equilaterali. Il perimetro del triangolo $ABC$ è $132\text{cm}$ e, inoltre, $AE=EC,BD=DC,EF=FC,DG=GE.$

a) Qual è il perimetro della regione ombrosa?

b) Quale frazione dell’area del triangolo $ABC$ rappresenta l’area oscurata?

src_obm_1999_n1_f2__Q03

Distribute coins in boxes so any amount 1–127 reais can be paid with exact boxes

Pedro distributed 127 coins of 1 real into seven boxes and placed a label on each one indicating the number of coins in that box. This distribution was made in such a way that any amount from \1.00$to$$127.00$ can be paid by handing over only certain boxes (without making change). How did Pedro do it?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 Fonte: apri PDF

Distribuire le monete in scatole in modo che qualsiasi importo di 1127 reais possa essere pagato con scatole esatte

Pedro distribuì 127 monete di 1 rea in sette scatole e mise una etichetta su ciascuna di esse indicando il numero di monete in quella scatola. Questa distribuzione è stata effettuata in modo tale che qualsiasi importo da \1.00$to$$127.00$ possa essere versato tramite la consegna di alcune scatole (senza modifica). Come ha fatto Pedro?

Risposta: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 src_obm_1999_n1_f2__Q04

Building with 1000 floors: find floors served by all four elevators, and by exactly four

A very tall building has $1000$ floors, not counting the ground floor. From the ground floor, five elevators depart:

• Elevator $A$ stops at every floor.
• Elevator $B$ stops at floors that are multiples of $5$: $0,5,10,15,\dots$
• Elevator $C$ stops at floors that are multiples of $7$: $0,7,14,21,\dots$
• Elevator $D$ stops at floors that are multiples of $17$: $0,17,34,51,\dots$
• Elevator $E$ stops at floors that are multiples of $23$: $0,23,46,69,\dots$

a) Show that, excluding the ground floor, there is no floor where all five elevators stop.

b) Determine the number of floors where exactly four elevators stop.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Costruzione con 1000 piani: trovare i piani serviti da tutti e quattro gli ascensori, e esattamente da quattro

Un edificio molto alto ha $1000$ piani, senza contare il piano terra. Dal piano terra partono cinque ascensori:

• L’ascensore si ferma ad ogni piano. - Sosta di ascensore $B$ a piani multipli di $5$: $0,5,10,15,\dots$ - Sosta di ascensore $C$ a piani multipli di $7$: $0,7,14,21,\dots$ - Sosta di ascensore $D$ a piani multipli di $17$: $0,17,34,51,\dots$ - Sosta di ascensore $E$ a piani multipli di $23$: $0,23,46,69,\dots$

a) dimostrare che, escludendo il piano terra, non vi è piano in cui si fermano tutti e cinque gli ascensori.

b) Determinare il numero di piani in cui si fermano esattamente quattro ascensori.

src_obm_1999_n1_f2__Q05

Find smallest square table tileable by an L-tromino-like piece

Find the smallest square table that can be tiled using pieces of the following shape:

$\begin{array}{cc}& \\ & \\ \text{cline}1-1& \end{array}$

(An L-shaped tromino of 3 unit squares arranged in an L.)

\textit{Note:} Tiling means completely covering, without overlapping pieces, so that no piece extends outside the table.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Colorazione, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: $10\times 10$ Fonte: apri PDF

Ricerca il tavolo quadrato più piccolo a piastrelle da un pezzo simile a L-tromino

Trova la tabella quadrata più piccola che possa essere piastrellata utilizzando pezzi della seguente forma:

$\begin{array}{cc}& \\ & \\ \text{cline}1-1& \end{array}$

(Un tromino a forma di L di 3 unità quadrate disposte in una L.)

\textit{Note:} Tiling significa coprire completamente, senza pezzi sovrapposti, in modo che nessun pezzo si estenda al di fuori del tavolo.

Risposta: 10 \times 10 src_obm_1999_n1_f2__Q06