Three consecutive months in a non-leap year each with exactly four Sundays; prove one of them is February.
Three consecutive months of a certain non-leap year each have exactly four Sundays. Prove that one of these months is February.
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Tre mesi consecutivi in un anno non bisestivo, ognuno con esattamente quattro domeniche; dimostrare che uno di essi è febbraio.
Tre mesi consecutivi di un determinato anno non alto hanno esattamente quattro domeniche. Prova che uno di questi mesi è febbraio.
Three integers on a board; each move erases two and writes their sum minus one; can starting from 2,2,2 or 3,3,3 yield 17,75,91?
On a blackboard three integers are written. Then a sequence of moves is performed in which, at each step, one erases two of them and writes in their place a number equal to the sum of the two erased ones diminished by one unit. After several moves the numbers , and are obtained on the blackboard. Is it possible that the numbers written at the start were:
a) ?
b) ?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Tre numeri interi su una lavagna; ogni movimento cancella due e scrive la loro somma meno uno; può partire da 2,2,2 o 3,3,3 rendere 17,75,91?
Su una lavagna sono scritte tre numeri interi. Poi viene eseguita una sequenza di mosse in cui, ad ogni passo, uno ne cancella due e scrive al loro posto un numero uguale alla somma delle due mosse cancellate diminuita di un’unità. Dopo numerose mosse si ottengono sulla lavagna i numeri , e . È possibile che i numeri scritti all’inizio fossero:
a) ?
b) ?
Square ABCD with points M,N,P,Q on the sides so the circumcircles of triangles MBN and PDQ are externally tangent; prove MN + PQ >= AC.
Let be a square. We choose points , , , respectively on , , and , in such a way that the circumscribed circles of triangles and are externally tangent. Prove that .
Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
ABCD quadrato con punti M,N,P,Q sui lati in modo che i circoncircoli dei triangoli MBN e PDQ siano tangenti esternamente; dimostrare MN + PQ >= AC.
Lasciate che sia quadrato. Scegliamo i punti , , , rispettivamente su , , e , in modo tale che i cerchi circumscritti dei triangoli e siano tangenti esternamente. Prova che .
Find the largest natural number that, for some rearrangement (a,b,c,d) of (3,6,9,12), equals the integer cube root of 3^a 6^b 9^c 12^d.
Determine the largest natural number for which there exists a rearrangement of (that is, ) such that the number is an integer. Justify your answer.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Trova il numero naturale più grande che, per qualche riorganizzazione (a,b,c,d) di (3,6,9,12), è uguale alla radice cubica di 3^a 6^b 9^c 12^d.
Determinare il numero naturale più grande per il quale esiste una riorganizzazione di (cioè ) tale che il numero sia un numero intero. Giustifica la tua risposta.
Adding two already-reduced fractions A/B + C/D over their lcm denominator; prove the resulting fraction is already in lowest terms.
A mathematics teacher gave his students the addition , where , , and are positive integers and the fractions are already simplified to the maximum (that is, the denominators are coprime with their respective numerators). After simplifying it to the minimum (that is, writing the result with the least common denominator and then reducing the result), show that the fraction the students will find as result is already simplified.
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
aggiunta di due frazioni già ridotte A/B + C/D sul loro denominatore lcm; prova che la frazione risultante è già in termini più bassi.
Un insegnante di matematica ha dato ai suoi studenti l’aggiunta , dove , , e sono numeri interi positivi e le frazioni sono già semplificate al massimo (cioè i denominatori sono coprime con i rispettivi numeratori). Dopo averlo semplificato al minimo (cioè scrivendo il risultato con il minimo denominatore comune e quindi riducendo il risultato), mostrare che la frazione che gli studenti troveranno come risultato è già semplificata.
Find all positive integers n for which a 9x10 rectangle can be tiled using 1xn pieces.
Determine all positive integers for which it is possible to assemble a rectangle using pieces .
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Colorazione, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Ricerca tutti gli integri positivi n per i quali un rettangolo 9x10 può essere cartigliato utilizzando pezzi 1xn.
Determinare tutti i numeri interi positivi per i quali è possibile assemblare un rettangolo utilizzando pezzi .