Olimpíada Brasileira de Matemática 1999 — Nível 2 — Fase 3

Area of inner quadrilateral in regular pentagon of area 1

Let $ABCDE$ be a regular pentagon with area $1$. Let $P$ be the intersection of $AC$ and $BD$, and let $Q$ be the intersection of $BD$ and $CE$. Determine the area of $APQD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area del quadrilatero interno nel pentagono regolare dell’area 1

Che $ABCDE$ sia un pentagono regolare con superficie $1$. Il $P$ è l’intersezione di $AC$ e $BD$, e il $Q$ è l’intersezione di $BD$ e $CE$. Determinare la superficie di $APQD$.

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Can a banished citizen ever return to his original city?

A kingdom consists of ten cities. A very troublesome citizen was banished from city $A$ to city $B$, which is the farthest city in the kingdom from $A$. After some time, he was banished from city $B$ to city $C$, which is the farthest city in the kingdom from $B$. He knows that city $C$ is not city $A$, and that city $D$ is the farthest city from $C$. If he continues to be banished in this way, is it possible for him to eventually return to city $A$?

Note: All distances between cities are distinct.

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Un cittadino esiliato può mai tornare nella sua città originaria?

Un regno è composto da dieci città. Un cittadino molto problematico è stato bandito dalla città $A$ alla città $B$, che è la città più lontana del regno da $A$. Dopo un po’ di tempo, fu bandito dalla città $B$ alla città $C$, che è la città più lontana del regno da $B$. Sa che la città $C$ non è città $A$, e che la città $D$ è la città più lontana da $C$. Se continua a essere bandito in questo modo, è possibile che alla fine ritorni in città?

**Nota: ** Tutte le distanze tra le città sono distinte.

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How many times did Adriano and Bruno face each other in ping-pong?

Adriano, Bruno, and Carlos played a series of table tennis matches. Each time a player lost, he was replaced by the player who was waiting. The first match was played between Adriano and Bruno. It is known that Adriano won 12 matches and Bruno won 21 matches. How many times did Adriano and Bruno play against each other?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Lettura attenta, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Quante volte Adriano e Bruno si sono affrontati a ping-pong?

Adriano, Bruno e Carlos giocarono una serie di partite di table tennis. Ogni volta che un giocatore perdeva, veniva sostituito dal giocatore che aspettava. La prima partita è stata giocata tra Adriano e Bruno. È noto che Adriano ha vinto 12 partite e Bruno 21 partite. Quante volte Adriano e Bruno hanno giocato l’uno contro l’altro?

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Prove sqrt(2) has a nonzero decimal digit between positions 1,000,000 and 3,000,000

Prove that there is at least one decimal digit different from zero among the $1,000,000$-th to the $3,000,000$-th decimal places of $\sqrt{2}$ after the decimal point.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove sqrt(2) ha una cifra decimale non zero tra le posizioni 1.000.000 e 3.000.000

Prove che c’è almeno una cifra decimale diversa da zero tra i punti decimali $1,000,000$-th a $3,000,000$-th di $\sqrt{2}$ dopo il punto decimale.

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