Olimpíada Brasileira de Matemática 1999 — Nível 3 — Fase 2

Sum of numbers written at arc midpoints and extremes of a circle

At the two ends of a diameter of a circle, write the number $1$ (first step). Next, each semicircle is bisected and at each of its two midpoints write the sum of the numbers at the two ends of the semicircle (second step). Next, each quarter-circle is bisected and at each of its two midpoints write the sum of the numbers at the two ends of the quarter-circle (third step). This process continues: at each step, every arc is bisected and at its midpoint is written the sum of the numbers at its two endpoints. Determine the sum of all numbers written after $1999$ steps.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Summa di numeri scritti ai punti di centro e agli estremi di un arco di un cerchio

Al diametro di un cerchio, scrivere il numero $1$ (primo passo). Successivamente, ogni semicircolo viene suddiviso e a ciascuno dei suoi due punti di mezzo si scrive la somma dei numeri alle due estremità del semicircolo (seconda tappa). Successivamente, ogni quartiere circolare viene suddiviso e a ciascuno dei suoi due punti di mezzo si scrive la somma dei numeri alle due estremità del quartiere circolo (terzo passo). Questo processo continua: ad ogni passo, ogni arco è diviso e al suo punto medio viene scritta la somma dei numeri ai suoi due punti finali. Determinare la somma di tutti i numeri scritti dopo i passi $1999$.

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Square ABCD with four circumscribed circles: angle and length conditions

Let $ABCD$ be a square. Choose points $M$, $N$, $P$, $Q$ on $AB$, $BC$, $CD$, and $DA$, respectively, so that the circumscribed circles of triangles $MBN$ and $PDQ$ are tangent to each other externally. Prove that $MN+PQ\ge AC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Disuguaglianze, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

ABCD quadrato con quattro cerchi circoscritti: condizioni di angolo e lunghezza

Lasciate che $ABCD$ sia quadrato. Selezionare i punti $M$, $N$, $P$, $Q$ su $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$, rispettivamente, in modo che i cerchi circondati dei triangoli $MBN$ e $PDQ$ siano tangenti l’uno all’altro esternamente. Prova che $MN+PQ\ge AC$.

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Largest n for rearrangement of (3,6,9,12) making an expression an integer

Determine the largest integer $n$ for which there exists a rearrangement $(a,b,c,d)$ of $(3,6,9,12)$ such that $\sqrt[4]{a\sqrt[3]{b\sqrt{c^d}}}$ is an integer. Justify your answer.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

N più piccolo per la riorganizzazione di (3,6,9,12) che rende un’espressione un numero intero

Determinare il numero intero più grande $n$ per il quale esiste una riorganizzazione $(a,b,c,d)$ di $(3,6,9,12)$ tale che $\sqrt[4]{a\sqrt[3]{b\sqrt{c^d}}}$ sia un numero intero. Giustifica la tua risposta.

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Positive integers n for which a 9×10 rectangle can be tiled by 1×n pieces

Determine all positive integers $n$ for which it is possible to tile a $9\times 10$ rectangle using $1\times n$ pieces.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Colorazione, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Neri interi positivi per i quali un rettangolo 9×10 può essere cartigliato da 1×n pezzi

Determinare tutti i numeri interi positivi $n$ per i quali è possibile tessere un rettangolo $9\times 10$ usando pezzi $1\times n$.

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Probability of using magenta glasses on August 31 given a daily random choice

José has three pairs of glasses: one magenta, one yellow, and one cyan. Every morning he chooses one of them at random, being careful never to use the same one as the previous day. On August 1st he wore the magenta pair. What is the probability that on August 31st he again uses the magenta pair?

Topic: Probabilità Metodo: Ricorsione Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Probabilità di usare occhiali magenta il 31 agosto data una scelta casuale giornaliera

José ha tre coppie di occhiali: uno magenta, uno giallo e uno cian. Ogni mattina ne sceglie uno a caso, facendo attenzione a non usarne mai lo stesso del giorno precedente. Il 1° agosto indossava la magenta. Qual e’ la probabilita’ che il 31 agosto usi di nuovo la coppia di magenta?

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Find all integer solutions of x^3 - y^3 = 999

Find all integer solutions of $x^3-y^3=999$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni integrali di x^3 - y^3 = 999

Trovare tutte le soluzioni integrali di $x^3-y^3=999$.

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