Olimpíada Brasileira de Matemática 1999 — Nível 3 — Fase 3

Area of quadrilateral in regular pentagram with area 1

Let $ABCDE$ be a regular pentagon such that the star $ACEBD$ has area $1$. Let $P$ be the intersection of $AC$ and $BE$, and $Q$ the intersection of $BD$ and $CE$. Determine the area of $APQD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{1}{2}$ Fonte: apri PDF

Area quadrilaterale in pentagramma regolare con area 1

Che $ABCDE$ sia un pentagono regolare in modo tale che la stella $ACEBD$ abbia una superficie $1$. $P$ sia l’intersezione di $AC$ e $BE$, e $Q$ l’intersezione di $BD$ e $CE$. Determinare la superficie di $APQD$.

Risposta: \frac{1}{2} src_obm_1999_n3_f3__Q01

Prove nonzero decimal digit of sqrt(2) in given range

Prove that there exists at least one decimal digit different from zero among the digits of $\sqrt{2}$ between the $1,000,000$th and the $3,000,000$th decimal place after the decimal point.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove la cifra decimale non zero di sqrt(2) in un determinato intervallo

Prove che esiste almeno una cifra decimale diversa da zero tra le cifre di $\sqrt{2}$ tra la $1,000,000$th e la $3,000,000$th decimale dopo il punto decimale.

src_obm_1999_n3_f3__Q02

Max pieces on 10x10 board with no axis-parallel rectangle

We have a $10\times 10$ square board. We wish to place $n$ pieces on the cells of the board in such a way that no $4$ pieces form the vertices of a rectangle with sides parallel to the sides of the board. Determine the maximum value of $n$ for which this construction is possible.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 34 Fonte: apri PDF

Piani massimi su lavagna da 10x10 senza rettangolo parallelo all’asse

Abbiamo una tabella quadrata. Desideriamo posizionare pezzi $n$ sulle celle della lavagna in modo tale che nessun pezzo $4$ costituisca le vertici di un rettangolo con lati paralleli ai lati della lavagna. Determinare il valore massimo di $n$ per il quale tale costruzione è possibile.

Risposta: 34 src_obm_1999_n3_f3__Q03

Antipodal city Kriptonita prices differ by at most 100 Urghs

The planet $\text{Zork}$ is spherical and has many cities. For each city there exists an antipodal city (i.e., symmetric with respect to the center of the planet). In $\text{Zork}$ roads connect pairs of cities $P$ and $Q$; there is also a road connecting the cities $P^{\prime }$ and $Q^{\prime }$, where $P^{\prime }$ is the antipodal city of $P$ and $Q^{\prime }$ is the antipodal city of $Q$. Furthermore, roads do not cross, and between any two cities $P$ and $Q$ it is always possible to travel from $P$ to $Q$ along some sequence of roads.

The price of $\text{Kriptonita}$ (a planetary mineral) in two cities connected by a road differs by at most $100$ $\text{Urghs}$. Prove that there exist two antipodal cities where the price of $\text{Kriptonita}$ differs by exactly at most $100$ $\text{Urghs}$.

More precisely: prove that there exist two antipodal cities where the price of $\text{Kriptonita}$ differs by at most $100$ $\text{Urghs}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Grafi, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prezzi di Kriptonita città antipodal differiscono di non più di 100 Urghs

Il pianeta $\text{Zork}$ è sferico e ha molte città. Per ciascuna città esiste una città antipodal (cioè simmetrica rispetto al centro del pianeta). In $\text{Zork}$ le strade collegano coppie di città $P$ e $Q$; vi è anche una strada che collega le città $P^{\prime }$ e $Q^{\prime }$, dove $P^{\prime }$ è la città antipodal di $P$ e $Q^{\prime }$ è la città antipodal di $Q$. Inoltre, le strade non si attraversano e tra due città $P$ e $Q$ è sempre possibile viaggiare da $P$ a $Q$ lungo una certa sequenza di strade.

Il prezzo di $\text{Kriptonita}$ (un minerale planetario) in due città collegate da una strada differisce al massimo di $100$ $\text{Urghs}$. Provare che esistono due città antipodiche in cui il prezzo di $\text{Kriptonita}$ differisce esattamente di almeno $100$ $\text{Urghs}$.

Più precisamente: dimostrare che esistono due città antipodali in cui il prezzo di $\text{Kriptonita}$ differisce al massimo di $100$ $\text{Urghs}$.

src_obm_1999_n3_f3__Q04

Minimum Sundays for round-robin football championship with n teams

In $\text{Tumbolia}$ there are $n$ football teams. A round-robin championship is to be organized so that each team plays exactly once against each of the others. All games are played on Sundays, and a team cannot play more than once on the same Sunday. Determine the minimum positive integer $n$ for which it is possible to hold such a championship in $n$ Sundays.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $n=2k-1\text{ if }n=2k,\text{ and }n\text{ if }n\text{ is odd}$ Fonte: apri PDF

Minimum di domenica per il campionato di calcio in round-robin con n squadre

In $\text{Tumbolia}$ ci sono $n$ squadre di calcio. Si organizzerà un campionato round-robin in modo che ciascuna squadra giochi esattamente una volta contro l’altra. Tutte le partite si svolgono la domenica e una squadra non può giocare più di una volta la stessa domenica. Determinare il numero intero positivo minimo $n$ per il quale è possibile tenere un tale campionato nelle domenica $n$.

Risposta: n = 2k-1 \text{ if } n=2k, \text{ and } n \text{ if } n \text{ is odd} src_obm_1999_n3_f3__Q05

Construct minimum-area inscribed triangle with prescribed angles using compass and straightedge

Given triangle $ABC$, show how to construct with straightedge and compass a triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ of minimum area such that $C^{\prime }\in AC$, $A^{\prime }\in AB$, $B^{\prime }\in BC$, and $\angle B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\angle BAC,\angle A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }=\angle ABC,\angle A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\angle ACB.$

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Construire un triangolo con superficie minima incentrata con angoli prescritti utilizzando bussola e borso retto

Se il triangolo $ABC$ è considerato, mostrare come costruire con il bordo stretto e la bussola un triangolo $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ di superficie minima come $C^{\prime }\in AC$, $A^{\prime }\in AB$, $B^{\prime }\in BC$ e $\angle B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }=\angle BAC,\angle A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }=\angle ABC,\angle A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\angle ACB.$

src_obm_1999_n3_f3__Q06