Olimpíada Brasileira de Matemática 2000 — Nível 1 — Fase 1

Extend multiplication pattern to find missing multiplier

Observe the following multiplications: $12345679\times 18=222222222$ $12345679\times 27=333333333$ $12345679\times 36=444444444$ To obtain $999999999$ we must multiply $12345679$ by:

(A) $29$ \quad (B) $99$ \quad (C) $72$ \quad (D) $41$ \quad (E) $81$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Estendere il modello di moltiplicazione per trovare il moltiplicatore mancante

Osservare le seguenti moltiplicazioni: $12345679\times 18=222222222$ $12345679\times 27=333333333$ $12345679\times 36=444444444$ Per ottenere $999999999$ dobbiamo moltiplicare $12345679$ per:

(A) $29$ \quad (B) $99$ \quad (C) $72$ \quad (D) $41$ \quad (E) $81$

Risposta: E src_obm_2000_n1_f1__Q01

Salary with overtime: find base pay

Dino earned $250$ reais, including payment for overtime hours. The salary (when overtime hours are standard) exceeds $200$ reais in the amount that must be paid for the overtime hours. What is his salary?

(A) $200$ reais \quad (B) $150$ reais \quad (C) $225$ reais \quad (D) $175$ reais \quad (E) $180$ reais

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Spagno con orario straordinario: trovare il salario base

Dino ha guadagnato $250$ reais, compreso il pagamento per le ore extra. Il salario (quando le ore di lavoro esteso sono standard) supera i REAL $200$ nell’importo da pagare per le ore di lavoro esteso. Quanto paga?

(A) $200$ reais \quad (B) $150$ reais \quad (C) $225$ reais \quad (D) $175$ reais \quad (E) $180$ reais

Risposta: C src_obm_2000_n1_f1__Q02

Digital clock equal digits between 0:00 and 23:59

On a digital clock showing times from $0:00$ to $23:59$, how many times per day does the display show all digits equal?

(A) $10$ \quad (B) $3$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $9$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

L’orologio digitale è di cifre uguali tra le 0:00 e le 23:59

Su un orologio digitale che mostra i tempi da $0:00$ a $23:59$, quante volte al giorno il display mostra tutte le cifre uguali?

(A) $10$ \quad (B) $3$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $9$

Risposta: B src_obm_2000_n1_f1__Q03

Trade empty bottles for full ones: maximum bottles

The city hall of a certain city ran a campaign allowing the exchange of $4$ empty $1$-litre bottles of milk for $1$ full litre of milk. How many full litres can be obtained from $43$ full bottles, assuming you start with $43$ full bottles?

(A) $11$ \quad (B) $12$ \quad (C) $13$ \quad (D) $14$ \quad (E) $15$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Cambia le bottiglie vuote con quelle piene: bottiglie massime

Il municipio di una certa città ha condotto una campagna che ha permesso lo scambio di $4$ bottiglie vuote di latte $1$ per $1$ litro pieno di latte. Quanti litri pieni si possono ottenere da $43$ bottiglie complete, se si inizia con $43$ bottiglie complete?

(A) $11$ \quad (B) $12$ \quad (C) $13$ \quad (D) $14$ \quad (E) $15$

Risposta: D src_obm_2000_n1_f1__Q04

Balls in a box: colour deduction by elimination

A box contains several balls: $5$ blue, $4$ yellow, $3$ red, $2$ white, and $1$ black. Renato draws $3$ balls from the box. Knowing that none of the three balls is black, not yellow, and not red, Renato wants to make the following assertion about these $3$ balls:

(A) They are all the same colour. \quad (B) They are red. \quad (C) One is red and the other two are white. \quad (D) One is white and the other two are red. \quad (E) At least one is red.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Palle in scatola: riduzione del colore per eliminazione

Una scatola contiene diverse palle: blu, giallo, rosso, bianco e nero. Renato tira le palle $3$ dalla scatola. Sapendo che nessuna delle tre palle è nera, non gialla e non rossa, Renato vuole fare la seguente affermazione riguardo a queste palle $3$:

A) Sono tutti dello stesso colore. Quad (B) Sono rossi. \quad (C) Uno è rosso e gli altri due sono bianchi. \quad (D) Uno è bianco e gli altri due sono rossi. Quad (E) almeno uno è rosso.

Risposta: A src_obm_2000_n1_f1__Q05

Shaded area in figure with rectangle of area 12

If the area of the rectangle is $12$, what is the area of the shaded figure?

(A) $3$ \quad (B) $4$ \quad (C) $5$ \quad (D) $6$ \quad (E) $8$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Stima Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

L’area oscurata in figura con rettangolo di superficie 12

Se l’area del rettangolo è $12$, qual è l’area della figura ombrata?

(A) $3$ \quad (B) $4$ \quad (C) $5$ \quad (D) $6$ \quad (E) $8$

Risposta: D src_obm_2000_n1_f1__Q06

Express 25 as sum of two primes in how many ways

The number $10$ can be written as a sum of two prime numbers in two ways: $10=5+5$ and $10=7+3$. In how many ways can we express the number $25$ as a sum of two prime numbers?

(A) $4$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $3$ \quad (E) none

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Espresso 25 come somma di due prime in quanti modi

Il numero $10$ può essere scritto come somma di due numeri primi in due modi: $10=5+5$ e $10=7+3$. In quanti modi possiamo esprimere il numero $25$ come somma di due numeri primi?

(A) $4$ \quad (B) $1$ \quad (C) $2$ \quad (D) $3$ \quad (E) none

Risposta: B src_obm_2000_n1_f1__Q07

Cost of alcohol to drive 600 km at 25 km per 3 litres

One litre of alcohol costs R\0.75$.Henriqu{e}^{\prime }scartravels$25$kmon$3$litresofalcohol.HowmanyreaiswillHenriquespendonalcoholtotravel$600$ km?

(A) $54$ \quad (B) $72$ \quad (C) $50$ \quad (D) $52$ \quad (E) $45$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Costo di alcol per guidare 600 km a 25 km per 3 litri

Un litro di alcol costa 0,75$.Henriqu{e}^{\prime }scartravels$25$kmon$3$litresofalcohol.HowmanyreaiswillHenriquespendonalcoholtotravel$600$ km?

(A) $54$ \quad (B) $72$ \quad (C) $50$ \quad (D) $52$ \quad (E) $45$

Risposta: B src_obm_2000_n1_f1__Q08

Two-digit number reversed gives odd; difference equals cube

A certain two-digit number $N$ is the square of a natural number. Reversing the digits of that number, one obtains an odd number. The difference between the two numbers is the cube of a natural number. We can assert that the sum of the digits of $N$ is:

(A) $7$ \quad (B) $10$ \quad (C) $13$ \quad (D) $9$ \quad (E) $11$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Un numero a due cifre invertito dà odd; la differenza è uguale a cubo

Un certo numero a due cifre $N$ è il quadrato di un numero naturale. Invertendo le cifre di quel numero, si ottiene un numero impar. La differenza tra i due numeri è il cubo di un numero naturale. Possiamo affermare che la somma delle cifre di $N$ è:

(A) $7$ \quad (B) $10$ \quad (C) $13$ \quad (D) $9$ \quad (E) $11$

Risposta: E src_obm_2000_n1_f1__Q09

Gear and flag position after partial rotation

Juliano colours one small flag grey in each gear, as shown in the figure below.

The gears are identical and when the left gear turns a little, its small flag moves; in this condition, we can assert that the position of the small flag on the right gear is:

(A) [image A] \quad (B) [image B] \quad (C) [image C] \quad (D) [image D] \quad (E) [image E]

Topic: Geometria piana, Logica Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Posizione dell’engineria e della bandiera dopo rotazione parziale

Juliano colora una piccola bandiera in grigio in ciascuna attrezzatura, come mostrato nella figura seguente.

Le marce sono identiche e quando la marcia sinistra gira un po’, la sua piccola bandiera si muove; in questa condizione, possiamo affermare che la posizione della piccola bandiera sulla marcia destra è:

(A) [immagine A] \quad (B) [immagine B] \quad (C) [immagine C] \quad (D) [immagine D] \quad (E) [immagine E]

Risposta: B src_obm_2000_n1_f1__Q10

Boxes of palm hearts stacked in crates: total count

A factory packs $8$ palm hearts in cubic boxes with a side of $20$ cm. For the best transport of these boxes, they are placed in crates of $80$ cm width by $120$ cm length by $60$ cm height. The number of litres of palm hearts in each crate is:

(A) $576$ \quad (B) $4608$ \quad (C) $2304$ \quad (D) $720$ \quad (E) $144$

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Scatole di palme di cuore impilate in scatole: numero totale

Una fabbrica imballa $8$ palme di cuore in scatole cubiche con un lato di $20$ cm. Per il miglior trasporto di queste scatole, esse sono collocate in scatole di $80$ cm di larghezza per $120$ cm di lunghezza per $60$ cm di altezza. Il numero di litri di cuori di palma in ciascuna scatola è:

(A) $576$ \quad (B) $4608$ \quad (C) $2304$ \quad (D) $720$ \quad (E) $144$

Risposta: E src_obm_2000_n1_f1__Q11

Ages of father and son given past and future conditions

Hélio is now $18$ years old. Three times Hélio’s age was precisely Hélio’s father’s age. Now the father is twice the age of his son. How many years old are Hélio and his son?

(A) $72$ years and $36$ years and $18$ years. \quad (B) $36$ years and $18$ years and $18$ years. \quad (C) $40$ years and $20$ years. \quad (D) $50$ years and $25$ years. \quad (E) $38$ years and $19$ years.

Topic: Algebra Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

età di padre e di figlio, date le condizioni passate e future

Hélio ha ora $18$ anni. Tre volte l’età di Hélio era esattamente l’età del padre di Hélio. Ora il padre ha il doppio dell’età di suo figlio. Quanti anni hanno Hélio e suo figlio?

(A) anni $72$ e anni $36$ e anni $18$. Quad (B) $36$ anni e $18$ anni e $18$ anni. Quad (C) $40$ anni e $20$ anni. Quad (D) $50$ anni e $25$ anni. \quad (E) $38$ anni e $19$ anni.

Risposta: E src_obm_2000_n1_f1__Q12

Sequence in columns: under which letter does 2000 appear

The positive integers are arranged in columns as shown below, starting from letter $A$:

A & B & C & D & E & F & G & H & I \\ 1 & & 2 & & 3 & & & & 5 \\ & 9 & & & & 7 & & 6 & \\ & & 11 & 12 & & & 13 & & 14 \\ 19 & & & 17 & & 16 & & 15 & \\ & 18 & & & & & & & \\ \end{array}$$ Below which letter does the number $2000$ appear? (A) $F$ \quad (B) $B$ \quad (C) $C$ \quad (D) $I$ \quad (E) $A$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: skill_riconoscimento_pattern, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Sequenza in colonne: sotto la quale appare la lettera 2000

I numeri interi positivi sono disposti in colonne come mostrato di seguito, a partire dalla lettera $A$:

$\begin{array}{ccccccccc}A& B& C& D& E& F& G& H& I\\ 1& & 2& & 3& & & & 5\\ & 9& & & & 7& & 6& \\ & & 11& 12& & & 13& & 14\\ 19& & & 17& & 16& & 15& \\ & 18& & & & & & & \end{array}$

Sotto quale lettera appare il numero $2000$?

(A) $F$ \quad (B) $B$ \quad (C) $C$ \quad (D) $I$ \quad (E) $A$

Risposta: C src_obm_2000_n1_f1__Q13

Emir Abdel Azir sons: multiples logic problem

Emir Abdel Aziz was famous for having many sons. He had more than $39$ sons, including twins. In fact, the historian Ahmed Aab affirms in two of his books that all his sons who were twins were duplets, except $39$; they were triplets, except $39$; all were quadruplets, except $39$. The number of sons of the Emir is:

(A) $111$ \quad (B) $48$ \quad (C) $51$ \quad (D) $78$ \quad (E) $75$

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

I figli di Emir Abdel Azir: problema di logica multipla

Emir Abdel Aziz era famoso per avere molti figli. Ha avuto più di $39$ figli, tra cui gemelli. Infatti, lo storico Ahmed Aab afferma in due dei suoi libri che tutti i suoi figli gemelli erano doppi, tranne $39$; erano tripli, tranne $39$; erano tutti quadrupli, tranne $39$. Il numero dei figli dell’ Emiro è:

(A) $111$ \quad (B) $48$ \quad (C) $51$ \quad (D) $78$ \quad (E) $75$

Risposta: C src_obm_2000_n1_f1__Q14

Logic puzzle: who paid museum entry

Four friends want to visit a museum and one of them decides to pay the entry for all. A tax officer who wants to know who paid for entry questions them:

• “It wasn’t me,” says Benjamim. — “It was Carlos,” says Mário.
• “It was Pedro,” says Carlos. — “Mário is wrong, it was Pedro,” says Pedro.

Only one of them is lying. Who did NOT pay the entry for the museum?

(A) Mário \quad (B) Pedro \quad (C) Benjamim \quad (D) Carlos \quad (E) insufficient data

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Il puzzle logico: chi ha pagato l’ingresso al museo

Quattro amici vogliono visitare un museo e uno di loro decide di pagare l’entrata per tutti. Un funzionario delle tasse che vuole sapere chi ha pagato l’ingresso li interroga:

• “Non sono stato io”, dice Benjamim. “È stato Carlos”, dice Mário. - “E’ stato Pedro”, dice Carlos. “Mário ha torto, è stato Pedro”, dice Pedro.

Solo uno di loro sta mentendo. Chi NON ha pagato l’ingresso al museo?

(A) Mário \quad (B) Pedro \quad (C) Benjamim \quad (D) Carlos \quad (E) dati insufficienti

Risposta: A src_obm_2000_n1_f1__Q15

Game of sticks: winning first move from 1000

In a game for two players, the players take turns removing $1$, $2$, $3$, $4$, or $5$ sticks from a pile that initially contains $1000$ sticks. The player who takes the last stick wins. How many sticks should the player who goes first remove from the initial pile in order to guarantee a win?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Gioco di bastoni: vincere la prima mossa da 1000

In una partita per due giocatori, i giocatori si alternano per rimuovere i bastoni $1$, $2$, $3$, $4$ o $5$ da una pila che inizia a contenere bastoni $1000$. Il giocatore che prende l’ultimo bastone vince. Quanti bastoni deve togliere il giocatore che va per primo dalla pila iniziale per garantire una vittoria?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Risposta: D src_obm_2000_n1_f1__Q16

Count positive integers below 1 000 000 whose cubes end in 1

How many positive integers and negative integers less than $1000000$ have their cubes terminating in $1$?

(A) $1000$ \quad (B) $10000$ \quad (C) $50000$ \quad (D) $100000$ \quad (E) $500000$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Contare numeri interi positivi inferiori a 1 000 000 i cui cubetti terminano in 1

Quanti integri positivi e quanti integri negativi inferiori a $1000000$ hanno i loro cubi che terminano in $1$?

(A) $1000$ \quad (B) $10000$ \quad (C) $50000$ \quad (D) $100000$ \quad (E) $500000$

Risposta: B src_obm_2000_n1_f1__Q17

Comparing averages after moving last-place student

The $61$ students approved in a competition, whose marks were all different, were distributed in two groups: the $31$ best-scoring students in group $A$ and the $30$ following in group $B$. The averages of both groups were calculated. Then it was decided to move the last-ranked student in group $A$ to group $B$. With this:

(A) The average of group $A$ improved, but that of group $B$ worsened. \quad (B) The average of group $A$ worsened, but that of group $B$ improved. \quad (C) The averages of both groups improved. \quad (D) The averages of both groups worsened. \quad (E) The averages of both groups can improve or worsen, depending on the marks of the candidates.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Comparare le medie dopo il trasferimento degli studenti in ultima posizione

Gli studenti $61$ approvati in un concorso, i cui punteggi erano tutti diversi, sono stati suddivisi in due gruppi: gli studenti $31$ con il miglior punteggio nel gruppo $A$ e i $30$ successivi nel gruppo $B$. Sono state calcolate le medie di entrambi i gruppi. In seguito è stato deciso di spostare l’allievo ultimo nel gruppo $A$ al gruppo $B$. Con questo:

(A) La media del gruppo $A$ è migliorata, ma quella del gruppo $B$ è peggiorata. \quad (B) La media del gruppo $A$ è peggiorata, ma quella del gruppo $B$ è migliorata. \quad (C) Le medie di entrambi i gruppi sono migliorate. \quad (D) Le medie di entrambi i gruppi sono peggiorate. \quad (E) Le medie di entrambi i gruppi possono migliorare o peggiorare, a seconda dei voti dei candidati.

Risposta: C src_obm_2000_n1_f1__Q18

100th term of sequence: multiples of 7 or 8 in order

The positive integers that are multiples of $7$ or $8$ (or both) are written in increasing order: $7,8,14,16,\dots$ The $100^{\text{th}}$ number written is:

(A) $406$ \quad (B) $376$ \quad (C) $392$ \quad (D) $384$ \quad (E) $400$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

100° termine di sequenza: moltipli di 7 o 8 nell’ordine

I numeri interi positivi che sono multipli di $7$ o $8$ (o entrambi) sono scritti in ordine crescente: $7,8,14,16,\dots$ Il numero $100^{\text{th}}$ scritto è:

(A) $406$ \quad (B) $376$ \quad (C) $392$ \quad (D) $384$ \quad (E) $400$

Risposta: E src_obm_2000_n1_f1__Q19

Net of a cube: identify correct assembled cube

The figure below is drawn on cardboard and folded to form a cube.

Which of the alternatives shows the correctly assembled cube?

(A) [image A] \quad (B) [image B] \quad (C) [image C] \quad (D) [image D] \quad (E) [image E]

Topic: Geometria solida Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Net di un cubo: identificare il cubo assemblato corretto

La figura qui sotto è disegnata su cartone e piegata per formare un cubo.

Quale delle alternative mostra il cubo assemblato correttamente?

(A) [immagine A] \quad (B) [immagine B] \quad (C) [immagine C] \quad (D) [immagine D] \quad (E) [immagine E]

Risposta: B src_obm_2000_n1_f1__Q20