Olimpíada Brasileira de Matemática 2000 — Nível 1 — Fase 2

Count rectangular parallelepipeds from 24 unit cubes

In how many different ways can we build a rectangular parallelepiped using exactly 24 cubic blocks of dimensions $1\times 1\times 1$?

Note: Blocks of dimensions $2\times 3\times 4$ and $2\times 4\times 3$ are considered equal.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Conta i parallelepiped rettangolari da 24 cubetti unitari

In quanti modi diversi possiamo costruire un parallelepiped rettangolare utilizzando esattamente 24 blocchi cubi di dimensioni $1\times 1\times 1$?

Nota: Blocchi di dimensioni $2\times 3\times 4$ e $2\times 4\times 3$ sono considerati uguali.

Risposta: 6 src_obm_2000_n1_f2__Q01

Find side length of square I in rectangle divided into 9 squares

The rectangle shown alongside is divided into $9$ squares $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, and $I$. Square $A$ has side length $1$ and square $B$ has side length $9$.

What is the side length of square $I$?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 18 Fonte: apri PDF

Ricerca la lunghezza laterale del quadrato I nel rettangolo diviso in 9 quadrati

Il rettangolo mostrato accanto è diviso in quadrati $9$ $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ e $I$. Il quadrato $A$ ha lunghezza laterale $1$ e il quadrato $B$ ha lunghezza laterale $9$.

Qual è la lunghezza laterale del quadrato $I$?

Risposta: 18 src_obm_2000_n1_f2__Q02

Red/blue 100 points on a line; determine colour of rightmost point

We paint $100$ points on a line either red or blue. If two neighbouring points are both red, we paint the segment between them red. If two neighbouring points are both blue, we paint the segment between them blue. If two neighbouring points have different colours, we paint the segment between them green. After doing this, there are exactly $20$ green segments.

Is it possible to determine from this data the colour of the point on the right end? If so, what colour is that point?

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: red Fonte: apri PDF

Rossa/blu 100 punti su una linea; determinare il colore del punto più a destra

Pingiamo $100$ punti su una linea in rosso o blu. Se due punti vicini sono entrambi rossi, dipingiamo il segmento tra di loro rosso. Se due punti vicini sono entrambi blu, dipingiamo il segmento tra loro in blu. Se due punti vicini hanno colori diversi, dipingiamo il segmento tra di loro in verde. Dopo aver fatto questo, ci sono esattamente $20$ segmenti verdi.

È possibile determinare a partire da questi dati il colore del punto sul lato destro? In tal caso, di che colore è il punto?

Risposta: red src_obm_2000_n1_f2__Q03

Place integers 1–10 in star; each row of 4 in increasing or decreasing order

We wish to write the integers from $1$ to $10$ in the ten circles of the star diagram below so that any four numbers aligned along the same line of the star appear in increasing or decreasing order.

a) Show that it is possible to arrange the numbers satisfying these conditions.

b) Which numbers can appear at the tips (outer points) of the star?

c) Which numbers can appear in the other five (inner) positions?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Posizionare gli integri 110 in stella; ogni riga di 4 in ordine crescente o diminuente

Desideriamo scrivere i numeri interi da $1$ a $10$ nei dieci cerchi del diagramma stellare di seguito in modo che tutti i quattro numeri allineati lungo la stessa linea della stella appaiano in ordine crescente o decrescente.

a) dimostrare che è possibile organizzare i numeri che soddisfano queste condizioni.

b) Quali numeri possono apparire alle estremità (punti esterni) della stella?

c) Quali numeri possono apparire nelle altre cinque posizioni?

src_obm_2000_n1_f2__Q04

Smallest positive integer that is double a cube and quintuple a square

What is the smallest positive integer that is both the double of a perfect cube and the quintuple (five times) of a perfect square?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2000 Fonte: apri PDF

Il più piccolo intero positivo che è doppio di un cubo e quintuplico di un quadrato

Qual è il numero intero positivo più piccolo che è sia il doppio di un cubo perfetto che il quintuplico (cinque volte) di un quadrato perfetto?

Risposta: 2000 src_obm_2000_n1_f2__Q05

Largest n giving equal remainders for 154, 238, 334

What is the largest positive integer $n$ such that the remainders when $154$, $238$, and $334$ are each divided by $n$ are all equal?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 12 Fonte: apri PDF

Migliore n dando i rimanenti uguali per 154, 238, 334

Qual è il più grande intero positivo $n$ in modo che i rimanenti quando $154$, $238$ e $334$ sono entrambi divisi da $n$ siano tutti uguali?

Risposta: 12 src_obm_2000_n1_f2__Q06