Olimpíada Brasileira de Matemática 2000 — Nível 2 — Fase 1

Count positive integers less than 1,000,000 whose perfect cube ends in digit 1

How many positive integers less than $1,000,000$ exist whose perfect cubes end in $1$?

A) $1,000$ \quad B) $10,000$ \quad C) $50,000$ \quad D) $100,000$ \quad E) $500,000$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Contare numeri interi positivi inferiori a 1.000.000 il cui cubo perfetto termina con la cifra 1

Quanti integri positivi inferiori a $1,000,000$ esistono i cui cubetti perfetti finiscono in $1$?

A) $1,000$ \quad B) $10,000$ \quad C) $50,000$ \quad D) $100,000$ \quad E) $500,000$

Risposta: D src_obm_2000_n2_f1__Q01

Number of palm-heart cans fitting in a wooden crate

A factory packs cans of palm heart in cubic cardboard boxes with side $20\text{ cm}$, so that they can be transported in wooden crates $80\text{ cm}$ wide, $120\text{ cm}$ long, and $60\text{ cm}$ high. The number of cans that fit in each crate is:

A) $576$ \quad B) $4,608$ \quad C) $2,304$ \quad D) $720$ \quad E) $144$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Numero di lattine di palma che si inseriscono in una scatola di legno

Una fabbrica imballa le scatole di cuore di palma in scatole di cartone cubo con lato $20\text{ cm}$, in modo che possano essere trasportate in scatole di legno larghe $80\text{ cm}$, lunghe $120\text{ cm}$ e alte $60\text{ cm}$. Il numero di lattine che si inseriscono in ciascuna scatola è:

A) $576$ \quad B) $4,608$ \quad C) $2,304$ \quad D) $720$ \quad E) $144$

Risposta: A src_obm_2000_n2_f1__Q02

Flag position on right gear after left gear rotates slightly

Juliano placed a small gray flag on each gear, as shown in the figure below. The gears are equal, and when the left gear rotates a little, its flag moves from the indicated position to the upright white flag position. In this condition, which of the options below shows the possible position of the flag on the right gear?

(Options A through E show different flag positions on the right gear.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Posizione della bandiera sul marciapiede destro dopo che il marciapiede sinistro ruota leggermente

Juliano posizionò una piccola bandiera grigia su ciascun equipaggiamento, come mostrato nella figura seguente. Le marce sono uguali e quando la marce sinistra ruota un po’, la sua bandiera si sposta dalla posizione indicata alla posizione verticale della bandiera bianca. In questa condizione, quale delle seguenti opzioni mostra la possibile posizione della bandiera sul marchio destro?

(Le opzioni da A a E mostrano posizioni di bandiera diverse sul marciapiede destro.)

Risposta: A src_obm_2000_n2_f1__Q03

Logic puzzle: identify who paid museum admission

Four friends want to visit a museum and one of them decides to pay for all the entrance tickets. A clue appears:

$-$ It wasn’t me, says Benjamim. $-$ It was Carlos, says Mário. $-$ It was Mário, says Carlos. $-$ Mário didn’t pay, says Pedro.

Only one of them is lying. Who paid for the museum entrance?

A) Mário \quad B) Pedro \quad C) Benjamim \quad D) Carlos

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Puzzle logico: identificare chi ha pagato l’ingresso al museo

Quattro amici vogliono visitare un museo e uno di loro decide di pagare tutti i biglietti di ingresso. Un indizio appare:

Non sono stato io, dice Benjamim. È stato Carlos, dice Mário. È stato Mário, dice Carlos. Mario non ha pagato, dice Pedro.

Solo uno di loro sta mentendo. Chi ha pagato l’ingresso al museo?

A) Mario \quad B) Pedro \quad C) Benjamim \quad D) Carlos

Risposta: B src_obm_2000_n2_f1__Q04

Effect on class averages after transferring last student from Class A to Class B

The $61$ students approved in a competition, whose scores were all distinct, were distributed into two groups according to their ranking: the top $31$ were placed in Class A and the next $30$ in Class B. The averages of both classes in the competition were then calculated. Afterwards, it was decided to transfer the last-placed student of Class A to Class B. Which of the following statements is certainly true?

A) The average of Class A improved, but Class B’s worsened. B) The average of Class A worsened, but Class B’s improved. C) The averages of both classes improved. D) The averages of both classes worsened. E) The averages of the classes can improve or worsen, depending on the candidates’ scores.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

Effetto sulle medie della classe dopo il trasferimento dell’ultimo allievo dalla classe A alla classe B

Gli studenti $61$ approvati in un concorso, i cui punteggi erano tutti distinti, sono stati suddivisi in due gruppi in base al loro ranking: i primi $31$ sono stati classificati nella classe A e i prossimi $30$ nella classe B. Le medie di entrambe le classi nella competizione sono state quindi calcolate. Successivamente, fu deciso di trasferire l’ultimo studente della classe A alla classe B. Quale delle seguenti affermazioni è certamente vero?

A) La media della classe A è migliorata, ma la classe B è peggiorata. B) La media della classe A è peggiorata, ma la classe B è migliorata. C) Le medie di entrambe le classi sono migliorate. D) Le medie di entrambe le classi sono peggiorate. E) Le medie delle classi possono migliorare o peggiorare, a seconda dei punteggi dei candidati.

Risposta: B src_obm_2000_n2_f1__Q05

Find angle A in triangle ABC given angle C and bisector-altitude angle

In triangle $ABC$, angle $\hat{C}=60^{\circ }$ and the bisector of angle $\hat{B}$ makes an angle of $70^{\circ }$ with the altitude from vertex $A$. The measure of angle $\hat{A}$ is:

A) $50^{\circ }$ \quad B) $30^{\circ }$ \quad C) $40^{\circ }$ \quad D) $80^{\circ }$ \quad E) $70^{\circ }$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Trova angolo A nel triangolo ABC dato angolo C e angolo bisector-altitudine

Nel triangolo $ABC$, l’angolo $\hat{C}=60^{\circ }$ e il bisettore dell’angolo $\hat{B}$ costituiscono un angolo di $70^{\circ }$ con l’altitudine dal vertice $A$. La misura dell’angolo $\hat{A}$ è:

A) $50^{\circ }$ \quad B) $30^{\circ }$ \quad C) $40^{\circ }$ \quad D) $80^{\circ }$ \quad E) $70^{\circ }$

Risposta: D src_obm_2000_n2_f1__Q06

Shaded area inside rectangle of area 12

If the area of the rectangle shown is $12$, what is the area of the shaded figure?

A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $5$ \quad D) $6$ \quad E) $8$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

L’area oscurata all’interno del rettangolo dell’area 12

Se l’area del rettangolo mostrato è $12$, quale è l’area della figura ombrata?

A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $5$ \quad D) $6$ \quad E) $8$

Risposta: D src_obm_2000_n2_f1__Q07

Time for Alberto to first overtake Beatriz on circular track

Alberto, Beatriz, and Carlos run on a circular track. All start at the same time and place, each at constant speed. Alberto and Beatriz run in the opposite direction to Carlos. Running in the opposite direction, Carlos first encounters Alberto, and then $90$ seconds after the start Carlos encounters Beatriz exactly $15$ seconds later. How many seconds are needed for Alberto to overtake Beatriz for the first time?

A) $105$ \quad B) $630$ \quad C) $1,050$ \quad D) $1,575$ \quad E) not determined

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

E’ ora che Alberto raggiunga per la prima volta Beatriz in pista circolare.

Alberto, Beatriz e Carlos corrono su una pista circolare. Tutti iniziano nello stesso momento e luogo, ognuno a velocità costante. Alberto e Beatriz corrono nella direzione opposta a Carlos. Correndo nella direzione opposta, Carlos incontra prima Alberto, e poi $90$ secondi dopo la partenza Carlos incontra Beatriz esattamente $15$ secondi dopo. Quanti secondi ci vogliono per superare Beatriz per la prima volta?

A) $105$ \quad B) $630$ \quad C) $1,050$ \quad D) $1,575$ \quad E) non determinato

Risposta: B src_obm_2000_n2_f1__Q08

Angle EAF where DEFG is a square outside regular pentagon ABCDE

$DEFG$ is a square constructed on the exterior of the regular pentagon $ABCDE$. What is the measure of angle $\widehat{EAF}$?

A) $9^{\circ }$ \quad B) $12^{\circ }$ \quad C) $15^{\circ }$ \quad D) $18^{\circ }$ \quad E) $21^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Angolo EAF in cui DEFG è un quadrato al di fuori del pentagono regolare ABCDE

$DEFG$ è un quadrato costruito all’esterno del pentagono regolare $ABCDE$. Qual è la misura dell’angolo $\widehat{EAF}$?

A) $9^{\circ }$ \quad B) $12^{\circ }$ \quad C) $15^{\circ }$ \quad D) $18^{\circ }$ \quad E) $21^{\circ }$

Risposta: A src_obm_2000_n2_f1__Q09

Two-digit integers equal to twice the product of their digits

How many two-digit integers are equal to twice the product of their digits?

A) $0$ \quad B) $1$ \quad C) $2$ \quad D) $3$ \quad E) $4$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Two-digit integers equal to twice the product of their digits

Quanti numeri interi a due cifre sono uguali al doppio del prodotto delle loro cifre?

A) $0$ \quad B) $1$ \quad C) $2$ \quad D) $3$ \quad E) $4$

Risposta: B src_obm_2000_n2_f1__Q10

100th positive multiple of 7 or 8 in increasing order

Write in increasing order all positive integers that are multiples of $7$ or $8$ (or both), obtaining $7,8,14,16,\dots$ The $100^{\text{th}}$ number written is:

A) $406$ \quad B) $376$ \quad C) $392$ \quad D) $384$ \quad E) $400$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

100° moltiplo positivo di 7 o 8 in ordine crescente

Scrivi in ordine crescente tutti i numeri interi positivi che sono multipli di $7$ o $8$ (o entrambi), ottenendo $7,8,14,16,\dots$ Il numero scritto è:

A) $406$ \quad B) $376$ \quad C) $392$ \quad D) $384$ \quad E) $400$

Risposta: E src_obm_2000_n2_f1__Q11

Minimum cards to remove to guarantee three equal smallest digit-sums

A box contains $900$ cards numbered from $100$ to $999$. Cards are drawn at random (without replacement) and the sum of their digits is recorded. What is the minimum number of cards that must be removed from the box so that it is guaranteed that the three cards drawn have equal digit-sums?

A) $51$ \quad B) $52$ \quad C) $53$ \quad D) $54$ \quad E) $55$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Minimum di carte da rimuovere per garantire tre uguali numeri più piccoli

Una casella contiene carte $900$ numerate da $100$ a $999$. Le carte vengono tirate a caso (senza sostituzione) e la somma delle loro cifre viene registrata. Qual è il numero minimo di carte che deve essere rimosso dalla scatola per garantire che le tre carte sorte abbiano le stesse somme digitali?

A) $51$ \quad B) $52$ \quad C) $53$ \quad D) $54$ \quad E) $55$

Risposta: C src_obm_2000_n2_f1__Q12

Which expression is always largest for positive reals x and y

If $x$ and $y$ are positive real numbers, which of the following is always the largest?

A) $x+y$ \quad B) $x^2+y^2$ \quad C) $(x+y{)}^2$ \quad D) $x^2+y(x+y)$ \quad E) $\frac{x^2+y^2}{x+y}$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Che espressione è sempre più grande per i numeri reali positivi x e y

Se $x$ e $y$ sono numeri reali positivi, quale dei seguenti è sempre il più grande?

A) $x+y$ \quad B) $x^2+y^2$ \quad C) $(x+y{)}^2$ \quad D) $x^2+y(x+y)$ \quad E) $\frac{x^2+y^2}{x+y}$

Risposta: C src_obm_2000_n2_f1__Q13

Area of intersection of triangle and square on unit lattice

In the figure, the horizontal distances between consecutive horizontal dots and the vertical distances between consecutive vertical dots are all equal to $1$. The area of the region common to the triangle and the square is:

A) $\frac{9}{10}$ \quad B) $\frac{15}{16}$ \quad C) $\frac{8}{9}$ \quad D) $\frac{11}{12}$ \quad E) $\frac{14}{15}$

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

L’area di intersezione di triangolo e quadrato su rete unità

Nella figura, le distanze orizzontali tra i punti orizzontali consecutivi e le distanze verticali tra i punti verticali consecutivi sono tutte uguali a $1$. L’area della regione comune al triangolo e al quadrato è:

A) $\frac{9}{10}$ \quad B) $\frac{15}{16}$ \quad C) $\frac{8}{9}$ \quad D) $\frac{11}{12}$ \quad E) $\frac{14}{15}$

Risposta: D src_obm_2000_n2_f1__Q14

Compare a/b and (a+1)/(b+1) given 0 < a/b < 1

Let $a$ and $b$ be positive real numbers such that $\frac{a}{b}<1$. Then:

A) $\frac{a+1}{b+1}$ equals $\frac{a}{b}$. B) $\frac{a+1}{b+1}$ equals $\frac{a}{b}+1$. C) $\frac{a+1}{b+1}$ is less than $\frac{a}{b}$. D) $\frac{a+1}{b+1}$ is greater than $\frac{a}{b}$ but less than $1$. E) $\frac{a+1}{b+1}$ can be less than $\frac{a}{b}$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Compari a/b e (a+1)/(b+1) dati 0 < a/b < 1

$a$ e $b$ siano numeri reali positivi come $\frac{a}{b}<1$. Allora:

A) $\frac{a+1}{b+1}$ = $\frac{a}{b}$. B) $\frac{a+1}{b+1}$ è uguale a $\frac{a}{b}+1$. C) $\frac{a+1}{b+1}$ è inferiore a $\frac{a}{b}$. D) $\frac{a+1}{b+1}$ è maggiore di $\frac{a}{b}$ ma inferiore a $1$. E) $\frac{a+1}{b+1}$ può essere inferiore a $\frac{a}{b}$.

Risposta: D src_obm_2000_n2_f1__Q15

Nim game: first player’s winning move with 1000 sticks, draw 1-5 each turn

In a game for two players, the players alternately take $1,2,3,4$, or $5$ sticks from a pile that initially has $1000$ sticks. The player who takes the last stick wins. How many sticks should the first player take to guarantee a win?

A) $1$ \quad B) $2$ \quad C) $3$ \quad D) $4$ \quad E) None; the first player cannot guarantee a win.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Gioco di NIM: la mossa vincente del primo giocatore con 1000 bastoni, disegna 1-5 ogni turno

In un gioco per due giocatori, i giocatori prendono alternativamente $1,2,3,4$, o $5$ bastoni da una pila che inizia a contenere $1000$ bastoni. Il giocatore che prende l’ultimo bastone vince. Quanti bastoni deve prendere il primo giocatore per garantire una vittoria?

A) $1$ \quad B) $2$ \quad C) $3$ \quad D) $4$ \quad E) Nessuno; il primo giocatore non può garantire una vittoria.

Risposta: D src_obm_2000_n2_f1__Q16

Count rectangles with both A and B as vertices on a 9x9 grid

How many rectangles contain both points $A$ and $B$ as vertices, with all vertices at the intersections of the $9$ horizontal lines with the $9$ vertical lines shown in the figure?

A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $7$ \quad D) $2$ \quad E) $5$

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Contare rettangoli con A e B come vertici su una griglia 9x9

Quanti rettangoli contengono entrambi i punti $A$ e $B$ come vertici, con tutti i vertici all’intersezione delle linee orizzontali $9$ con le linee verticali $9$ mostrate nella figura?

A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $7$ \quad D) $2$ \quad E) $5$

Risposta: E src_obm_2000_n2_f1__Q17

Number of children of Emir Abdel Aziz given twin/triple constraints

The Emir Abdel Aziz became famous for many reasons. He had $39$ children, including his descendants; the historian Ahmed Aab claims: all of his children were twins (born in pairs), except $39$; they were also triplets (born in threes), except $39$. The number of children of the Emir is:

A) $75$ \quad B) $48$ \quad C) $51$ \quad D) $1,050$ \quad E) $111$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Numero di figli di Emir Abdel Aziz con vincoli doppi/tripli

L’emiro Abdel Aziz divenne famoso per molte ragioni. Ha avuto $39$ figli, compresi i suoi discendenti; lo storico Ahmed Aab afferma: tutti i suoi figli erano gemelli (nati in coppia), tranne $39$; erano anche triplici (nati in tre), tranne $39$. Il numero dei figli dell’ emir è:

A) $75$ \quad B) $48$ \quad C) $51$ \quad D) $1,050$ \quad E) $111$

Risposta: C src_obm_2000_n2_f1__Q18

Travel time from Iracimimirm to Salvador with moving traffic jam

From Iracimimirm to Salvador along the Coconut Road it is $60\text{ km}$. At $11:00$, an accident causes a traffic jam that extends $15\text{ km}$ in the direction of Salvador and moves at $4\text{ km/h}$. We leave Iracimimirm at $11:00$, traveling at $60\text{ km/h}$; in the jam zone our speed drops to $6\text{ km/h}$. Approximately what time do we arrive in Salvador?

A) $10\text{h}43\text{min}$ \quad B) $10\text{h}17\text{min}$ \quad C) $10\text{h}48\text{min}$ \quad D) $10\text{h}53\text{min}$ \quad E) $11\text{h}01\text{min}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Tempo di viaggio da Iracimimirm a Salvador con ingorghi in movimento

Dall’Iracimimirm al Salvador lungo la Strada di Coconut è $60\text{ km}$. A $11:00$, un incidente provoca un ingorghi che si estende $15\text{ km}$ in direzione di Salvador e si muove a $4\text{ km/h}$. Lasciamo Iracimimirm a $11:00$, viaggiando a $60\text{ km/h}$; nella zona di jam la nostra velocità scende a $6\text{ km/h}$. A che ora arriviamo a Salvador?

A) $10\text{h}43\text{min}$ \quad B) $10\text{h}17\text{min}$ \quad C) $10\text{h}48\text{min}$ \quad D) $10\text{h}53\text{min}$ \quad E) $11\text{h}01\text{min}$

Risposta: A src_obm_2000_n2_f1__Q19

2000th number in sequence filling white cells of growing-row table

We place numbers in increasing order in the white (unshaded) cells of a table, filling them as shown (the first few rows have $1,2,3,\dots$ white cells; for example, the $9$th number written is $14$). What is the $2000$th number in this sequence?

A) $3931$ \quad B) $3933$ \quad C) $3935$ \quad D) $3937$ \quad E) $3939$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: skill_riconoscimento_pattern, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

2000° numero in sequenza che riempie le celle bianche della tabella di fila in crescita

Si inseriscono numeri in ordine crescente nelle celle bianche (non ombrate) di una tabella, riempendole come mostrato (le prime righe hanno $1,2,3,\dots$ celle bianche; ad esempio, il numero $9$ scritto è $14$). Qual è il numero $2000$ in questa sequenza?

A) $3931$ \quad B) $3933$ \quad C) $3935$ \quad D) $3937$ \quad E) $3939$

Risposta: D src_obm_2000_n2_f1__Q20