Olimpíada Brasileira de Matemática 2000 — Nível 2 — Fase 2

Smallest positive integer that is double a cube and quintuple a square

What is the smallest positive integer that is both the double of a perfect cube and the quintuple of a perfect square?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il più piccolo intero positivo che è doppio di un cubo e quintuplico di un quadrato

Qual è il numero intero positivo più piccolo che è sia il doppio di un cubo perfetto che il quintuplico di un quadrato perfetto?

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Count distinct rectangular boxes built from 216 unit cubes

In how many different ways can we construct a rectangular box (parallelepiped) using exactly 216 cubic blocks of dimensions $1\times 1\times 1$?

Note: Boxes of dimensions $2\times 3\times 36$ and $2\times 36\times 3$ must be considered the same.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le scatole rettangolari distinte costruite a partire da 216 cubi di unità

In quanti modi diversi possiamo costruire una scatola rettangolare (paralelepiped) utilizzando esattamente 216 blocchi cubi di dimensioni $1\times 1\times 1$?

Nota: Le scatole di dimensioni $2\times 3\times 36$ e $2\times 36\times 3$ devono essere considerate uguali.

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Find angle EGB in rectangle given angle FAE = 20°

In rectangle $ABCD$, $E$ is the midpoint of side $BC$ and $F$ is the midpoint of side $CD$. $G$ is the intersection of diagonal $DE$ with segment $FB$.

The angle $\widehat{FAE}$ measures $20^{\circ }$. Find the angle $\widehat{EGB}$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Find angle EGB in rettangolo dato angolo FAE = 20°

Nel rettangolo $ABCD$, $E$ è il punto medio del lato $BC$ e $F$ è il punto medio del lato $CD$. $G$ è l’intersezione della diagonale $DE$ con il segmento $FB$.

L’angolo $\widehat{FAE}$ misura $20^{\circ }$. Trova l’angolo $\widehat{EGB}$.

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Find side of square I in rectangle divided into 9 squares with square A having side 1

A rectangle is divided into 9 squares $A,B,C,D,E,F,G,H,I$ (arranged as shown). Square $A$ has side length $1$.

Find the side length of square $I$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca il lato del quadrato I in rettangolo diviso in 9 quadrati con quadrato A con lato 1

Un rettangolo è diviso in 9 quadrati $A,B,C,D,E,F,G,H,I$ (ordinato come mostrato). Il quadrato $A$ ha lunghezza laterale $1$.

Trova la lunghezza laterale del quadrato $I$.

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Find n and m after erasing m from {1,…,n} leaves average 134/11

List the integers from $1$ to $n$. From this list we erase the integer $m$. The average of the remaining $n-1$ numbers equals $\frac{134}{11}$. Find $n$ and $m$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca n e m dopo aver cancellato m da {1,…,n} lascia media 134/11

Elencare i numeri interi da $1$ a $n$. Da questo elenco cancellati il numero intero $m$. La media dei restanti numeri $n-1$ è uguale a $\frac{134}{11}$. Trova $n$ e $m$.

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Football championship: find minimum second-round points guaranteeing Vulcano FC a final

The Venusian football championship is played by 10 teams in two rounds. In each round, each team plays once against each of the other teams. Suppose that $Vulcano$ $FC$ wins all matches in the first round. If it does not win the second round, $Vulcano$ $FC$ will play a final against the second-round winner (a victory is worth 3 points, a draw 1 point, a defeat 0 points).

a) Find the smallest $n$ such that, if $Vulcano$ $FC$ scores exactly $n$ points in the second round (regardless of who the opponents are and who else scores $n$ points), it is guaranteed to reach the final (regardless of who scores $n$ points among the opponents).

b) Find the smallest $n$ such that, if $Vulcano$ $FC$ scores at least $n$ points in the second round (regardless of who the opponents are and who else scores at least $n$ points), it is guaranteed to reach the final (regardless of who scores at least $n$ points among the opponents).

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Casework accurato, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Campionato di calcio: trovare i punti minimi del secondo turno che garantiscano alla Vulcano FC una finale

Il campionato venese di calcio è giocato da 10 squadre in due round. In ogni round, ogni squadra gioca una volta contro ciascuna delle altre squadre. Supponiamo che $Vulcano$ $FC$ vinca tutte le partite nel primo round. Se non vince il secondo round, $Vulcano$ $FC$ giocherà una finale contro il vincitore del secondo round (una vittoria vale 3 punti, un pareggio 1 punto, una sconfitta 0 punti).

a) Trovare il minimo $n$ in modo tale che, se $Vulcano$ $FC$ punta ** esattamente ** $n$ punti nel secondo round (indipendentemente da chi sono gli avversari e chi altro punta $n$ punti), sia garantito di raggiungere la finale (indipendentemente da chi punta $n$ punti tra gli avversari).

b) Trovare il minimo $n$ in modo tale che, se $Vulcano$ $FC$ ottiene ** almeno ** $n$ punti nel secondo round (indipendentemente da chi sono gli avversari e chi altro ottiene almeno $n$ punti), sia garantito il raggiungimento della finale (indipendentemente da chi ottiene almeno $n$ punti tra gli avversari).

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