Olimpíada Brasileira de Matemática 2000 — Nível 2 — Fase 3

Three identical glued dice on a table; find the sum of the three faces in contact with the table.

Paulo has three common identical dice, on which the sum of the numbers on two opposite faces is always equal to $7$. He glues the dice together so that each pair of glued faces shows the same number, and then places them on a non-transparent table, as the figure indicates. The sum of the numbers on all eleven visible faces is $36$. What is the sum of the numbers on the three faces that are in contact with the table?

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria solida Metodo: Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 13 Fonte: apri PDF

Tre dadi incollati identici su un tavolo; trovare la somma delle tre facce in contatto con il tavolo.

Paulo ha tre dadi comuni identici, su cui la somma dei numeri su due facce opposte è sempre uguale a $7$. Colla i dadi insieme in modo che ogni coppia di volti collacciati mostri lo stesso numero, e poi li posiziona su un tavolo non trasparente, come indica la figura. La somma dei numeri su tutte le undici facce visibili è $36$. Qual è la somma dei numeri sulle tre facce che sono in contatto con la tavola?

Risposta: 13 src_obm_2000_n2_f3__Q01

Two decks of 50 double-sided cards each showing 1-100; show all 100 cards can be placed so the up faces show every number from 1 to 100.

Isabel has two decks, each with $50$ cards. On each of the decks are written the numbers from $1$ to $100$ (on each card two numbers are written, one on each face of the card). Due to a manufacturing defect, the distribution of the numbers on the cards is not the same in the two decks (for example, in one of the decks the $1$ appears on the same card as the $2$; in the other, the $1$ appears with the $76$). Show how Isabel should proceed so that, when placing the $100$ cards on a table, the faces turned upward show all the numbers from $1$ to $100$.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Biiezione Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

*Due mazzi di 50 carte a doppio lato che mostrano ciascuno 1-100; mostrano che tutte le 100 carte possono essere posizionate in modo che le facce verso l’alto mostrino ogni numero da 1 a 100. *

Isabel ha due mazzi, ognuno con carte $50$. Su ciascun mazzo sono scritti i numeri da $1$ a $100$ (su ogni carta sono scritti due numeri, uno su ogni faccia della carta). A causa di un difetto di fabbricazione, la distribuzione dei numeri delle schede non è uguale nei due mazzi (ad esempio, in uno dei mazzi la $1$ appare sulla stessa scheda della $2$; nell’altro, la $1$ appare con la $76$). Indicare come Isabel deve procedere in modo che, quando si collocano le carte $100$ su un tavolo, le facce rivolte verso l’alto mostrino tutti i numeri da $1$ a $100$.

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Paper-folding trisection of an angle; prove lines AA’ and AB’ divide angle alpha into three equal parts.

On a sheet of paper a line $r$ passes through the corner $A$ of the sheet and forms an angle $\alpha$ with the horizontal border, as in figure 1. To divide this angle $\alpha$ into three equal parts, we carry out the following constructions: a) initially, we mark two points $B$ and $C$ on the vertical border so that $AB=BC$; through the point $B$ we draw the line $s$ parallel to the border (figure 2); b) next, we fold the paper, adjusting it so that the point $C$ coincides with a point $C^{\prime }$ on the line $r$ and the point $A$ coincides with a point $A^{\prime }$ on the line $s$ (figure 3); we call $B^{\prime }$ the point with which $B$ coincides.

Show that the lines $A{A}^{\prime }$ and $A{B}^{\prime }$ divide the angle $\alpha$ into three equal parts.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trissezione di un angolo piegato in carta; prova che le linee AA’ e AB’ dividono l’angolo alfa in tre parti uguali.

Su un foglio di carta una linea $r$ attraversa l’angolo $A$ del foglio e forma un angolo $\alpha$ con il bordo orizzontale, come nella figura 1. Per dividere questo angolo $\alpha$ in tre parti uguali realizziamo le seguenti costruzioni: a) inizialmente, segnichiamo due punti $B$ e $C$ sul confine verticale in modo che $AB=BC$; attraverso il punto $B$ disegniamo la linea $s$ parallela al confine (figura 2); b) poi, piegiamo la carta, ajustandola in modo che il punto $C$ coincida con un punto $C^{\prime }$ sulla linea $r$ e il punto $A$ coincida con un punto $A^{\prime }$ sulla linea $s$ (figura 3); chiamiamo $B^{\prime }$ il punto con cui $B$ coincide.

Indicare che le linee $A{A}^{\prime }$ e $A{B}^{\prime }$ dividono l’angolo $\alpha$ in tre parti uguali.

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Decide whether two distinct powers of 2 with the same number of digits can be digit-rearrangements of each other.

Is it possible to find two powers of $2$, distinct and with the same number of digits, such that one can be obtained through a rearrangement of the digits of the other?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: No, it is not possible. Fonte: apri PDF

Decidere se due potenze distinte di 2 con lo stesso numero di cifre possono essere riorganizzazioni digitali reciprocamente.

È possibile trovare due potenze di $2$, distinte e con lo stesso numero di cifre, in modo tale che una possa essere ottenuta mediante una riorganizzazione delle cifre dell’altra?

Risposta: No, it is not possible. src_obm_2000_n2_f3__Q04