Olimpíada Brasileira de Matemática 2000 — Nível 3

Largest expression for positive reals x,y

If $x$ and $y$ are positive real numbers, which of the following numbers is the largest?

(A) $x y$

(B) $x^{2} + y^{2}$

(C) $(x + y)^{2}$

(D) $x^{2} + y (x + y)$

(E) $\frac{x ^{3} + y ^{3}}{x + y}$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

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L’espressione più grande per i valori reali positivi x,y

Se $x$ e $y$ sono numeri reali positivi, quale dei seguenti numeri è il più grande?

(A) $x y$

(B) $x^{2} + y^{2}$

(C) $(x + y)^{2}$

(D) $x^{2} + y (x + y)$

(E) $\frac{x ^{3} + y ^{3}}{x + y}$

Risposta: C src_obm_2000_n3_f1__Q01

Angle of square built outside a regular pentagon

$D E F G$ is a square built on the exterior of the regular pentagon $A B C D E$ . What is the angle $E A F$ ?

(A) $9^{\circ}$

(B) $1 2^{\circ}$

(C) $1 5^{\circ}$

(D) $1 8^{\circ}$

(E) $2 1^{\circ}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

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Angolo di quadrato costruito al di fuori di un pentagono regolare

$D E F G$ è un quadrato costruito all’esterno del pentagono regolare $A B C D E$ . Qual è l’angolo $E A F$ ?

(A) $9^{\circ}$

(B) $1 2^{\circ}$

(C) $1 5^{\circ}$

(D) $1 8^{\circ}$

(E) $2 1^{\circ}$

Risposta: C src_obm_2000_n3_f1__Q02

Ratio of horizontal to vertical distances in a dot figure

In the figure, the distances between two consecutive horizontal dots are all equal to 1. The region has a triangle inscribed and a square; the ratio of horizontal distances to vertical distances such that the figure closes has value:

(A) $\frac{9}{10}$

(B) $\frac{15}{16}$

(C) $\frac{8}{9}$

(D) $\frac{11}{12}$

(E) $\frac{14}{15}$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

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Ratio di distanze orizzontali a verticali in figura a punti

Nella figura, le distanze tra due punti orizzontali consecutivi sono tutte uguali a 1. La regione ha un triangolo inciso e un quadrato; il rapporto tra distanze orizzontali e distanze verticali tale da chiudere la figura ha un valore:

(A) $\frac{9}{10}$

(B) $\frac{15}{16}$

(C) $\frac{8}{9}$

(D) $\frac{11}{12}$

(E) $\frac{14}{15}$

Risposta: D src_obm_2000_n3_f1__Q03

Max numbers kept so none is the difference of two others

We write the whole numbers from 1 to 30 inclusive. Then we erase some of these numbers so that, among those that remain, no number is the difference of two others on the list. What is the maximum quantity of whole numbers that can remain on the list?

(A) 15

(B) 18

(C) 19

(D) 20

(E) 21

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

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Max numeri conservati in modo che nessuno sia la differenza di altri due

Scriviamo i numeri interi da 1 a 30 inclusivi. Poi cancelliamo alcuni di questi numeri in modo che, tra quelli rimasti, nessun numero sia la differenza di altri due nella lista. Qual è la quantità massima di numeri interi che possono rimanere nell’elenco?

(A) 15

(B) 18

(C) 19

(D) 20

(E) 21

Risposta: C src_obm_2000_n3_f1__Q04

Comparison of (a+1)/(b+1) with a/b when a/b<1

Let $a$ and $b$ be positive numbers with $\frac{a}{b} < 1$ . Then $\frac{a + 1}{b + 1}$ :

(A) is equal to $\frac{a}{b} + 1$ .

(B) is equal to $\frac{a}{b}$ .

(C) is smaller than $\frac{a}{b}$ .

(D) is larger than $\frac{a}{b}$ but smaller than 1.

(E) can be larger than 1.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

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Comparizione di (a+1)/(b+1) con a/b quando a/b<1

$a$ e $b$ siano numeri positivi con $\frac{a}{b} < 1$ . Poi $\frac{a + 1}{b + 1}$ :

(A) è uguale a $\frac{a}{b} + 1$ .

(B) è uguale a $\frac{a}{b}$ .

(C) è inferiore a $\frac{a}{b}$ .

(D) è superiore a $\frac{a}{b}$ ma inferiore a 1.

(E) può essere maggiore di 1.

Risposta: D src_obm_2000_n3_f1__Q05

Functional equation f(x+y)=x+f(y), find f(2000)

Let $f$ be a function with the following properties: (i) For all reals $x, y$ , $f (x + y) = x + f (y)$ ; (ii) $f (0) = 2$ . What is $f (2000)$ ?

(A) 0

(B) 2

(C) 1998

(D) 2000

(E) 2002

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

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*Equazione funzionale f(x+y)=x+f(y), trovare f(2000) *

Che $f$ sia una funzione con le seguenti proprietà: (i) per tutti i valori $x, y$ , $f (x + y) = x + f (y)$ ; (ii) $f (0) = 2$ . Che cos’ è $f (2000)$ ?

(A) 0

(B) 2

(C) 1998

(D) 2000

(E) 2002

Risposta: E src_obm_2000_n3_f1__Q06

Logic puzzle: five face-down cards summing to 13, deduce middle card

There are five cards turned face down on a table. It is known that on each one a positive integer is written. Samuel and Tomas are given the following information: (i) all the numbers written on the cards are different; (ii) their sum is 13; (iii) they are in increasing order, from left to right. First, Samuel looks at the number on the card on the far left and says: “I do not have enough information to determine the other numbers.” Then, Tomas looks at the number on the card on the far right and says: “I do not have enough information to determine the other numbers.” Then Samuel looks again at the leftmost card and says: “I still do not have enough information to determine the other numbers.” Knowing that both are intelligent and listen to each other’s comments, what is the number on the card in the middle?

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) There is no information sufficient to determine the number.

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

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Puzzle logico: cinque carte facciate verso il basso che sommano a 13, dedurre la carta centrale

Ci sono cinque carte rovesciate su un tavolo. È noto che su ciascuno di essi è scritto un numero intero positivo. Samuel e Tomas ricevono le seguenti informazioni: (i) tutti i numeri scritti sulle carte sono diversi; (ii) la loro somma è 13; (iii) sono in ordine crescente, da sinistra a destra. Prima, Samuel guarda il numero della scheda a sinistra e dice: “Non ho abbastanza informazioni per determinare gli altri numeri”. Poi, Tomas guarda il numero della scheda a destra e dice: “Non ho abbastanza informazioni per determinare gli altri numeri”. Poi Samuel guarda di nuovo la scheda a sinistra e dice: “Non ho ancora abbastanza informazioni per determinare gli altri numeri”.

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) Non ci sono informazioni sufficienti per determinare il numero.

Risposta: D src_obm_2000_n3_f1__Q07

Nim-style game removing 1-5 sticks from 1000, last takes wins

In a game between two people, the players alternately remove 1, 2, 3, 4 or 5 sticks from a pile that initially contains 1000 sticks. The player who takes the last stick wins. How many sticks must the first player remove on the initial move so as to assure his victory?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward Abilita: Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

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Gioco in stile nim che elimina 1-5 bastoni da 1000, l’ultimo prende le vittorie

In un gioco tra due persone, i giocatori togliono alternativamente 1, 2, 3, 4 o 5 bastoni da una pila che inizia con 1000 bastoni. Il giocatore che prende l’ultimo bastone vince. Quanti bastoni deve togliere il primo giocatore nella prima mossa per assicurarsi la vittoria?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

Risposta: D src_obm_2000_n3_f1__Q08

Min cards drawn from 100-999 to guarantee three equal digit sums

A box contains 900 cards, numbered from 100 to 999. Cards are taken out at random, without replacement, and the sum of their digits is noted. What is the least quantity of cards that must be taken out in order to guarantee that at least three of these sums are equal?

(A) 51

(B) 52

(C) 53

(D) 54

(E) 55

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

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Carte min tratte da 100-999 per garantire somme di tre cifre uguali

Una scatola contiene 900 carte numerate da 100 a 999. Le carte vengono prese a caso, senza sostituzione, e la somma delle loro cifre viene notata. Qual è il minimo numero di carte da scaricare per garantire che almeno tre di queste somme siano uguali?

(A) 51

(B) 52

(C) 53

(D) 54

(E) 55

Risposta: E src_obm_2000_n3_f1__Q09

Count positive integers x with floor(x/3)+floor(x/5)… =10

The notation $⌊ x ⌋$ means the largest whole number that does not exceed $x$ . For example, $⌊ 3, 5 ⌋ = 3$ and $⌊ 5 ⌋ = 5$ . How many positive integers $x$ are there for which $⌊ \frac{x}{3} ⌋ + ⌊ \frac{x}{5} ⌋ = 10$ ?

(A) 11

(B) 12

(C) 13

(D) 14

(E) 15

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

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Conta i numeri interi positivi x con piano(x/3)+piano(x/5)… =10

La notazione $⌊ x ⌋$ indica il numero intero più grande che non supera $x$ . Ad esempio, $⌊ 3, 5 ⌋ = 3$ e $⌊ 5 ⌋ = 5$ . Quanti integri positivi $x$ esistono per i quali $⌊ \frac{x}{3} ⌋ + ⌊ \frac{x}{5} ⌋ = 10$ ?

(A) 11

(B) 12

(C) 13

(D) 14

(E) 15

Risposta: D src_obm_2000_n3_f1__Q10

Triangular reading of odd numbers in white cells; find 2000th term

We place in increasing order the odd numbers in the white cells of a board following the order shown (the numbers in parentheses indicate the lines). Thus, for example, the ninth number of our list is 14. What is the 2000th number of our list?

(A) 3931

(B) 3933

(C) 3935

(D) 3937

(E) 3939

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

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Legge triangolare dei numeri odd nelle celle bianche; trovare il termine 2000

Si inseriscono in ordine crescente i numeri dispari nelle celle bianche di una tavola seguendo l’ordine indicato (i numeri in parentesi indicano le linee). Quindi, per esempio, il nono numero della nostra lista è 14. Qual è il 2000° numero della nostra lista?

(A) 3931

(B) 3933

(C) 3935

(D) 3937

(E) 3939

Risposta: C src_obm_2000_n3_f1__Q11

Averages of two classes after moving the last of class A to class B

The 61 candidates approved in a contest, whose grades were all distinct, were distributed into two classes, in such a way that, according to a previously obtained ranking, the 31 best-placed went to class A and the next 30 went to class B. The averages of the two classes in the contest were calculated. Then, by mistake, it was decided to move the candidate placed last in class A to class B. Then:

(A) The average of class A improved, but that of B worsened.

(B) The average of class A worsened, but that of B improved.

(C) The averages of both classes worsened.

(D) The averages of both classes improved.

(E) The averages of the two classes can worsen or improve, depending on the grades of the candidates.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Medi di due classi dopo il passaggio dell’ultimo di classe A alla classe B

I 61 candidati approvati in un concorso, i cui voti erano tutti diversi, sono stati suddivisi in due classi, in modo tale che, secondo una classifica ottenuta in precedenza, i 31 migliori classificati sono andati alla classe A e i 30 successivi alla classe B. Sono state calcolate le medie delle due classi del concorso. Poi, per errore, fu deciso di spostare il candidato posto ultimo nella classe A alla classe B. Allora:

(A) La media della classe A è migliorata, ma quella della classe B è peggiorata.

(B) La media della classe A peggiorò, ma quella della classe B migliorò.

(C) Le medie di entrambe le classi sono peggiorate.

(D) Le medie di entrambe le classi sono migliorate.

(E) Le medie delle due classi possono peggiorare o migliorare, a seconda dei voti dei candidati.

Risposta: D src_obm_2000_n3_f1__Q12

Radius of external circle in logo of tangent circles, inner r=1

The figure below shows the logo of a company, formed by two concentric circles and four small interior circles, each of which is tangent to two others and to the two concentric circles. The radius of the inner circle measures 1 cm. Then the radius of the external circle must measure, in cm:

(A) $22 + 3$

(B) $2 + 2$

(C) $42 + 1$

(D) $32$

(E) $2 + 1$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

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Radius del cerchio esterno nel logo dei cerchi tangenti, interno r=1

La figura seguente mostra il logo di un’azienda, costituita da due cerchi concentrici e quattro piccoli cerchi interni, ognuno dei quali è tangente ad altri due e ai due cerchi concentrici. Il raggio del cerchio interno misura 1 cm. Poi il raggio del cerchio esterno deve misurare, in cm:

(A) $22 + 3$

(B) $2 + 2$

(C) $42 + 1$

(D) $32$

(E) $2 + 1$

Risposta: A src_obm_2000_n3_f1__Q13

Runners on circular track; when does Alberto first meet Beatriz

Alberto, Beatriz and Carlos run on a circular track. They all start at the same time and from the same point, each at a constant speed. Running in the same direction, Carlos meets Alberto, for the first time, exactly 90 seconds after the start of the race, and meets Beatriz exactly 15 seconds later. Alberto, running in the opposite direction, meets Beatriz, for the first time, 20 seconds after the start of the race. How many seconds are needed for Alberto to meet Beatriz running in the same direction (for the first time)?

(A) 105

(B) 630

(C) 900

(D) 1050

(E) it cannot be determined

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

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Corridori su pista circolare, quando Alberto incontra per la prima volta Beatriz

Alberto, Beatriz e Carlos corrono su una pista circolare. Iniziano tutti allo stesso tempo e dallo stesso punto, ognuno a una velocità costante. Correndo nella stessa direzione, Carlos incontra Alberto, per la prima volta, esattamente 90 secondi dopo l’inizio della gara, e incontra Beatriz esattamente 15 secondi dopo. Alberto, correndo nella direzione opposta, incontra Beatriz, per la prima volta, 20 secondi dopo l’inizio della gara. Quanti secondi ci vogliono per Alberto per incontrare Beatriz correndo nella stessa direzione (per la prima volta)?

(A) 105

(B) 630

(C) 900

(D) 1050

(E) non può essere determinato

Risposta: A src_obm_2000_n3_f1__Q14

Two two-digit numbers whose sum is twice the product of their digits

How many two-digit numbers are there that are equal to twice the product of their digits?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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*Due numeri a due cifre la cui somma è il doppio dei loro numeri *

Quanti numeri a due cifre ci sono che sono uguali al doppio del prodotto delle loro cifre?

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

(E) 4

Risposta: B src_obm_2000_n3_f1__Q15

Two swimmers crossing a pool; count passings in 12 minutes

Two swimmers, initially at opposite sides of a pool, begin to swim simultaneously toward one another. One swims at a uniform velocity from one side of the pool to the other in 45 seconds, and the other in 30 seconds. Each time they reach a side they turn back, keeping the same velocity, without losing any time on the turns. Numerous times they pass one another (whether in the same direction or in opposite directions); counting as a passing also when they reach a side simultaneously. How many times do they pass each other, in the same direction or in opposite directions, in the first 12 minutes?

(A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 18

(E) 20

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

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Due nuotatori che attraversano una piscina; contano i passaggi in 12 minuti

Due nuotatori, inizialmente a fianco opposto di una piscina, iniziano a nuotare contemporaneamente l’uno verso l’altro. Uno nuota a velocità uniforme da un lato della piscina all’altro in 45 secondi, e l’altro in 30 secondi. Ogni volta che raggiungono un lato si voltano indietro, mantenendo la stessa velocità, senza perdere tempo nelle curve. Numerose volte si passano l’una l’altra (sia nella stessa direzione che in direzioni opposte); contando come passaggio anche quando raggiungono un lato contemporaneamente. Quante volte si passano l’una dall’altra, nella stessa direzione o in direzioni opposte, nei primi 12 minuti?

(A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 18

(E) 20

Risposta: E src_obm_2000_n3_f1__Q16

Minimum sum of squares of two naturals whose difference is 29

Of two natural numbers whose difference is 29, the minimum value of the sum of their squares is:

(A) 785

(B) 733

(C) 647

(D) 421

(E) 334

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

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Minimum somma dei quadrati di due naturali la cui differenza è di 29

Di due numeri naturali la cui differenza è di 29, il valore minimo della somma dei loro quadrati è:

(A) 785

(B) 733

(C) 647

(D) 421

(E) 334

Risposta: A src_obm_2000_n3_f1__Q17

Count positive integers below 1000000 whose cubes end in 1

How many positive whole numbers smaller than $1.000.000$ are there whose cubes end in 1?

(A) 1.000

(B) 10.000

(C) 50.000

(D) 100.000

(E) 500.000

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Contare interi positivi inferiori a 1000000 i cui cubetti terminano in 1

Quanti numeri interi positivi minori di $1.000.000$ ci sono i cui cubetti finiscono in 1?

(A) 1.000

(B) 10.000

(C) 50.000

(D) 100.000

(E) 500.000

Risposta: D src_obm_2000_n3_f1__Q18

Count rectangles with vertices A,B among 9x9 grid line intersections

How many rectangles are there having the points $A$ and $B$ as vertices, and whose vertices are among the intersection points of the 9 horizontal lines with the 9 vertical lines of the figure below?

(A) 3

(B) 4

(C) 7

(D) 2

(E) 5

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

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Contare i rettangoli con vertici A,B tra le intersezioni della linea della griglia 9x9

Quanti rettangoli hanno i punti $A$ e $B$ come vertici, e i cui vertici sono tra i punti di intersezione delle 9 linee orizzontali con le 9 linee verticali della figura seguente?

(A) 3

(B) 4

(C) 7

(D) 2

(E) 5

Risposta: E src_obm_2000_n3_f1__Q19

Position of glued flag on the rightmost gear in a meshing chain

Juliano glued a grey little flag onto each gear, as shown in the figure below. The gears are all equal and, when the gear on the left turned a little, its little flag occupied the position indicated by the white dotted little flag. In this situation, we can affirm that the position of the little flag on the gear on the right is: (A) (B) (C) (D) (E)

Topic: Geometria piana, Logica Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

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Posizione della bandiera incollata sull’attrezzatura più a destra di una catena di magliatura

Juliano incollava una piccola bandiera grigia su ciascun equipaggiamento, come mostra la figura seguente. Le engranaggi sono tutte uguali e, quando il cambio sulla sinistra girò un po’, la sua piccola bandiera occupava la posizione indicata dalla piccola bandiera puntata in bianco. In questa situazione, possiamo affermare che la posizione della piccola bandiera sull’attrezzatura a destra è:

Risposta: A src_obm_2000_n3_f1__Q20

Ratio of regular hexagon area to area of equilateral triangle ABC

The figure shows two triangles $A B C$ and $A^{'} B^{'} C^{'}$ , both equilateral, and the highlighted region is a regular hexagon. The ratio between the area of the highlighted region and the area of triangle $A B C$ is equal to:

(A) 1

(B) $\frac{2}{3}$

(C) $\frac{4}{5}$

(D) $\frac{2}{2}$

(E) $\frac{3}{2}$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

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Rapporto tra superficie ordinaria dell’esagono e superficie del triangolo equilaterale ABC

La figura mostra due triangoli $A B C$ e $A^{'} B^{'} C^{'}$ , entrambi equilaterali, e la regione evidenziata è un esagono regolare. Il rapporto tra la superficie della regione evidenziata e la superficie del triangolo $A B C$ è uguale a:

(A) 1

(B) $\frac{2}{3}$

(C) $\frac{4}{5}$

(D) $\frac{2}{2}$

(E) $\frac{3}{2}$

Risposta: B src_obm_2000_n3_f1__Q21

Count emir’s children given nested ‘except 39’ twin/triplet conditions

The emir Abdel Azir became famous for his many children. He had more than 39 children, including triplet boys, the twin sons of historian Ahmed Aab who affirms, moreover, that among all of these the emir had only two sets of triplets, except 39; he had only twins, except 39; he had only single births, except 39; all twin pairs are quadruples, except 39. How many children did the emir have?

(A) 75

(B) 48

(C) 51

(D) 78

(E) 111

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

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I figli del conte emir sono stati nidificati “escluse 39” con condizioni gemelle/triplici

L’emiro Abdel Azir divenne famoso per i suoi molti figli. Ha avuto più di 39 figli, tra cui tre bambini, i gemelli dei figli dello storico Ahmed Aab che afferma, inoltre, che tra tutti questi l’emiro aveva solo due set di triplici, tranne 39; aveva solo gemelli, tranne 39; aveva solo nascite singole, tranne 39; tutte le coppie gemelle sono quadruple, tranne 39. Quanti figli aveva l’emiro?

(A) 75

(B) 48

(C) 51

(D) 78

(E) 111

Risposta: B src_obm_2000_n3_f1__Q22

Average speed over a 60 km trip with a slow traffic-jam stretch

Itacimirim is a town on the coast of Coco, located 60 km from Salvador. Of these, 15 km from Salvador, there is an accident that causes a traffic jam. In the rest of the highway the speed is 60 km/h, except in the zone of the traffic jam, where the velocity is 6 km/h. What is the average speed, in km/h?

(A) 10h47min

(B) 10h17min

(C) 9h00min

(D) 10h53min

(E) 11h01min

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

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*Velocità media su un viaggio di 60 km con un tratto lento di traffico *

Itacimirim è una città sulla costa di Coco, situata a 60 km da Salvador. Di questi, a 15 km da Salvador, c’è un incidente che causa un ingorghio. Nella restante parte dell’autostrada la velocità è di 60 km/h, ad eccezione della zona di jam, dove la velocità è di 6 km/h. Qual è la velocità media, in km/h?

(A) 10h47min

(B) 10h17min

(C) 9h00min

(D) 10h53min

(E) 11h01min

Risposta: A src_obm_2000_n3_f1__Q23

Express sum of even-indexed coefficients of a degree-2000 polynomial

Let $P (x) = a_{2000} x^{2000} + a_{1999} x^{1999} + a_{1998} x^{1998} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ . Then $a_{2000} + a_{1998} + a_{1996} + \dots + a_{2} + a_{0}$ is equal to:

(A) $\frac{P ( 1 ) - P ( - 1 )}{2}$

(B) $\frac{P ( 1 ) + P ( - 1 )}{2}$

(C) $P (2000) + P (1998) + \dots + P (0)$

(D) $P (0) \cdot P (1)$

(E) $P (- 1) \cdot P (1)$

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Espresso somma dei coefficienti indicizzati pari di un polinomio di grado-2000

Let $P (x) = a_{2000} x^{2000} + a_{1999} x^{1999} + a_{1998} x^{1998} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ . Quindi $a_{2000} + a_{1998} + a_{1996} + \dots + a_{2} + a_{0}$ è uguale a:

(A) $\frac{P ( 1 ) - P ( - 1 )}{2}$

(B) $\frac{P ( 1 ) + P ( - 1 )}{2}$

(C) $P (2000) + P (1998) + \dots + P (0)$

(D) $P (0) \cdot P (1)$

(E) $P (- 1) \cdot P (1)$

Risposta: B src_obm_2000_n3_f1__Q24

Count three-digit numbers with one digit equal to mean of the other two

How many three-digit numbers (which do not start with 0) have a digit equal to the arithmetic mean of the other two?

(A) 121

(B) 117

(C) 112

(D) 115

(E) 105

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

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Contare numeri a tre cifre con una cifra uguale alla media delle altre due

Quanti numeri a tre cifre (che non iniziano con 0) hanno una cifra uguale alla media aritmetica degli altri due?

(A) 121

(B) 117

(C) 112

(D) 115

(E) 105

Risposta: A src_obm_2000_n3_f1__Q25

competition	Olimpíada Brasileira de Matemática 2000 — Nível 3 — Fase 1
year	2000
level	OBM Nível 3

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Olimpíada Brasileira de Matemática 2000 — Nível 3 — Fase 1

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