Olimpíada Brasileira de Matemática 2000 — Nível 3 — Fase 3

Trisect angle alpha using paper-folding in three steps

On a sheet of paper, a line $r$ passes through point $A$ and makes an angle $\alpha$ with the horizontal edge; see Figure 1. To divide this angle $\alpha$ into three equal parts, we perform the following constructions:

a) Initially, we mark two points $B$ and $C$ on the vertical line through $A$ such that $AB=BC$; the point $B$ is drawn on a line $s$ parallel to the edge (Figure 2).

b) Next, we fold the paper, adjusting it so that point $C$ coincides with a point $C^{\prime }$ on line $r$ (Figure 3); we call $B^{\prime }$ the image of point $B$ under this fold, and $A^{\prime }$ the point on line $s$ with the same horizontal coordinate as $B^{\prime }$.

Show that lines $A{A}^{\prime }$ and $A{B}^{\prime }$ divide the angle $\alpha$ into three equal parts.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo triangolare alfa con piegatura di carta in tre fasi

Su un foglio di carta, una linea $r$ attraversa il punto $A$ e crea un angolo $\alpha$ con il bordo orizzontale; vedere figura 1. Per dividere questo angolo $\alpha$ in tre parti uguali, eseguiamo le seguenti costruzioni:

a) Inizialmente, segniamo due punti $B$ e $C$ sulla linea verticale attraverso $A$ in modo tale che $AB=BC$; il punto $B$ viene disegnato su una linea $s$ parallela al bordo (Figura 2).

b) Successivamente, pieghiamo la carta e la regolliamo in modo che il punto $C$ coincida con un punto $C^{\prime }$ sulla linea $r$ (Figura 3); chiamiamo $B^{\prime }$ l’immagine del punto $B$ sotto questa piega e $A^{\prime }$ il punto sulla linea $s$ con la stessa coordinata orizzontale di $B^{\prime }$.

Indicare che le linee $A{A}^{\prime }$ e $A{B}^{\prime }$ dividono l’angolo $\alpha$ in tre parti uguali.

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Prove sigma(n)=2n-1 iff n is a quasi-perfect number

Let $\sigma (n)$ be the sum of all positive divisors of $n$, where $n$ is a positive integer (for example, $\sigma (4)=12$ and $\sigma (11)=12$). We say $n$ is quasi-perfect if $\sigma (n)=2n-1$ (for example, $\sigma (1)=1=2\cdot 1-1$, so $1$ is quasi-perfect, but $\sigma (7)=8\ne 2\cdot 7-1=13$, so $7$ is not). Let $m$ and $k$ be positive integers, $n$ the remainder of the division of $n$ by $k$, and define $s(n)={\sum }_{k=1}^{n}m\mathrm{mod}k$ (for example, $s(6)=0+0+4+0+2+1+0=3$ and $s(11)=0+1+2+3+1+5+4+4+3+2+1+0+0=22$).

Prove that $n$ is quasi-perfect if and only if $s(n)=s(n-1)$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove sigma(n)=2n-1 se n è un numero quasi perfetto

$\sigma (n)$ sia la somma di tutti i divisori positivi di $n$, dove $n$ è un intero positivo (ad esempio, $\sigma (4)=12$ e $\sigma (11)=12$). Diciamo $n$ è quasi-perfetto se $\sigma (n)=2n-1$ (ad esempio, $\sigma (1)=1=2\cdot 1-1$, quindi $1$ è quasi-perfetto, ma $\sigma (7)=8\ne 2\cdot 7-1=13$, quindi $7$ non è). $m$ e $k$ siano integri positivi, $n$ il resto della divisione di $n$ per $k$, e definire $s(n)={\sum }_{k=1}^{n}m\mathrm{mod}k$ (ad esempio, $s(6)=0+0+4+0+2+1+0=3$ e $s(11)=0+1+2+3+1+5+4+4+3+2+1+0+0=22$).

Provare che $n$ è quasi perfetto se e solo se $s(n)=s(n-1)$.

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Find smallest n such that f(1)+…+f(n) >= 123456

Let $f$ be a function defined on the positive integers of the following form: given $n$, write $n=2^a(2b+1)$ with $a$ and $b$ non-negative integers, and define $f(n)=a^2+a+1$.

Determine the smallest positive integer $n$ such that $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)\ge 123456$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 24710 Fonte: apri PDF

Trova la n più piccola tale che f(1)+…+f(n) >= 123456

Let $f$ essere una funzione definita sui numeri interi positivi della seguente forma: data $n$, scrivere $n=2^a(2b+1)$ con $a$ e $b$ numeri interi non negativi, e definire $f(n)=a^2+a+1$.

Determinare il numero intero positivo più piccolo $n$ tale che $f(1)+f(2)+\cdots +f(n)\ge 123456$.

Risposta: 24710 src_obm_2000_n3_f3__Q03

Find all speeds v so a car never stops at any traffic light

Providence Avenue has infinitely many equally spaced and synchronized traffic lights. The distance between two consecutive traffic lights is $1500$ m. The lights are open (green) for $1$ min $30$ s, then closed (red) for $1$ min $30$ s, then open for $1$ min $30$ s, and so on. Suppose a car travels at constant speed $v$ m/s along Providence Avenue.

For which values of $v$ is it possible that the car passes through an arbitrarily large number of traffic lights without stopping at any of them?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $v=\frac{20}{k}$ m/s for every positive integer $k$ Fonte: apri PDF

Trova tutte le velocità v in modo che una macchina non si ferma mai a nessun semaforo

Providence Avenue ha infinitamente molti semafori spaziati e sincronizzati. La distanza tra due semafori consecutivi è $1500$ m. Le luci sono aperte (verde) per $1$ min $30$ s, quindi chiuse (rosse) per $1$ min $30$ s, quindi aperte per $1$ min $30$ s, ecc. Supponiamo che un’auto si sposta a velocità costante $v$ m/s lungo Providence Avenue.

Per quali valori di $v$ è possibile che l’auto passi attraverso un numero arbitrario di semafori senza fermarsi in nessuno di essi?

Risposta: $v=\frac{20}{k}$ m/s for every positive integer $k$ src_obm_2000_n3_f3__Q04

Count distance-preserving functions on a sequence space

Let $X$ be the set of all sequences $\underline{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_{2000})$ such that $a_i\in \{0,1,2\}$ for $1\le i\le 1000$ and $a_i\in \{0,1\}$ for $1001\le i\le 2000$. Given $\underline{a}$ and $\underline{b}$ in $X$, define the distance $d(\underline{a},\underline{b})$ between $\underline{a}$ and $\underline{b}$ as the number of indices $i$, $1\le i\le 2000$, such that $a_i\ne b_i$. Determine the number of functions $f:X\to X$ that preserve distance, that is, such that $d(f(\underline{a}),f(\underline{b}))=d(\underline{a},\underline{b})$ for all $\underline{a}$ and $\underline{b}$ in $X$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Biiezione, Conteggio Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: $1000!\cdot 1000!\cdot 2^{1000}\cdot (1\times 2^{1000}\cdot 3^{1000})$ Fonte: apri PDF

Conta le funzioni di conservazione della distanza su uno spazio di sequenza

$X$ sia l’insieme di tutte le sequenze $\underline{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_{2000})$ in modo tale che $a_i\in \{0,1,2\}$ per $1\le i\le 1000$ e $a_i\in \{0,1\}$ per $1001\le i\le 2000$. Date $\underline{a}$ e $\underline{b}$ in $X$, definire la distanza $d(\underline{a},\underline{b})$ tra $\underline{a}$ e $\underline{b}$ come il numero degli indici $i$, $1\le i\le 2000$, in modo tale che $a_i\ne b_i$. Determinare il numero di funzioni $f:X\to X$ che preservano la distanza, cioè tale che $d(f(\underline{a}),f(\underline{b}))=d(\underline{a},\underline{b})$ per tutte le $\underline{a}$ e $\underline{b}$ di $X$.

Risposta: $1000!\cdot 1000!\cdot 2^{1000}\cdot (1\times 2^{1000}\cdot 3^{1000})$ src_obm_2000_n3_f3__Q05

How many pieces does a cube split into by 28 perpendicular bisector planes?

Let $C$ be a wooden cube. For each of the $28$ pairs of vertices of $C$, we cut the cube $C$ by the perpendicular bisector plane of the two vertices in the pair. Into how many pieces is the cube divided?

Note: Given two points $A$ and $B$ in space, the perpendicular bisector plane of $A$ and $B$ is the set of points in space equidistant from $A$ and $B$. In other words, it is the plane perpendicular to segment $AB$ passing through the midpoint of $AB$.

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 96 Fonte: apri PDF

Quanti pezzi un cubo si divide in 28 piani perpendicolari?

Lasciate che il $C$ sia un cubo di legno. Per ciascuna delle coppie di vertici $28$ di $C$, tagliamo il cubo $C$ per il piano bisettore perpendicolare delle due vertici della coppia. In quanti pezzi è diviso il cubo?

Nota: Dati due punti $A$ e $B$ nello spazio, il piano bisettore perpendicolare di $A$ e $B$ è l’insieme di punti nello spazio equidistanti da $A$ e $B$. In altre parole, è il piano perpendicolare al segmento $AB$ che attraversa il punto medio di $AB$.

Risposta: 96 src_obm_2000_n3_f3__Q06