Olimpíada Brasileira de Matemática 2001 — Nível 1 — Fase 1

Smallest possible difference between two 3-distinct-digit naturals: larger all-even digits, smaller all-odd digits

Consider two natural numbers, each with three different digits. The larger one has only even digits and the smaller one has only odd digits. The smallest possible value for the difference between them is:

(A) $111$ \quad (B) $49$ \quad (C) $29$ \quad (D) $69$ \quad (E) $5$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

La differenza più piccola possibile tra due numeri naturali a 3 cifre distinte: cifre più grandi e tutte uguali, cifre più piccole e tutte strane

Considerate due numeri naturali, ognuno con tre cifre diverse. Il più grande ha solo cifre pari e il più piccolo solo cifre rare. Il valore minimo possibile per la differenza tra loro è:

(A) $111$ \quad (B) $49$ \quad (C) $29$ \quad (D) $69$ \quad (E) $5$

Risposta: E src_obm_2001_n1_f1__Q01

Count non-crossing quadrilaterals formed by joining one point from each of four circles containing 1,2,3,4 interior points

In the figure below we have $4$ circumferences and some highlighted points in the interior of these circumferences. The circumferences contain in their interior, respectively, $1$, $2$, $3$ and $4$ of these highlighted points, and by joining $4$ of these points in such a way that they do not cross, distinct quadrilaterals are formed. How many distinct quadrilaterals can we draw under these conditions?

(A) $4$ \quad (B) $14$ \quad (C) $60$ \quad (D) $120$ \quad (E) $24$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Contare i quadrilaterali non incrociati formati dalla connessione di un punto da ciascuno dei quattro cerchi contenenti 1,2,3,4 punti interni

Nella figura seguente abbiamo le circonferenze $4$ e alcuni punti evidenziati all’interno di queste circonferenze. Le circonferenze contengono all’interno, rispettivamente, $1$, $2$, $3$ e $4$ di questi punti evidenziati, e unendo $4$ di questi punti in modo da non incrociare, si formano quadrilaterali distinti. Quanti quadrilaterali distinti possiamo disegnare in queste condizioni?

(A) $4$ \quad (B) $14$ \quad (C) $60$ \quad (D) $120$ \quad (E) $24$

Risposta: D src_obm_2001_n1_f1__Q02

First three-digit number in the sequence 1, 6, 11, … (step 5)

Joana writes the sequence of natural numbers $1,6,11,\dots$, where each number, with the exception of the first, equals the previous one plus five. Joana stops when she finds the first three-digit number of the sequence. That number is:

(A) $100$ \quad (B) $104$ \quad (C) $101$ \quad (D) $103$ \quad (E) $102$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

*Primo numero a tre cifre della sequenza 1, 6, 11, … (passo 5) *

Joana scrive la sequenza dei numeri naturali $1,6,11,\dots$, dove ogni numero, con l’eccezione del primo, è uguale al precedente uno più cinque. Joana si ferma quando trova il primo numero a tre cifre della sequenza. Quel numero è:

(A) $100$ \quad (B) $104$ \quad (C) $101$ \quad (D) $103$ \quad (E) $102$

Risposta: C src_obm_2001_n1_f1__Q03

Count two-digit numbers that are neither prime nor multiples of 2, 3 or 5

How many two-digit numbers are neither prime nor multiples of $2$, $3$ or $5$?

(A) $1$ \quad (B) $3$ \quad (C) $2$ \quad (D) $4$ \quad (E) more than $4$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Contare i numeri a due cifre che non sono né prime né moltipli di 2, 3 o 5

Quanti numeri a due cifre non sono né prime né multipli di $2$, $3$ o $5$?

(A) $1$ \quad (B) $3$ \quad (C) $2$ \quad (D) $4$ \quad (E) più di $4$

Risposta: B src_obm_2001_n1_f1__Q04

Count composite numbers in {101, 1001, 10001, …, 1000000000001}

In the set $\{101,1001,10001,\dots ,1000000000001\}$ each element is a number formed by the digit $1$ at its extremities and by digits $0$ between them. Some of these elements are prime numbers and others are composite. Regarding the quantity of composite numbers we can affirm that:

(A) it is equal to $11$ \quad (B) it is equal to $4$ \quad (C) it is less than $3$ \quad (D) it is greater than $4$ and less than $11$ \quad (E) it is $3$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Contare i numeri composti in {101, 1001, 10001, …, 1000000000001}

Nel set $\{101,1001,10001,\dots ,1000000000001\}$ ogni elemento è un numero formato dalla cifra $1$ alle sue estremità e da cifre $0$ tra di esse. Alcuni di questi elementi sono numeri primi e altri composti. Per quanto riguarda la quantità di numeri composti possiamo affermare che:

(A) è uguale a $11$ \quad (B) è uguale a $4$ \quad (C) è inferiore a $3$ \quad (D) è maggiore di $4$ e inferiore a $11$ \quad (E) è $3$

Risposta: D src_obm_2001_n1_f1__Q05

Litres of water evaporated dehydrating 100 kg of pears from 90% to 60% water

A pear is about $90\%$ water and $10\%$ solid matter. A producer places $100$ kilograms of pears to dehydrate up to the point at which the water represents $60\%$ of the total mass. How many litres of water will be evaporated? (remember: $1$ litre of water has a mass of $1$ kilogram).

(A) $15$ litres \quad (B) $45$ litres \quad (C) $75$ litres \quad (D) $80$ litres \quad (E) $30$ litres

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Backward Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Litr di acqua evaporata che disidrata 100 kg di pere dal 90% al 60% di acqua

Una pera è circa $90\%$ acqua e $10\%$ materia solida. Un produttore mette $100$ chilogrammi di pere per disidratarli fino al punto in cui l’acqua rappresenta $60\%$ della massa totale. Quanti litri di acqua evaporeranno? (ricorda: $1$ litro di acqua ha una massa di $1$ chilogrammo).

(A) $15$ litri \quad (B) $45$ litri \quad (C) $75$ litri \quad (D) $80$ litri \quad (E) $30$

Risposta: C src_obm_2001_n1_f1__Q06

Side length of equilateral triangle formed by 49 unit equilateral triangles

The equilateral triangle $T$ on the right has side $1$. By joining triangles congruent to it, we can form other larger equilateral triangles, as indicated in the drawing below. What is the side of the equilateral triangle formed by $49$ triangles $T$?

(A) $7$ \quad (B) $49$ \quad (C) $13$ \quad (D) $21$ \quad (E) It is impossible to form an equilateral triangle with this number of triangles $T$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Lunghezza laterale di un triangolo equilaterale formato da 49 unità di triangolo equilaterale

Il triangolo equilaterale $T$ sulla destra ha lato $1$. Unendo i triangoli congruenti a esso, possiamo formare altri triangoli equilaterali più grandi, come indicato nel disegno di seguito. Qual è il lato del triangolo equilaterale formato dai triangoli $49$ $T$?

(A) $7$ \quad (B) $49$ \quad (C) $13$ \quad (D) $21$ \quad (E) È impossibile formare un triangolo equilaterale con questo numero di triangoli $T$

Risposta: A src_obm_2001_n1_f1__Q07

Occurrences of the group ‘89’ in the string of integers 1..1000 written consecutively

The positive integers from $1$ to $1000$ are written side by side, in increasing order, forming the sequence $123456789101112131415\dots 9990000$. In this sequence, how many times does the group "$89$" appear?

(A) $98$ \quad (B) $32$ \quad (C) $22$ \quad (D) $89$ \quad (E) $21$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Incorrenze del gruppo ‘89’ nella catena di numeri interi 1..1000 scritte consecutivamente

I numeri interi positivi da $1$ a $1000$ sono scritti fianco a fianco, in ordine crescente, formando la sequenza $123456789101112131415\dots 9990000$. In questa sequenza, quante volte appare il gruppo "$89$"?

(A) $98$ \quad (B) $32$ \quad (C) $22$ \quad (D) $89$ \quad (E) $21$

Risposta: B src_obm_2001_n1_f1__Q08

Minimum minutes for a locksmith to form a 30-link chain from ten 3-link pieces

A locksmith has $10$ pieces of $3$ links of chain each, shown below. He wants to make a single chain of $30$ links. To open and then weld a link, the locksmith takes $5$ minutes. How many minutes at minimum will he take to make this chain?

(A) $30$ \quad (B) $35$ \quad (C) $40$ \quad (D) $45$ \quad (E) $50$

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Minimum di minuti per un serratore per formare una catena a 30 collegamenti da dieci pezzi a 3 collegamenti

Un serratore ha $10$ pezzi di $3$ collegamenti di catena ciascuno, mostrati di seguito. Vuole fare una singola catena di collegamenti$30$. Per aprire e poi saldare un collegamento, il serratore richiede $5$ minuti. Quanti minuti almeno ci vorrà per fare questa catena?

(A) $30$ \quad (B) $35$ \quad (C) $40$ \quad (D) $45$ \quad (E) $50$

Risposta: B src_obm_2001_n1_f1__Q09

Identify the correct figure showing the positions of 2001 and 2000 in a two-row decorative number strip

The natural numbers are written on a decorative strip in the following manner: the top row reads $1,3,5,7,\dots$ and the bottom row reads $2,4,6,8,\dots$. Mark the correct figure (showing, with a bracket, the relative positions of $2001$ and $2000$).

(A), (B), (C), (D), (E) — see the figures in the original (each shows the numbers $2001$ and $2000$ with a bracket).

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Identificare la figura corretta che mostra le posizioni del 2001 e del 2000 in una striscia di numeri decorativi a due righe

I numeri naturali sono scritti su una striscia decorativa nel modo seguente: la riga superiore è $1,3,5,7,\dots$ e la riga inferiore è $2,4,6,8,\dots$. Indicare la figura corretta (indicando, con un supporto, le posizioni relative di $2001$ e $2000$).

(A), (B), (C), (D), (E) vedere le cifre dell’originale (ciascuno mostra i numeri $2001$ e $2000$ con un supporto).

Risposta: D src_obm_2001_n1_f1__Q10

Express the price of a dozen oranges plus a dozen bananas in watermelons

$2$ watermelons cost the same as $9$ oranges plus $6$ bananas; furthermore, half a dozen bananas costs half of a watermelon. Therefore, the price paid for one dozen oranges and one dozen bananas is equal to the price of:

(A) $3$ watermelons \quad (B) $4$ watermelons \quad (C) $6$ watermelons \quad (D) $5$ watermelons \quad (E) $2$ watermelons

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

*Espresso il prezzo di una dozzina di arance più una dozzina di banane in melone *

I meloni $2$ costano lo stesso che le arance $9$ più le banane $6$; inoltre, una mezza dozzina di banane costa metà di un melone. Pertanto, il prezzo pagato per una dozzina di arance e una dozzina di banane è pari al prezzo di:

(A) $3$ meloni \quad (B) $4$ meloni \quad (C) $6$ meloni \quad (D) $5$ meloni \quad (E) $2$ meloni

Risposta: A src_obm_2001_n1_f1__Q11

Last digit of the sum of 70 consecutive positive integers

What is the last digit of the sum of $70$ consecutive positive integers?

(A) $4$ \quad (B) $0$ \quad (C) $7$ \quad (D) $5$ \quad (E) Data is missing

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

L’ultima cifra della somma di 70 integri positivi consecutivi

Qual è l’ultima cifra della somma dei numeri interi positivi consecutivi $70$?

(A) $4$ \quad (B) $0$ \quad (C) $7$ \quad (D) $5$ \quad (E) Mancano dati

Risposta: B src_obm_2001_n1_f1__Q12

Weight of a 50-cent coin given mass-for-money equivalence with 20-cent coins

In Tumbolia, one kilogram of $50$-cent coins is equivalent in money to two kilograms of $20$-cent coins. Thus, one $50$-cent coin will weigh:

(A) $15$ grams \quad (B) $10$ grams \quad (C) $12$ grams \quad (D) $20$ grams \quad (E) $22$ grams

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

Peso di una moneta da 50 centesimi data l’equivalenza massa-per-money con le monete da 20 centesimi

In Tumbolia, un chilogrammo di monete $50$ centesimi equivale in denaro a due chilogrammi di monete $20$ centesimi. Pertanto, una moneta di $50$cent pesa:

(A) $15$ grammi \quad (B) $10$ grammi \quad (C) $12$ grammi \quad (D) $20$ grammi \quad (E) $22$ grammi

Risposta: B src_obm_2001_n1_f1__Q13

Common numerical value of perimeter and area of a rectangle with distinct integer sides

The measures of the sides of a rectangle are distinct integer numbers. The perimeter and the area of the rectangle are expressed by the same number. Determine these numbers.

(A) $18$ \quad (B) $12$ \quad (C) $24$ \quad (D) $9$ \quad (E) $36$

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Valore numerico comune del perimetro e dell’area di un rettangolo con lati interi distinti

Le misure dei lati di un rettangolo sono numeri interi distinti. Il perimetro e l’area del rettangolo sono espressi dallo stesso numero. Determina questi numeri.

(A) $18$ \quad (B) $12$ \quad (C) $24$ \quad (D) $9$ \quad (E) $36$

Risposta: A src_obm_2001_n1_f1__Q14

Sum of digits of a three-digit N such that 7N ends in 171

The number $N$ of three digits multiplied by $7$ gives as a result a number that ends in $171$. The sum of the digits of $N$ is:

(A) $10$ \quad (B) $11$ \quad (C) $12$ \quad (D) $13$ \quad (E) $14$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Summa di cifre di una N a tre cifre tale che 7N finisca in 171

Il numero $N$ di tre cifre moltiplicato per $7$ dà così un numero che termina in $171$. La somma delle cifre di $N$ è:

(A) $10$ \quad (B) $11$ \quad (C) $12$ \quad (D) $13$ \quad (E) $14$

Risposta: C src_obm_2001_n1_f1__Q15

Pigeonhole conclusion for 32 occupied squares on a 6-row by 9-column board

On a rectangular board with $6$ rows and $9$ columns, $32$ squares are occupied. We can affirm that:

(A) All columns have at least $3$ occupied squares. \quad (B) No column has more than $3$ occupied squares. \quad (C) Some column has no occupied squares. \quad (D) Some row has at least $6$ occupied squares. \quad (E) All rows have at least $4$ occupied squares.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Casework accurato, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Closure di buco di piccione per 32 quadrati occupati su una lavagna a 6 righe a 9 colonne

Su una tabella rettangolare con righe $6$ e colonne $9$ sono occupati quadrati $32$. Possiamo affermare che:

(A) Tutte le colonne hanno almeno $3$ quadrati occupati. \quad (B) Nessuna colonna ha più di $3$ quadrati occupati. \quad (C) Una colonna non ha quadrati occupati. \quad (D) Qualche riga ha almeno $6$ quadrati occupati. \quad (E) Tutte le righe hanno almeno $4$ quadrati occupati.

Risposta: D src_obm_2001_n1_f1__Q16

Number of boys in a class given remainders mod 4 and mod 5, with 15 girls and girls outnumbering boys

Counting the students of a class $4$ at a time leaves $2$ over, and counting $5$ at a time leaves $1$ over. Knowing that $15$ students are girls and that in this class the number of girls is greater than the number of boys, the number of boys in this class is:

(A) $7$ \quad (B) $8$ \quad (C) $9$ \quad (D) $10$ \quad (E) $11$

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

Nomero di ragazzi in una classe data il resto mod 4 e mod 5, con 15 ragazze e ragazze che superano in numero i ragazzi

Il conteggio degli studenti di una classe $4$ in un momento lascia $2$ e il conteggio $5$ in un momento lascia $1$. Sapendo che gli studenti sono ragazze e che in questa classe il numero di ragazze è maggiore del numero di ragazzi, il numero di ragazzi in questa classe è:

(A) $7$ \quad (B) $8$ \quad (C) $9$ \quad (D) $10$ \quad (E) $11$

Risposta: E src_obm_2001_n1_f1__Q17

Sum of all numbers from 1 to 999 in which the digit 1 appears exactly twice

All the numbers from $1$ to $999$ in which the digit $1$ appears exactly $2$ times (such as $11$, $121$, $411$, etc.) are written. The sum of all these numbers is:

(A) $6882$ \quad (B) $5994$ \quad (C) $4668$ \quad (D) $7224$ \quad (E) $3448$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Summa di tutti i numeri da 1 a 999 in cui il numero 1 appare esattamente due volte

Tutti i numeri da $1$ a $999$ in cui la cifra $1$ appare esattamente $2$ volte (come $11$, $121$, $411$, ecc.) sono scritti. La somma di tutti questi numeri è:

(A) $6882$ \quad (B) $5994$ \quad (C) $4668$ \quad (D) $7224$ \quad (E) $3448$

Risposta: A src_obm_2001_n1_f1__Q18

Number of wolves among five animals A–E that are dogs (truth) or wolves (liars), given their statements

Five animals $A$, $B$, $C$, $D$ and $E$ are dogs or are wolves. Dogs always tell the truth and wolves always lie. $A$ says that $B$ is a dog. $B$ says that $C$ is a wolf. $C$ says that $D$ is a dog. $D$ says that $B$ and $E$ are animals of different species. $E$ says that $A$ is a dog. How many wolves are there among the five animals?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Numero di lupi tra i cinque animali AE che sono cani (verità) o lupi (mentitori), data la loro dichiarazione

Cinque animali $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ sono cani o sono lupi. I cani dicono sempre la verità e i lupi mentono sempre. $A$ dice che $B$ è un cane. Il$B$dice che il$C$è un lupo. $C$ dice che $D$ è un cane. $D$ dice che $B$ e $E$ sono animali di specie diverse. $E$ dice che $A$ è un cane. Quanti lupi ci sono tra i cinque animali?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Risposta: D src_obm_2001_n1_f1__Q19

White tiles needed for a square-mosaic sequence using 80 black surrounding tiles

With white and black square tiles all of the same size, we construct the following mosaics. The rule for constructing these mosaics is the following: initially we form a square with $1$ white tile surrounded by black tiles; then, another square, this one with $4$ white tiles, also surrounded by black tiles; and so on successively. With $80$ black tiles, how many white tiles will be needed to make a sequence of mosaics like this?

(A) $55$ \quad (B) $65$ \quad (C) $75$ \quad (D) $85$ \quad (E) $100$

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

Tigli bianchi necessari per una sequenza di mosaico quadrato utilizzando 80 piastrelle nere circostanti

Con piastrelle quadrate bianche e nere della stessa dimensione, costruiamo i seguenti mosaici. La regola per la costruzione di questi mosaici è la seguente: inizialmente formiamo un quadrato con $1$ piastrelle bianche circondate da piastrelle nere; poi, un altro quadrato, questo con $4$ piastrelle bianche, circondato anche da piastrelle nere; e così via successivamente. Con le piastrelle nere $80$, quante piastrelle bianche saranno necessarie per fare una sequenza di mosaici come questa?

(A) $55$ \quad (B) $65$ \quad (C) $75$ \quad (D) $85$ \quad (E) $100$

Risposta: A src_obm_2001_n1_f1__Q20