Olimpíada Brasileira de Matemática 2001 — Nível 2 — Fase 1

How many two-digit numbers are neither prime nor multiples of 2, 3 or 5

How many two-digit numbers are neither prime nor multiples of $2$, $3$ or $5$?

(A) $1$ \quad (B) $26$ \quad (C) $5$ \quad (D) $4$ \quad (E) more than $4$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

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Quanti numeri a due cifre non sono né prime né multipli di 2, 3 o 5

Quanti numeri a due cifre non sono né prime né multipli di $2$, $3$ o $5$?

(A) $1$ \quad (B) $26$ \quad (C) $5$ \quad (D) $4$ \quad (E) più di $4$

Risposta: B src_obm_2001_n2_f1__Q01

Angle alpha after rotating triangle ABC 90 degrees counterclockwise about C

Triangle $CDE$ can be obtained by the rotation of triangle $ABC$ by $90^{\circ }$ counterclockwise about $C$, as shown in the drawing below. We can state that $\alpha$ is equal to:

(A) $75^{\circ }$ \quad (B) $65^{\circ }$ \quad (C) $70^{\circ }$ \quad (D) $45^{\circ }$ \quad (E) $55^{\circ }$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

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Angolo alfa dopo il triangolo rotante ABC 90 gradi contro il senso dell’orologio circa C

Il triangolo $CDE$ può essere ottenuto mediante la rotazione del triangolo $ABC$ da $90^{\circ }$ in senso controorario circa $C$, come mostrato nel disegno di seguito. Possiamo affermare che $\alpha$ è uguale a:

(A) $75^{\circ }$ \quad (B) $65^{\circ }$ \quad (C) $70^{\circ }$ \quad (D) $45^{\circ }$ \quad (E) $55^{\circ }$

Risposta: E src_obm_2001_n2_f1__Q02

Count composite numbers in the set {1, 101, 1001, …, 1000000000001}

In the set $\{1,101,1001,\dots ,1000000000001\}$ each element is a number formed by the digit $1$ at the extremities and digits $0$ between them. Some of these elements are prime numbers and others are composite. About the quantity of composite numbers we can state that:

(A) it is equal to $1$ \quad (B) it is equal to $4$ \quad (C) it is less than $3$ \quad (D) it is greater than $4$ and less than $11$ \quad (E) it is $3$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Contare i numeri composti nell’insieme {1, 101, 1001, …, 1000000000001}

Nell’insieme $\{1,101,1001,\dots ,1000000000001\}$ ogni elemento è un numero formato dalla cifra $1$ alle estremità e dalle cifre $0$ tra di loro. Alcuni di questi elementi sono numeri primi e altri composti. Per quanto riguarda la quantità di numeri composti possiamo affermare che:

(A) è uguale a $1$ \quad (B) è uguale a $4$ \quad (C) è inferiore a $3$ \quad (D) è maggiore di $4$ e inferiore a $11$ \quad (E) è $3$

Risposta: D src_obm_2001_n2_f1__Q03

Litres of water evaporated reducing pear water content from 90% to 60%

A pear has about $90\%$ water and $10\%$ solid matter. A producer places $100$ kilograms of pears to dry until the total mass is $60\%$ water. How many litres of water will be evaporated? (Remember: $1$ litre of water has mass $1$ kilogram.)

(A) $15$ litres \quad (B) $45$ litres \quad (C) $75$ litres \quad (D) $80$ litres \quad (E) $30$ litres

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

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Litr di acqua evaporata che riduce il contenuto di acqua di pera dal 90% al 60%

Una pera ha circa $90\%$ acqua e $10\%$ materia solida. Un produttore mette $100$ chilogrammi di pere a secco fino a che la massa totale è $60\%$ acqua. Quanti litri di acqua evaporeranno? (Ricorda: $1$ litro di acqua ha massa $1$ chilogrammo.)

(A) $15$ litri \quad (B) $45$ litri \quad (C) $75$ litri \quad (D) $80$ litri \quad (E) $30$

Risposta: C src_obm_2001_n2_f1__Q04

How many times the group 89 appears writing the integers 1 to 1000 in a row

The positive integers from $1$ to $1000$ are written side by side, in increasing order, forming the sequence $1234567891011121314\dots 9991000$. In this sequence, how many times does the group “$89$” appear?

(A) $98$ \quad (B) $32$ \quad (C) $22$ \quad (D) $89$ \quad (E) $21$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

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Quante volte il gruppo 89 appare scrivendo i numeri interi da 1 a 1000 in fila

I numeri interi positivi da $1$ a $1000$ sono scritti fianco a fianco, in ordine crescente, formando la sequenza $1234567891011121314\dots 9991000$. In questa sequenza, quante volte appare il gruppo “$89$’?

(A) $98$ \quad (B) $32$ \quad (C) $22$ \quad (D) $89$ \quad (E) $21$

Risposta: E src_obm_2001_n2_f1__Q05

Minimum minutes to join ten three-link chains into a single 30-link chain

A locksmith has $10$ pieces of chain of $3$ links each, shown below. He wants to make a single chain of $30$ links. To open and then weld a link the locksmith takes $5$ minutes. How many minutes at least will he take to make the chain?

(A) $30$ \quad (B) $35$ \quad (C) $40$ \quad (D) $45$ \quad (E) $50$

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

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Minimum di minuti per unire dieci catene a tre connessioni in una singola catena a 30 connessioni

Un serratore ha $10$ pezzi di catena di $3$ collegamenti ciascuno, mostrati di seguito. Vuole fare una singola catena di collegamenti$30$. Per aprire e quindi saldare un collegamento il serratore richiede $5$ minuti. Quanti minuti ci vorrà almeno per fare la catena?

(A) $30$ \quad (B) $35$ \quad (C) $40$ \quad (D) $45$ \quad (E) $50$

Risposta: B src_obm_2001_n2_f1__Q06

Price in watermelons for a dozen oranges plus a dozen bananas

$2$ watermelons cost the same as $9$ oranges plus $6$ bananas; moreover, half a dozen bananas cost half a watermelon. Therefore, the price paid for one dozen oranges and one dozen bananas is equal to the price of:

(A) $3$ watermelons \quad (B) $4$ watermelons \quad (C) $6$ watermelons \quad (D) $5$ watermelons \quad (E) $2$ watermelons

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

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Prezzo delle mele per una dozzina di arance più una dozzina di banane

I meloni $2$ costano lo stesso che le arance $9$ più le banane $6$; inoltre, una mezza dozzina di banane costa mezza melona. Pertanto, il prezzo pagato per una dozzina di arance e una dozzina di banane è pari al prezzo di:

(A) $3$ meloni \quad (B) $4$ meloni \quad (C) $6$ meloni \quad (D) $5$ meloni \quad (E) $2$ meloni

Risposta: A src_obm_2001_n2_f1__Q07

Last digit of the sum of 70 consecutive positive integers

What is the last digit of the sum of $70$ consecutive positive integers?

(A) $4$ \quad (B) $0$ \quad (C) $7$ \quad (D) $5$ \quad (E) Data missing

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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L’ultima cifra della somma di 70 integri positivi consecutivi

Qual è l’ultima cifra della somma dei numeri interi positivi consecutivi $70$?

(A) $4$ \quad (B) $0$ \quad (C) $7$ \quad (D) $5$ \quad (E) Mancano dati

Risposta: D src_obm_2001_n2_f1__Q08

Rectangle with distinct integer sides whose perimeter equals area (annulled)

The measures of the sides of a rectangle are distinct integers. The lengths of these sides, such that the perimeter and the area of the rectangle are expressed by the same number, are:

(A) $18$ \quad (B) $12$ \quad (C) $24$ \quad (D) $9$ \quad (E) $36$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: Anulada Fonte: apri PDF

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*Rettangolo con lati interi distinti il cui perimetro è uguale all’area (annullato) *

Le misure dei lati di un rettangolo sono numeri interi distinti. Le lunghezze di questi lati, in modo che il perimetro e l’area del rettangolo siano espressi con lo stesso numero, sono:

(A) $18$ \quad (B) $12$ \quad (C) $24$ \quad (D) $9$ \quad (E) $36$

Risposta: Anulada src_obm_2001_n2_f1__Q09

Sum of digits of a three-digit number N given 7N ends in 171

The three-digit number $N$ multiplied by $7$ gives a result ending in $171$. The sum of the digits of $N$ is:

(A) $10$ \quad (B) $11$ \quad (C) $12$ \quad (D) $13$ \quad (E) $14$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

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Summa di numeri di un numero tricifrato N dato 7N che finiscono in 171

Il numero a tre cifre $N$ moltiplicato per $7$ dà un risultato che termina in $171$. La somma delle cifre di $N$ è:

(A) $10$ \quad (B) $11$ \quad (C) $12$ \quad (D) $13$ \quad (E) $14$

Risposta: C src_obm_2001_n2_f1__Q10

Smallest n>1 such that P_n coincides with P_1 for 35-degree arcs on a circle

The points $P_1,P_2,P_3,\dots$ are, in this order, on a circle and are such that the arc joining each point to the next measures $35^{\circ }$. The smallest value of $n>1$ such that $P_n$ coincides with $P_1$ is:

(A) $347$ \quad (B) $73$ \quad (C) $109$ \quad (D) $141$ \quad (E) $361$

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

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N>1 minore tale che P_n coincida con P_1 per archi di 35 gradi su un cerchio

I punti $P_1,P_2,P_3,\dots$ sono, in questo ordine, su un cerchio e sono tali che l’arco che unisce ogni punto alle misure successive $35^{\circ }$. Il valore più piccolo di $n>1$ tale che $P_n$ coincida con $P_1$ è:

(A) $347$ \quad (B) $73$ \quad (C) $109$ \quad (D) $141$ \quad (E) $361$

Risposta: B src_obm_2001_n2_f1__Q11

Which statement is true for a 6-row 9-column board with 32 occupied cells

On a rectangular board with $6$ rows and $9$ columns, $32$ cells are occupied. We can state that:

• (A) All the columns have at least $3$ occupied cells.
• (B) No column has more than $3$ occupied cells.
• (C) Some column has no occupied cell.
• (D) Some row has at least $6$ occupied cells.
• (E) All the rows have $5$ occupied cells.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

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Che dichiarazione è vera per una tabella a 9 colonne di 6 righe con 32 celle occupate

Su una tabella rettangolare con righe $6$ e colonne $9$ sono occupate celle $32$. Possiamo affermare che:

• (A) Tutte le colonne hanno almeno $3$ cellule occupate.
• (B) Nessuna colonna ha più di $3$ cellule occupate.
• (C) Una colonna non ha cellule occupate.
• (D) Alcune righe hanno cellule occupate almeno $6$.
• (E) Tutte le righe hanno cellule occupate $5$.

Risposta: D src_obm_2001_n2_f1__Q12

Angle FCD in a regular pentagon with interior equilateral triangle ABF

$ABCDE$ is a regular pentagon and $ABF$ is an equilateral triangle interior to it. The angle $\widehat{FCD}$ measures:

(A) $38^{\circ }$ \quad (B) $40^{\circ }$ \quad (C) $42^{\circ }$ \quad (D) $44^{\circ }$ \quad (E) $46^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

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Angolo FCD in un pentagono regolare con triangolo equilaterale interno ABF

$ABCDE$ è un pentagono regolare e $ABF$ è un triangolo equilaterale interno a esso. L’angolo $\widehat{FCD}$ misura:

(A) $38^{\circ }$ \quad (B) $40^{\circ }$ \quad (C) $42^{\circ }$ \quad (D) $44^{\circ }$ \quad (E) $46^{\circ }$

Risposta: C src_obm_2001_n2_f1__Q13

Number of boys in a class given division remainders and 15 girls

Counting the students of a class $4$ by $4$ leaves a remainder of $2$, and counting them $5$ by $5$ leaves a remainder of $1$. Knowing that $15$ of the students are girls and that the number of girls is greater than the number of boys, the number of boys in this class is:

(A) $7$ \quad (B) $8$ \quad (C) $9$ \quad (D) $10$ \quad (E) $11$

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

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Numero di ragazzi in una classe data restanti di divisione e 15 ragazze

Contare gli studenti di una classe $4$ con $4$ lascia un residuo di $2$, e contare $5$ con $5$ lascia un residuo di $1$. Sapendo che $15$ degli studenti sono ragazze e che il numero di ragazze è maggiore del numero di ragazzi, il numero di ragazzi in questa classe è:

(A) $7$ \quad (B) $8$ \quad (C) $9$ \quad (D) $10$ \quad (E) $11$

Risposta: E src_obm_2001_n2_f1__Q14

Maximum number of regions of a circle divided by 2n+1 radii and one line

A circle is divided by $2n+1$ radii into $2n+1$ congruent sectors. The maximum number of regions of the circle determined by these radii and by one straight line is:

(A) $3n$ \quad (B) $3n+1$ \quad (C) $3n+2$ \quad (D) $3n+3$ \quad (E) $4n$

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

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Numero massimo di regioni di un cerchio diviso da 2n+1 raggi e una linea

Un cerchio è diviso dai radii $2n+1$ in settori congruenti $2n+1$. Il numero massimo di regioni del cerchio determinate da questi raggi e da una linea retta è:

(A) $3n$ \quad (B) $3n+1$ \quad (C) $3n+2$ \quad (D) $3n+3$ \quad (E) $4n$

Risposta: D src_obm_2001_n2_f1__Q15

Difference in initial amounts of Paulo and Cezar ending both with R$18

Paulo and Cezar have some money. Paulo gives Cezar R$$55,00$ and, next, Cezar gives Paulo $\frac{1}{3}$ of what he has. Thus, both end up with R$$18,00$. The difference between the amounts each one had initially is:

(A) R$$7,00$ \quad (B) R$$8,00$ \quad (C) R$$9,00$ \quad (D) R$$10,00$ \quad (E) R$$11,00$

Topic: Algebra Metodo: Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Differenza di importi iniziali di Paulo e Cezar che terminano entrambi con R$18*

Paulo e Cezar hanno dei soldi. Paulo dà a Cezar 18 dollari. La differenza tra gli importi che ciascuna aveva inizialmente è:

(A) R$$7,00$ \quad (B) R$$8,00$ \quad (C) R$$9,00$ \quad (D) R$$10,00$ \quad (E) R$$11,00$

Risposta: B src_obm_2001_n2_f1__Q16

Days remaining rations feed cattle after buying and selling cows

A farmer had $24$ cows and rations to feed them for $60$ days. However, $10$ days later, he bought $6$ more cows and $10$ days after that purchase he sold $20$ cows. For how many more days, after this last purchase, can he feed the herd with the remaining rations?

(A) $50$ \quad (B) $60$ \quad (C) $70$ \quad (D) $80$ \quad (E) $90$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

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Diegi rimanenti di razione per l’alimentazione del bestiame dopo l’acquisto e la vendita di mucche

Un agricoltore aveva vacche $24$ e razioni per nutrirle per $60$ giorni. Tuttavia, $10$ giorni dopo, ha comprato $6$ più mucche e $10$ giorni dopo quell’acquisto ha venduto $20$ mucche. Per quanti altri giorni, dopo questo ultimo acquisto, può nutrire il gregge con le rimanenti razioni?

(A) $50$ \quad (B) $60$ \quad (C) $70$ \quad (D) $80$ \quad (E) $90$

Risposta: C src_obm_2001_n2_f1__Q17

Sum of all numbers from 1 to 999 in which the digit 1 appears exactly twice

All the numbers from $1$ to $999$ in which the digit $1$ appears exactly $2$ times (such as $11$, $121$, $411$, etc.) are written down. The sum of all these numbers is:

(A) $6882$ \quad (B) $5994$ \quad (C) $4668$ \quad (D) $7224$ \quad (E) $3448$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

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Summa di tutti i numeri da 1 a 999 in cui il numero 1 appare esattamente due volte

Tutti i numeri da $1$ a $999$ in cui la cifra $1$ appare esattamente $2$ volte (come $11$, $121$, $411$, ecc.) vengono annotati. La somma di tutti questi numeri è:

(A) $6882$ \quad (B) $5994$ \quad (C) $4668$ \quad (D) $7224$ \quad (E) $3448$

Risposta: A src_obm_2001_n2_f1__Q18

Minimum corridor width to push a rectangular table around a right-angle turn

A rectangular table, whose feet have wheels, must be pushed along a corridor of constant width that forms a right angle. If the dimensions of the table are $a$ and $b$ (with $2a<b$), what must be the minimum width of the corridor so that the table can be pushed through it?

(A) $a+b$ \quad (B) $(a+b)\frac{\sqrt{2}}{2}$ \quad (C) $(a+b)\frac{\sqrt{2}}{4}$ \quad (D) $(2a+b)\frac{\sqrt{2}}{4}$ \quad (E) $(a+2b)\frac{\sqrt{2}}{4}$

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

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L’ampiezza minima del corridoio per spingere una tavola rettangolare attorno a una curva angolare rettangolare

Un tavolo rettangolare, i cui piedi hanno ruote, deve essere spinto lungo un corridoio di larghezza costante che forma un angolo retto. Se le dimensioni del tavolo sono $a$ e $b$ (con $2a<b$), quale deve essere la larghezza minima del corridoio in modo che il tavolo possa essere spinto attraverso di esso?

(A) $a+b$ \quad (B) $(a+b)\frac{\sqrt{2}}{2}$ \quad (C) $(a+b)\frac{\sqrt{2}}{4}$ \quad (D) $(2a+b)\frac{\sqrt{2}}{4}$ \quad (E) $(a+2b)\frac{\sqrt{2}}{4}$

Risposta: D src_obm_2001_n2_f1__Q19

Which figure is the net of a cube showing its intersection with a plane

Only one of the following figures represents the net (planification) of a cube on which its intersection with a plane is highlighted. Which one?

Topic: Geometria solida Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

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Qual è la rete di un cubo che mostra la sua intersezione con un piano

Solo una delle seguenti figure rappresenta la rete (pianificazione) di un cubo su cui è evidenziata la sua intersezione con un piano. - Quale?

Risposta: B src_obm_2001_n2_f1__Q20

Number of digits of the smallest perfect square ending in 2001

How many digits has the smallest perfect square whose four last digits are $2001$?

(A) $9$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $8$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

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Numero di cifre del più piccolo quadrato perfetto che termina nel 2001

Quante cifre ha il più piccolo quadrato perfetto le cui ultime quattro cifre sono $2001$?

(A) $9$ \quad (B) $5$ \quad (C) $6$ \quad (D) $7$ \quad (E) $8$

Risposta: D src_obm_2001_n2_f1__Q21

Bound on average race speed of Papa-Leguas given first-lap speed 200 km/h

Papa-Leguas participated in a race (together with Coyote and Flash) consisting of $100$ laps on a circuit. As always, Coyote tried to catch Papa-Leguas and placed several traps along the way. On the first lap Coyote caught Papa-Leguas, but Papa-Leguas’s average speed on the first lap was only $200$ km/h. Knowing this, the average speed of Papa-Leguas over the race:

• (A) Cannot exceed $200$ km/h.
• (B) Cannot exceed $250$ km/h, but can exceed $200$ km/h.
• (C) Cannot exceed $2000$ km/h, but can exceed $250$ km/h.
• (D) Cannot exceed $20000$ km/h, but can exceed $2000$ km/h.
• (E) Can exceed $20000$ km/h.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità Abilita: Stima, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Limita alla velocità media di gara di Papa-Leguas data la velocità del primo giro di 200 km/h

Papa-Leguas ha partecipato a una gara (insieme a Coyote e Flash) che consisteva in $100$ giri su un circuito. Come sempre, il Coyote ha cercato di catturare Papa-Leguas e ha posto diverse trappole lungo la strada. Nel primo giro il Coyote catturò Papa-Leguas, ma la velocità media di Papa-Leguas nel primo giro era solo $200$ km/h. Sapendo questo, la velocità media di Papa-Leguas sulla gara:

• (A) Non può superare $200$ km/h.
• (B) Non può superare $250$ km/h, ma può superare $200$ km/h.
• (C) Non può superare $2000$ km/h, ma può superare $250$ km/h.
• (D) Non può superare $20000$ km/h, ma può superare $2000$ km/h.
• (E) Possono superare $20000$ km/h.

Risposta: D src_obm_2001_n2_f1__Q22

White tiles needed when 80 black tiles are used in the mosaic sequence

With white and black square tiles, all of the same size, the following mosaics are built. The rule for building these mosaics is the following: initially we form a square with $1$ white tile surrounded by black tiles; next, another square, with $4$ white tiles, also surrounded by black tiles; and so on successively. With $80$ black tiles, how many white tiles will be needed to make a sequence of mosaics like this one?

(A) $55$ \quad (B) $65$ \quad (C) $75$ \quad (D) $85$ \quad (E) $100$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

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Tigli bianchi necessari quando vengono utilizzate 80 piastrelle nere nella sequenza di mosaico

Con piastrelle quadrate bianche e nere, tutte della stessa dimensione, vengono costruiti i seguenti mosaici. La regola per la costruzione di questi mosaici è la seguente: inizialmente formiamo un quadrato con $1$ piastrelle bianche circondate da piastrelle nere; successivamente, un altro quadrato, con $4$ piastrelle bianche, anche circondate da piastrelle nere; e così via. Con le piastrelle nere $80$, quante piastrelle bianche saranno necessarie per fare una sequenza di mosaici come questa?

(A) $55$ \quad (B) $65$ \quad (C) $75$ \quad (D) $85$ \quad (E) $100$

Risposta: A src_obm_2001_n2_f1__Q23

Number of wolves among five animals where dogs tell truth and wolves lie

Five animals $A$, $B$, $C$, $D$ and $E$ are dogs or wolves. Dogs always tell the truth and wolves always lie. $A$ says that $B$ is a dog. $B$ says that $C$ is a wolf. $C$ says that $D$ is a wolf. $D$ says that $B$ and $E$ are animals of different species. $E$ says that $A$ is a dog. How many wolves are there among the five animals?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Numero di lupi tra i cinque animali in cui i cani dicono la verità e i lupi mentono

Cinque animali $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ sono cani o lupi. I cani dicono sempre la verità e i lupi mentono sempre. $A$ dice che $B$ è un cane. Il$B$dice che il$C$è un lupo. $C$ dice che $D$ è un lupo. $D$ dice che $B$ e $E$ sono animali di specie diverse. $E$ dice che $A$ è un cane. Quanti lupi ci sono tra i cinque animali?

(A) $1$ \quad (B) $2$ \quad (C) $3$ \quad (D) $4$ \quad (E) $5$

Risposta: D src_obm_2001_n2_f1__Q24

Length FA in a circumscribable hexagon given five consecutive side lengths

The hexagon $ABCDEF$ is circumscribable. If $AB=1$, $BC=2$, $CD=3$, $DE=4$ and $EF=5$, how much does $FA$ measure?

(A) $1$ \quad (B) $3$ \quad (C) $15/8$ \quad (D) $6$ \quad (E) $9$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Estratto/tradotto da verificare con la fonte.

Lunghezza FA in un esagono circonscrivibile data cinque lunghezze laterali consecutive

L’esagono $ABCDEF$ è circoscrivibile. Se $AB=1$, $BC=2$, $CD=3$, $DE=4$ e $EF=5$, quanto misura $FA$?

(A) $1$ \quad (B) $3$ \quad (C) $15/8$ \quad (D) $6$ \quad (E) $9$

Risposta: B src_obm_2001_n2_f1__Q25