Olimpíada Brasileira de Matemática 2001 — Nível 2 — Fase 2

Tangram parallelogram area given unit square

The pieces of a game called Tangram are made by cutting a square into seven parts, as shown in the figure: two large right triangles, one medium right triangle, two small right triangles, one square, and one parallelogram. If the area of the large square is $1$, what is the area of the parallelogram?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1/8 Fonte: apri PDF

area del parallelo di tangramma data in unità quadrata

I pezzi di un gioco chiamato Tangram sono realizzati tagliando un quadrato in sette parti, come mostrato nella figura: due grandi triangoli rettangolari, un triangolo rettangolo medio, due piccoli triangoli rettangolari, un quadrato e un parallelo. Se l’area del grande quadrato è $1$, qual è l’area del parallelo?

Risposta: 1/8 src_obm_2001_n2_f2__Q01

Grid path numbering; find coordinates of point 2001

The points of the grid below are numbered starting from the lower-left vertex, following the polygonal path suggested in the figure. Consider the point corresponding to the number $2001$. What are the two numbers of the points situated immediately below and immediately to the left of it?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Numerare il percorso della griglia; trovare le coordinate del punto 2001

I punti della griglia di seguito sono numerati a partire dal vertice inferiore sinistro, seguendo il percorso poligonale suggerito nella figura. Considerare il punto corrispondente al numero $2001$. Quali sono i due numeri dei punti situati immediatamente sotto e immediatamente a sinistra di esso?

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Find all super-Olympic years for OBM divisibility condition

If the $n$-th OBM is held in a year that is divisible by $n$, we say that year is a super-Olympic year. For example, the year $2001$, in which the $23^{\text{rd}}$ OBM is being held, is super-Olympic because $2001=87\times 23$ is divisible by $23$. Find all super-Olympic years, given that the OBM has been held every year since its first edition in $1979$, and is supposed to continue being held every year.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutti gli anni super-olimpici per la condizione di divisibilità dell’OBM

Se l’OBM $n$-th si svolge in un anno divisibile da $n$, diciamo che quell’anno è un anno super-Olimpico. Ad esempio, l’anno $2001$, in cui viene tenuta l’OBM $23^{\text{rd}}$, è super-olimpico perché $2001=87\times 23$ è divisibile da $23$. Trova tutti gli anni super-Olimpici, dato che l’OBM si è tenuto ogni anno dalla sua prima edizione in $1979$, e dovrebbe continuare a essere tenuto ogni anno.

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Triangle ABC with external bisectors meeting; find angles

The measures of the angles of triangle $ABC$ are such that $\hat{A}<\hat{B}<90^{\circ }<\hat{C}$. The external bisectors of angles $\hat{A}$ and $\hat{C}$ meet the extensions of sides $BC$ and $AB$ at points $P$ and $Q$, respectively. Given that $\overline{AP}=\overline{CQ}=\overline{AC}$, determine the angles of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con bisettieri esterni che si incontrano; trovare angoli

Le misure degli angoli del triangolo $ABC$ sono tali che $\hat{A}<\hat{B}<90^{\circ }<\hat{C}$. I bisettori esterni degli angoli $\hat{A}$ e $\hat{C}$ soddisfano rispettivamente le estensioni dei lati $BC$ e $AB$ nei punti $P$ e $Q$. Dato che $\overline{AP}=\overline{CQ}=\overline{AC}$, determinare gli angoli del triangolo $ABC$.

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Interchangeable sets of 4 distinct nonzero digits; find all

We say that a set $A$ formed by $4$ distinct and nonzero digits is interchangeable if we can form pairs of numbers from the digits of $A$, each pair using $2$ digits of $A$, in such a way that in each pair the product of the two numbers formed is always the same. For example, the set $\{1,2,3,6\}$ is interchangeable because $21\cdot 36=12\cdot 63$. Find all interchangeable sets.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

insieme intercambiabili di 4 diversi numeri non zeri; trovare tutti

Diciamo che un insieme $A$ formato da $4$ cifre distinte e non zeri è ** intercambiabile** se possiamo formare coppie di numeri dalle cifre di $A$, ciascuna coppia utilizzando cifre $2$ di $A$, in modo tale che in ciascuna coppia il prodotto dei due numeri formati è sempre lo stesso. Ad esempio, l’insieme $\{1,2,3,6\}$ è intercambiabile perché $21\cdot 36=12\cdot 63$. Trova tutte le serie intercambiabili.

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Count ways to lace a shoe with 5 pairs of holes, symmetric pattern

The eccentric mathematician Jones, a specialist in Knot Theory, has a boot with $5$ pairs of holes through which the lace must pass, obeying the following rules:\n- the lace must be symmetric with respect to the vertical axis;\n- the lace must pass through each hole exactly once for each hole, being indifferent whether it does so from above or from below;\n- the lace must begin and end at the two upper holes and must connect directly (that is, without passing through other holes) the two lower holes.\nSome possible lacing patterns are shown. What is the total number of possibilities for the mathematician to lace his boot, following the rules?\n\nObservation: Lacings shown are considered equal if and only if the order in which the lace passes through the holes is the same.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 96 Fonte: apri PDF

Contare i modi di incatenare una scarpa con 5 paia di fori, modello simmetrico

Il matematico eccentrico Jones, uno specialista in Teoria dei nodi, ha un bagagliaio con $5$ coppie di buchi attraverso i quali il dentello deve passare, obbedendo alle seguenti regole:\n- il dentello deve essere simmetrico rispetto all’asse verticale;\n- il dentello deve passare attraverso ogni buco esattamente una volta per ogni buco, indifferente se lo fa da sopra o da sotto;\n- il dentello deve iniziare e finire ai due buchi superiori e deve collegare direttamente (cioè, senza passare attraverso altri buchi) i due buchi inferiori.\nSono mostrati alcuni possibili schemi di dentello. Qual è il numero totale di possibilità per il matematico di incastrare il suo scarpo, seguendo le regole?\n\nOsservazione: I lacingi mostrati sono considerati uguali se e solo se l’ordine in cui il cordone passa attraverso i buchi è lo stesso.

Risposta: 96 src_obm_2001_n2_f2__Q06