Olimpíada Brasileira de Matemática 2001 — Nível 2 — Fase 3

Fold a rectangular sheet along its diagonal, then so C meets A; show the crease quadrilateral is a rhombus and find its area

A sheet of rectangular paper $ABCD$, of area $1$, is folded along its diagonal $AC$ and then unfolded; next it is folded so that vertex $C$ coincides with vertex $A$, and then unfolded, leaving the crease $MN$, as in the drawing below.

a) Show that the quadrilateral $AMCN$ is a rhombus.

b) If the diagonal $AC$ is twice the width $AD$, what is the area of the rhombus $AMCN$?

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Piegare un foglio rettangolare lungo la sua diagonale, quindi in modo che C incontra A; mostrare il quadrilaterale pieghevole è un rombo e trovare la sua area

Un foglio di carta rettangolare $ABCD$, di superficie $1$, viene piegato lungo la sua diagonale $AC$ e poi svolto; successivamente viene piegato in modo che il vertice $C$ coincida con il vertice $A$, e poi svolto, lasciando la piega $MN$, come nel disegno di seguito.

**a) ** Mostra che il quadrilaterale $AMCN$ è un rombo.

**b) ** Se la diagonale $AC$ è doppia della larghezza $AD$, qual è la superficie del rombo $AMCN$?

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42 children numbered in a line stand on a grid of square tiles, consecutive numbers on adjacent tiles; decide which inspector’s drawing is wrong and complete the correct one

The $42$ children of a kindergarten school joined hands forming a line, and one of them received the number $1$, the next one number $2$, and so on, successively, up to the last one, who received the number $42$. Still holding hands, they went out into the courtyard and each one placed themselves on a tile (a square tile); two children with consecutive numbers placed themselves on adjacent tiles of one same row or one same column, side by side. Afterwards two inspectors each made a drawing showing, on some of the tiles, where some of the children had placed themselves. The two drawings (one by Maria, one by C\u00e9lia) were supposed to represent the same arrangement on the same tiles. Comparing them, the head inspector said to one of the two: “Your drawing is wrong!”

i) With which of the two inspectors did the head inspector agree? Which drawing is correct, and what is the head inspector’s reasoning?

ii) Complete the correct drawing so that it satisfies the conditions of the statement.

In Maria’s drawing (left), two adjacent cells in the top row contain $11$ and $20$, and a cell lower down contains $31$. In C\u00e9lia’s drawing (right), two adjacent cells in the top row contain $11$ and $20$, and a cell lower down contains $31$ (placed in a different relative position than in Maria’s drawing).

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Colorazione, Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

42 bambini numerati in una linea su una griglia di piastrelle quadrate, numeri consecutivi su piastrelle adiacenti; decidere quale disegno dell’ispettore sia sbagliato e completare quello corretto

I bambini $42$ di una scuola di giardino si uniscono per formare una linea, e uno di loro riceve il numero $1$, il numero successivo $2$, e così via, successivamente, fino all’ultimo, che riceve il numero $42$. Continuando a tenersi le mani, uscirono nel cortile e ognuno si posizionò su una piastrella (una piastrella quadrata); due bambini con numeri consecutivi si posizionarono su piastrelle adiacenti di una stessa riga o di una stessa colonna, fianco a fianco. In seguito due ispettori fecero un disegno che mostrava, su alcune piastrelle, dove alcuni dei bambini si erano posizionati. I due disegni (uno di Maria, l’altro di C\u00e9lia) dovevano rappresentare la stessa disposizione sulle stesse piastrelle. Comparandole, l’ispettore capo disse a uno dei due: “Il tuo disegno è sbagliato!”

Con quale dei due ispettori l’ispettore capo ha concordato? Quale disegno è corretto, e quale è il ragionamento dell’ispettore capo?

*ii) * Completa il disegno corretto in modo che soddisfi le condizioni della dichiarazione.

Nel disegno di Maria (a sinistra), due celle adiacenti nella riga superiore contengono $11$ e $20$, e una cella più in basso contiene $31$. Nel disegno di C\u00e9lia (a destra), due celle adiacenti nella riga superiore contengono $11$ e $20$, e una cella più in basso contiene $31$ (posizionata in una posizione relativa diversa dal disegno di Maria).

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Prove only finitely many integer-sided triangles have a given integer altitude h relative to side c

Given a positive integer $h$, prove that there exists only a finite number of triangles with integer sides $a$, $b$, $c$ and altitude relative to side $c$ equal to $h$.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Stima Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Prove solo finitamente molti triangoli a lato intero hanno un’altitudine di un dato numero intero h rispetto al lato c

Date un intero positivo $h$, dimostrare che esiste solo un numero finito di triangoli con lati interi $a$, $b$, $c$ e altitudine relativa al lato $c$ uguale a $h$.

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Prove no two integers a, b satisfy (a+b)(a^2+b^2)=2001

Show that there do not exist two integers $a$ and $b$ such that $(a+b)(a^2+b^2)=2001$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Prove non due numeri interi a, b soddisfare (a+b)

Indicare che non esistono due integri $a$ e $b$ tali da $(a+b)(a^2+b^2)=2001$.

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Find all possible values of a symmetric expression in a, b, c given a+b+c=0

Let $a$, $b$ and $c$ be nonzero real numbers such that $a+b+c=0$. Compute the possible values of $\frac{(a^3+b^3+c^3{)}^2(a^4+b^4+c^4)}{(a^5+b^5+c^5{)}^2}.$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i valori possibili di un’espressione simmetrica in a, b, c dati a+b+c=0

Lasciate che $a$, $b$ e $c$ siano numeri reali non zeri come $a+b+c=0$. Calcolare i possibili valori di $\frac{(a^3+b^3+c^3{)}^2(a^4+b^4+c^4)}{(a^5+b^5+c^5{)}^2}.$

src_obm_2001_n2_f3__Q05

Prove the four altitudes of a convex quadrilateral concur iff the quadrilateral is cyclic

In a convex quadrilateral, the altitude with respect to a side is defined as the perpendicular to that side passing through the midpoint of the opposite side. Prove that the four altitudes have a common point if and only if the quadrilateral is inscribable (cyclic), that is, if and only if there exists a circle that contains its four vertices.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove le quattro altitudini di un quadrilaterale convex in concorso se il quadrilaterale è ciclico

In un quadrilaterale convexo, l’altitudine ** rispetto a un lato è definita come la perpendicolare a quel lato che passa attraverso il punto medio del lato opposto. Prova che le quattro altitudini hanno un punto comune se e solo se il quadrilaterale è iscribile (ciclico), cioè se e solo se esiste un cerchio che contiene i suoi quattro vertici.

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