Olimpíada Brasileira de Matemática 2001 — Nível 3 — Fase 1

Count two-digit numbers that are neither prime nor multiples of 2, 3, or 5

How many two-digit numbers are neither prime nor multiples of 2, 3, or 5?

A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) more than 4

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Conta i numeri a due cifre che non sono né prime né moltiples di 2, 3 o 5

Quanti numeri a due cifre non sono né prime né moltiples di 2, 3 o 5?

**A) ** 1 **B) ** 3 **C) ** 2 **D) ** 4 **E) ** più di 4

Risposta: B src_obm_2001_n3_f1__Q01

Triangle CDE from 90 degree rotation of ABC around C; find angle alpha

Triangle $CDE$ can be obtained by rotating triangle $ABC$ by $90^{\circ }$ counterclockwise around $C$, as shown in the drawing below. We can state that $\alpha$ is equal to:

A) $75^{\circ }$ B) $65^{\circ }$ C) $70^{\circ }$ D) $45^{\circ }$ E) $55^{\circ }$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Triangolo CDE da rotazione di 90 gradi di ABC attorno a C; trovare angolo alfa

Il triangolo $CDE$ può essere ottenuto ruotando il triangolo $ABC$ con $90^{\circ }$ in senso contrario all’orologio intorno a $C$, come mostrato nel disegno di seguito. Possiamo affermare che $\alpha$ è uguale a:

A) $75^{\circ }$ B) $65^{\circ }$ C) $70^{\circ }$ D) $45^{\circ }$ E) $55^{\circ }$

Risposta: E src_obm_2001_n3_f1__Q02

Count composite numbers in {101, 1001, 10001, …, 1000000000001}

In the set $\{101,1001,10001,\dots ,1000000000001\}$ each element is a number formed by the digit 1 at both ends and by digits 0 in between. Some of these elements are prime numbers and others are composite. About the number of composite numbers we can state that:

A) it is equal to 11 B) it is equal to 4 C) it is less than 3 D) it is greater than 4 and less than 11 E) it is 3

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Contare i numeri composti in {101, 1001, 10001, …, 1000000000001}

Nell’insieme $\{101,1001,10001,\dots ,1000000000001\}$ ogni elemento è un numero formato dalla cifra 1 ad entrambe le estremità e da cifre 0 tra di esse. Alcuni di questi elementi sono numeri primi e altri composti. Per quanto riguarda il numero di numeri composti possiamo affermare che:

**A) ** è uguale a 11 **B) ** è uguale a 4 **C) ** è inferiore a 3 **D) ** è maggiore di 4 e inferiore a 11 **E) ** è 3

Risposta: D src_obm_2001_n3_f1__Q03

Pear 90% water, dehydrate to 60% water; find litres evaporated from 100 kg

A pear is about 90% water and 10% solid matter. A producer places 100 kilograms of pears to dehydrate until the water represents 60% of the total mass. How many litres of water will be evaporated? (Recall: 1 litre of water has a mass of 1 kilogram.)

A) 15 litres B) 45 litres C) 75 litres D) 80 litres E) 30 litres

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

*Perla 90% acqua, disidrata al 60% acqua; trova litri evaporati a partire da 100 kg *

Una pera è costituita al 90% da acqua e al 10% da materia solida. Un produttore mette 100 chilogrammi di pere in disidratazione fino a quando l’acqua non rappresenta il 60% della massa totale. Quanti litri di acqua evaporeranno? (Ricordi: 1 litro di acqua ha una massa di 1 kg.)

**A) ** 15 litri **B) ** 45 litri **C) ** 75 litri **D) ** 80 litri **E) ** 30 litri

Risposta: C src_obm_2001_n3_f1__Q04

Concatenated sequence 123…9991000; how many times does the group 89 appear?

The positive integers from 1 to 1000 are written side by side, in increasing order, forming the sequence $123456789101112131415\dots 9991000$. In this sequence, how many times does the group “89” appear?

A) 98 B) 32 C) 22 D) 89 E) 21

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Sequenza concatenata 123…9991000; quante volte appare il gruppo 89?

I numeri interi positivi da 1 a 1000 sono scritti fianco a fianco, in ordine crescente, formando la sequenza $123456789101112131415\dots 9991000$. In questa sequenza, quante volte appare il gruppo “89”?

A) 98 B) 32 C) 22 D) 89 E) 21

Risposta: B src_obm_2001_n3_f1__Q05

10 pieces of 3 links each; form a 30-link chain in minimum time

A locksmith has 10 pieces of 3 links each, shown below. He wants to make a single chain of 30 links. To open and then weld a link he will spend 5 minutes. How many minutes at least will he take to make the chain?

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

10 pezzi di 3 collegamenti ciascuno; formano una catena di 30 collegamenti in tempo minimo

Un serratore ha 10 pezzi di 3 collegamenti ciascuno, mostrati di seguito. Vuole fare una singola catena di 30 collegamenti. Per aprire e poi saldare un collegamento, spenderà 5 minuti. Quanti minuti ci vorrà almeno per fare la catena?

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

Risposta: B src_obm_2001_n3_f1__Q06

3-digit number N times 7 ends in 171; find digit sum of N

A three-digit number $N$ multiplied by 7 gives a result a number that ends in 171. The sum of the digits of $N$ is:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Nomero a 3 cifre N volte 7 termina in 171; trovare somma a cifre di N

Un numero a tre cifre $N$ moltiplicato per 7 dà un risultato che termina in 171. La somma delle cifre di $N$ è:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

Risposta: C src_obm_2001_n3_f1__Q07

Points on circle with 35 degree arcs; smallest n>1 with P_n = P_1

The points $P_1,P_2,P_3,\dots$ are in this order on a circle and are such that the arc joining each point to the next measures $35^{\circ }$. The smallest value of $n>1$ such that $P_n$ coincides with $P_1$ is:

A) 37 B) 73 C) 109 D) 141 E) 361

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Punti su un cerchio con archi di 35 gradi; n>1 più piccolo con P_n = P_1

I punti $P_1,P_2,P_3,\dots$ sono in questo ordine su un cerchio e sono tali che l’arco che unisce ogni punto alle misure successive $35^{\circ }$. Il valore più piccolo di $n>1$ tale che $P_n$ coincida con $P_1$ è:

A) 37 B) 73 C) 109 D) 141 E) 361

Risposta: B src_obm_2001_n3_f1__Q08

Regular pentagon ABCDE with interior equilateral triangle ABF; find angle FCD

$ABCDE$ is a regular pentagon and $ABF$ is an interior equilateral triangle. The angle $FCD$ measures:

A) $38^{\circ }$ B) $40^{\circ }$ C) $42^{\circ }$ D) $44^{\circ }$ E) $46^{\circ }$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

ABCDE pentagono regolare con triangolo equilaterale interno ABF; angolo di ricerca FCD

$ABCDE$ è un pentagono regolare e $ABF$ è un triangolo equilaterale interno. L’angolo $FCD$ misura:

A) $38^{\circ }$ B) $40^{\circ }$ C) $42^{\circ }$ D) $44^{\circ }$ E) $46^{\circ }$

Risposta: C src_obm_2001_n3_f1__Q09

Circle divided by 2n+1 radii into congruent sectors; max regions cut also by one line

A circle is divided, by $2n+1$ radii, into $2n+1$ congruent sectors. What is the maximum number of regions of the circle determined by these radii and by one straight line?

A) $3n$ B) $3n+1$ C) $3n+2$ D) $4n$ E) $4n+1$

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Circolo diviso da 2n+1 radii in settori congruenti; regioni massime tagliate anche da una linea

Un cerchio è diviso, per radii $2n+1$, in settori congruenti $2n+1$. Qual è il numero massimo di regioni del cerchio determinate da questi raggi e da una linea retta?

A) $3n$ B) $3n+1$ C) $3n+2$ D) $4n$ E) $4n+1$

Risposta: D src_obm_2001_n3_f1__Q10

Papa-Leguas (Road Runner) 100-lap race; first lap at 200 km/h; bound the average speed

Papa-Leguas (Road Runner) took part in a race (together with Ligeirinho and Flash), which consisted of doing 100 laps around a circuit. As always, Coyote wanted to catch Papa-Leguas and placed a pile of birdseed in the middle of the track. Of course Coyote did not manage to catch Papa-Leguas, but he made Papa-Leguas’s average speed on the first lap be only 200 km/h. Knowing this, the average speed of Papa-Leguas in the race:

A) Does not exceed 200 km/h. B) Does not exceed 250 km/h, but can exceed 200 km/h. C) Does not exceed 2000 km/h, but can exceed 250 km/h. D) Does not exceed 20000 km/h, but can exceed 2000 km/h. E) Can exceed 20000 km/h.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Papa-Leguas (Road Runner) corsa a 100 giri; primo giro a 200 km/h; limite di velocità media

Papa-Leguas (Road Runner) ha partecipato a una gara (insieme a Ligeirinho e Flash), che consisteva nel fare 100 giri intorno a un circuito. Come sempre, il Coyote voleva catturare Papa-Leguas e mise un mucchio di semi d’uccello nel mezzo della pista. Naturalmente il Coyote non riuscì a catturare Papa-Leguas, ma fece sì che la velocità media di Papa-Leguas nel primo giro fosse di soli 200 km/h. Sapendo questo, la velocità media di Papa-Leguas in gara:

**A) ** Non supera i 200 km/h. **B) ** Non supera i 250 km/h, ma può superare i 200 km/h. **C) ** Non supera i 2000 km/h, ma può superare i 250 km/h. **D) ** Non supera i 20000 km/h, ma può superare i 2000 km/h. **E) ** Può superare i 20000 km/h.

Risposta: D src_obm_2001_n3_f1__Q11

Count distinct integer solutions of (-6x^2+12x-2)^(x^2-2x+2)=4

The number of distinct integer solutions of the equation $(-6x^2+12x-2{)}^{x^2-2x+2}=4$ is:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Topic: Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Contare soluzioni di interi distinti di (-6x^2+12x-2)^(x^2-2x+2)=4

Il numero di soluzioni integrali distinte dell’equazione $(-6x^2+12x-2{)}^{x^2-2x+2}=4$ è:

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Risposta: D src_obm_2001_n3_f1__Q12

Raffle of 30 balls, first ball lost on floor; probability second drawn ball is Pedro’s

A raffle was organized among the 30 students of Pedro’s class. For this, 30 balls numbered from 1 to 30 were placed in an urn. One of them was then drawn. However, the ball fell on the floor and was lost, and a second ball had to be drawn among the remaining 29. What is the probability that the number drawn the second time was Pedro’s?

A) $\frac{1}{29}$ B) $\frac{1}{30}$ C) $\frac{1}{31}$ D) $\frac{1}{60}$ E) $\frac{2}{31}$

Topic: Probabilità Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Raffle di 30 palle, prima palla perduta sul pavimento; probabilità secondo palla tirata è la palla di Pedro

Fu organizzata una lotteria tra i 30 studenti della classe di Pedro. Per questo, 30 palle numerate da 1 a 30 furono messe in un’urna. Uno di loro fu poi disegnato. Tuttavia, la palla cadde sul pavimento e fu persa, e una seconda palla dovette essere tirata tra le restanti 29. Qual è la probabilità che il numero tirato la seconda volta fosse di Pedro?

A) $\frac{1}{29}$ B) $\frac{1}{30}$ C) $\frac{1}{31}$ D) $\frac{1}{60}$ E) $\frac{2}{31}$

Risposta: B src_obm_2001_n3_f1__Q13

Five animals (dogs tell truth, wolves lie); given statements, count the wolves

Five animals $A$, $B$, $C$, $D$ and $E$ are either dogs or wolves. Dogs always tell the truth and wolves always lie. $A$ says that $B$ is a dog. $B$ says that $C$ is a wolf. $C$ says that $D$ is a wolf. $D$ says that $B$ and $E$ are animals of different species. $E$ says that $A$ is a dog. How many wolves are there among the five animals?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Cinque animali (cani dicono la verità, lupi mentono); date le dichiarazioni, contate i lupi

Cinque animali $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ sono cani o lupi. I cani dicono sempre la verità e i lupi mentono sempre. $A$ dice che $B$ è un cane. Il$B$dice che il$C$è un lupo. $C$ dice che $D$ è un lupo. $D$ dice che $B$ e $E$ sono animali di specie diverse. $E$ dice che $A$ è un cane. Quanti lupi ci sono tra i cinque animali?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Risposta: D src_obm_2001_n3_f1__Q14

Sum of integers 1 to 999 in which digit 1 appears exactly twice

All numbers from 1 to 999 in which the digit 1 appears exactly 2 times (such as 11, 121, 411, etc.) are written. The sum of these numbers is:

A) 6882 B) 5994 C) 4668 D) 7224 E) 3448

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Summa di numeri interi da 1 a 999 in cui la cifra 1 appare esattamente due volte

Tutti i numeri da 1 a 999 in cui il numero 1 appare esattamente 2 volte (come 11, 121, 411, ecc.) sono scritti. La somma di questi numeri è:

A) 6882 B) 5994 C) 4668 D) 7224 E) 3448

Risposta: A src_obm_2001_n3_f1__Q15

Rectangular table (2a < b) pushed through a right-angle corridor; minimum corridor width

A rectangular table, whose feet have wheels, must be pushed through a corridor of constant width that forms a right angle. If the dimensions of the table are $a$ and $b$ (with $2a<b$), what must be the minimum width of the corridor so that the table can be pushed through it?

A) $a+b$ B) $(a+b)\frac{\sqrt{2}}{2}$ C) $(a+b)\frac{\sqrt{2}}{4}$ D) $(2a+b)\frac{\sqrt{2}}{4}$ E) $(a+2b)\frac{\sqrt{2}}{4}$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Tavola rettangolare (2a < b) spinta attraverso un corridoio angolare rettangolare; larghezza minima del corridoio

Un tavolo rettangolare, i cui piedi hanno ruote, deve essere spinto attraverso un corridoio di larghezza costante che forma un angolo retto. Se le dimensioni del tavolo sono $a$ e $b$ (con $2a<b$), quale deve essere la larghezza minima del corridoio in modo che il tavolo possa essere spinto attraverso di esso?

A) $a+b$ B) $(a+b)\frac{\sqrt{2}}{2}$ C) $(a+b)\frac{\sqrt{2}}{4}$ D) $(2a+b)\frac{\sqrt{2}}{4}$ E) $(a+2b)\frac{\sqrt{2}}{4}$

Risposta: D src_obm_2001_n3_f1__Q16

Identify which cube net shows the highlighted cross-section of the cube with a plane

Only one of the figures below represents the net (unfolding) of a cube on which is highlighted its intersection with a plane. Which one?

A), B), C), D), E) [five cube-net diagrams shown in the figure]

Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Identificare quale rete di cubi mostra la sezione trasversale evidenziata del cubo con un piano

Solo una delle figure di seguito rappresenta la rete (sviluppo) di un cubo su cui è evidenziata la sua intersezione con un piano. - Quale?

**A) **, **B) **, **C) **, **D) **, **E) ** [cinque diagrammi di rete cubica mostrati nella figura]

Risposta: B src_obm_2001_n3_f1__Q17

f(x)=x^2-3x+4; count real solutions of f applied 2001 times equals 2

Let $f(x)=x^2-3x+4$. How many real solutions does the equation $f(f(f(\dots f(x)\dots )))=2$ have (where $f$ is applied 2001 times)?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 2001 E) $2^{2001}$

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Backward, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

f(x)=x^2-3x+4; contare le soluzioni reali di f applicato per 2001 volte è uguale a 2

Let $f(x)=x^2-3x+4$. Quante soluzioni reali ha l’equazione $f(f(f(\dots f(x)\dots )))=2$ (dove $f$ viene applicata 2001 volte)?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 2001 E) $2^{2001}$

Risposta: C src_obm_2001_n3_f1__Q18

How many digits has the smallest perfect square whose last four digits are 2001

How many digits has the smallest perfect square whose last four digits are 2001?

A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Quante cifre ha il più piccolo quadrato perfetto le cui ultime quattro cifre sono 2001

Quante cifre ha il più piccolo quadrato perfetto le cui ultime quattro cifre sono 2001?

A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Risposta: B src_obm_2001_n3_f1__Q19

Right trapezoid ABCD with right angles A,B; M,N midpoints of AB,CD; compare angles ANB and CMD

Let $ABCD$ be a right trapezoid whose only right angles are $\hat{A}$ and $\hat{B}$. $M$ and $N$ are the midpoints of $AB$ and $CD$, respectively. With respect to the angles $\alpha =A\hat{N}B$ and $\beta =C\hat{M}D$, we can say that:

A) $\alpha <\beta$ B) $\alpha >\beta$ C) $\alpha =\beta$ D) any one of the situations in alternatives A), B) and C) can occur. E) the angle $\alpha$ is right.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

ABCD trapezoide destra con angoli retti A,B; M,N punti di mezzo di AB,CD; confronta gli angoli ANB e CMD

Il $ABCD$ deve essere un trapezoide retto, i cui unici angoli retti sono $\hat{A}$ e $\hat{B}$. $M$ e $N$ sono i punti di mezzo di $AB$ e $CD$, rispettivamente. Per quanto riguarda gli angoli $\alpha =A\hat{N}B$ e $\beta =C\hat{M}D$, possiamo dire che:

**A) ** $\alpha <\beta$ **B) ** $\alpha >\beta$ **C) ** $\alpha =\beta$ **D) ** può verificarsi una qualsiasi delle situazioni nelle alternative A), B) e C). **E) ** l’angolo $\alpha$ è giusto.

Risposta: A src_obm_2001_n3_f1__Q20

Sum of real x with x^2+x+1 = 156/(x^2+x)

The sum of the real values of $x$ such that $x^2+x+1=156/(x^2+x)$ is:

A) 13 B) 6 C) $-1$ D) $-2$ E) $-6$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

*Summa di x reale con x^2+x+1 = 156/(x^2+x) *

La somma dei valori reali di $x$ tale che $x^2+x+1=156/(x^2+x)$ è:

A) 13 B) 6 C) $-1$ D) $-2$ E) $-6$

Risposta: C src_obm_2001_n3_f1__Q21

Acute triangle ABC; max of sum of distances from an interior/boundary point to the three sides

For each point belonging to the interior and to the sides of an acute triangle $ABC$, consider the sum of its distances to the three sides of the triangle. The maximum value of this sum is equal to:

A) the arithmetic mean of the 3 altitudes of the triangle. B) the longest side of the triangle. C) the greatest altitude of the triangle. D) three times the radius of the circle inscribed in the triangle. E) the diameter of the circle circumscribed about the triangle.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Triangolo acuto ABC; massimo della somma delle distanze da un punto interno/frontaliero ai tre lati

Per ciascun punto appartenente all’interno e ai lati di un triangolo acuto $ABC$, considera la somma delle sue distanze verso i tre lati del triangolo. Il valore massimo di tale somma è pari a:

**A) ** la media aritmetica delle 3 altitudini del triangolo. **B) ** il lato più lungo del triangolo. **C) ** l’altitudine più alta del triangolo. **D) ** tre volte il raggio del cerchio inscritto nel triangolo. **E) ** il diametro del cerchio circondato intorno al triangolo.

Risposta: C src_obm_2001_n3_f1__Q22

f:Z to Z, f(x)=x/10 if 10 divides x else x+1; a0=2001, smallest n with a_n=1

Let $f$ be a function from $\mathbb{Z}$ to $\mathbb{Z}$ defined by $f(x)=x/10$ if $x$ is divisible by 10 and $f(x)=x+1$ otherwise. If $a_0=2001$ and $a_{n+1}=f(a_n)$, what is the smallest value of $n$ for which $a_n=1$?

A) 20 B) 38 C) 93 D) 2000 E) $a_n$ is never equal to 1

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

f:Z a Z, f(x)=x/10 se 10 divide x altrimenti x+1; a0=2001, n più piccolo con a_n=1

$f$ deve essere una funzione da $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}$ definita da $f(x)=x/10$ se $x$ è divisibile per 10 e $f(x)=x+1$ altrimenti. Se $a_0=2001$ e $a_{n+1}=f(a_n)$, qual è il valore più piccolo di $n$ per il quale $a_n=1$?

**A) ** 20 **B) ** 38 **C) ** 93 **D) ** 2000 **E) ** $a_n$ non è mai uguale a 1

Risposta: B src_obm_2001_n3_f1__Q23

Tangential hexagon ABCDEF; AB=1,BC=2,CD=3,DE=4,EF=5; find FA

The hexagon $ABCDEF$ is circumscribable (tangential). If $AB=1$, $BC=2$, $CD=3$, $DE=4$ and $EF=5$, how much does $FA$ measure?

A) 1 B) 3 C) $\frac{15}{8}$ D) 6 E) 9

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

ABCDEF esagono tangenziale; AB=1,BC=2,CD=3,DE=4,EF=5; trovare FA

L’esagono $ABCDEF$ è circonscrivibile (tangenziale). Se $AB=1$, $BC=2$, $CD=3$, $DE=4$ e $EF=5$, quanto misura $FA$?

A) 1 B) 3 C) $\frac{15}{8}$ D) 6 E) 9

Risposta: B src_obm_2001_n3_f1__Q24

Triangle ABC, AB=5, BC=6; maximize angle C; find area

In triangle $ABC$, $AB=5$ and $BC=6$. What is the area of triangle $ABC$, knowing that the angle $\hat{C}$ has the largest possible measure?

A) 15 B) $5\sqrt{7}$ C) $\frac{7\sqrt{7}}{2}$ D) $3\sqrt{11}$ E) $\frac{5\sqrt{11}}{2}$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

Triangolo ABC, AB=5, BC=6; massimizza l’angolo C; trova la superficie

In triangolo $ABC$, $AB=5$ e $BC=6$. Qual è l’area del triangolo $ABC$, sapendo che l’angolo $\hat{C}$ ha la misura più grande possibile?

A) 15 B) $5\sqrt{7}$ C) $\frac{7\sqrt{7}}{2}$ D) $3\sqrt{11}$ E) $\frac{5\sqrt{11}}{2}$

Risposta: E src_obm_2001_n3_f1__Q25