Olimpíada Brasileira de Matemática 2001 — Nível 3 — Fase 2

Smallest positive integer that is double a cube and quintuple a square

What is the smallest positive integer that is the double of a perfect cube and the quintuple of a perfect square?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il più piccolo intero positivo che è doppio di un cubo e quintuplico di un quadrato

Qual è il numero intero positivo più piccolo che è il doppio di un cubo perfetto e il quintuplico di un quadrato perfetto?

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Rectangle divided into 9 squares; find side of square I given side of A is 1

A rectangle is divided into 9 squares $A,B,C,D,E,F,G,H$ and $I$. Square $A$ has side length $1$. What is the side length of square $I$?

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Rettangolo diviso in 9 quadrati; trovare lato di quadrato I dato lato di A è 1

Un rettangolo è diviso in 9 quadrati $A,B,C,D,E,F,G,H$ e $I$. Il quadrato $A$ ha lunghezza laterale $1$. Qual è la lunghezza laterale del quadrato $I$?

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Trapezoid ABCD with AB∥CD; find angle DAB given angle sum condition

Trapezoid $ABCD$ has bases $AB\parallel CD$. Side $DA$ has length $x$ and side $BC$ has length $2x$. The sum of angles $\angle DAB+\angle ABC=120^{\circ }$. Determine angle $\angle DAB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trapezoide ABCD con ABCD; trovare angolo DAB data condizione somma angolo

Il trapezoide $ABCD$ ha basi $AB\parallel CD$. Il lato $DA$ è lungo $x$ e il lato $BC$ è lungo $2x$. La somma degli angoli $\angle DAB+\angle ABC=120^{\circ }$. Determinare l’angolo $\angle DAB$.

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Venusiano football championship; find minimum points for Vulcano FC to guarantee final

The Venusiano football championship is contested by 10 teams over 10 games played in two rounds. In each round every team plays once against each of the other teams. Suppose that Vulcano FC wins all the games of the 1st round. If it does not win the 2nd round game, Vulcano FC will play a tiebreaker match against the winner of the 2nd round. Otherwise (i.e.~if it wins the 2nd round game as well), Vulcano FC goes straight to the final. For each round game the winning team earns 3 points and the losing team earns 0 points; in case of a draw each team earns 1 point. The scores obtained during the tiebreaker match do not count towards the championship standings. It is guaranteed that the team with the most points in each round advances to the final (there are no tiebreakers for points).

a) Determine the smallest $n$ such that if Vulcano FC accumulates \emph{exactly} $n$ points in the second round, this guarantees Vulcano FC a place in the final (independent of how many points the opponent accumulates and what the scores of the other teams are).

b) Determine the smallest $n$ such that if Vulcano FC accumulates \emph{at least} $n$ points in the second round, this guarantees Vulcano FC a place in the final (independent of how many points the opponent accumulates and what the scores of the other teams are).

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Campionato veneziano di calcio: trovare punti minimi per il Vulcano FC per garantire la finale

Il campionato di calcio Venusiano è contestato da 10 squadre su 10 partite giocate in due round. In ogni round ogni squadra gioca una volta contro ogni altra squadra. Supponiamo che Vulcano FC vinca tutte le partite del primo round. Se non vince la partita del secondo round, Vulcano FC giocherà una partita di tiebreaker contro il vincitore del secondo round. Altrimenti (cioè se vince anche la seconda volta), Vulcano FC va direttamente alla finale. Per ogni round la squadra vincente guadagna 3 punti e la squadra perdente guadagna 0 punti; in caso di pareggio ogni squadra guadagna 1 punto. I punteggi ottenuti durante la partita del tie-breaker non contano per la classifica del campionato. È garantito che la squadra con il maggior numero di punti in ogni round avanza alla finale (non ci sono tie-breakers per i punti).

a) Determinare il minimo $n$ in modo tale che se il Vulcano FC accumula punti \emph{exactly} $n$ nel secondo round, questo garantisca al Vulcano FC un posto nella finale (indipendentemente dal numero di punti accumulati dall’avversario e dai punteggi delle altre squadre).

b) Determinare il minimo $n$ in modo tale che, se il Vulcano FC accumula $n$ punti al secondo turno, questo garantisca al Vulcano FC un posto nella finale (indipendentemente dal numero di punti accumulati dall’avversario e dai punteggi delle altre squadre).

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Evaluate nested radical sum expression and express as rational p/q

The number $S={\sum }_{a=1}^{2000}\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1{)}^2}}$ is rational; express it in the form $\frac{p}{q}$, where $p$ and $q$ are positive integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Evaluare l’espressione somma radicale incastonata ed esprimere come p/q razionale

Il numero $S={\sum }_{a=1}^{2000}\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{(a+1{)}^2}}$ è razionale; si esprime nella forma $\frac{p}{q}$, dove $p$ e $q$ sono integri positivi.

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Circle elimination procedure on n students; find chosen student position

To draw a lottery among $n$ students of a school ($n>1$), the following procedure is adopted. The students are placed in a circle and a count begins with one student in the form: “one, TWO, one, TWO, $\dots$”. Each time TWO is said, the corresponding student is eliminated and the count resumes with the next remaining student. The count continues until only one student remains, and that student is the one chosen.

a) For which values of $n$ is the first student in the circle (the one who begins the count) the one chosen?

b) If there are $192$ students in the initial circle, what is the position in the circle of the chosen student?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Induzione, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Procedura di eliminazione del cerchio su n studenti; trovare la posizione degli studenti scelti

Per il sorteo di una lotteria tra gli studenti di una scuola ($n$) viene adottata la seguente procedura. Gli studenti sono collocati in un cerchio e un conteggio inizia con uno studente nella forma: “uno, due, uno, due, $\dots$”. Ogni volta che si dice TWO, lo studente corrispondente viene eliminato e il conteggio riprende con il prossimo studente rimanente. Il conteggio continua fino a quando non rimane solo uno studente, e quel studente è quello scelto.

a) Per quali valori di $n$ è scelto il primo studente nel cerchio (colui che inizia il conteggio)?

b) Se nel cerchio iniziale ci sono studenti $192$, qual è la posizione nel cerchio dello studente scelto?

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