Olimpíada Brasileira de Matemática 2001 — Nível 3 — Fase 3

Prove an inequality between a product and a geometric-mean term for three positive reals

Prove that $(a+b)(a+c)\ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}$ for any positive real numbers $a$, $b$ and $c$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Rimostra una disuguaglianza tra un prodotto e un termine geometrico-medio per tre valori reali positivi

Prova che $(a+b)(a+c)\ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}$ per qualsiasi numero reale positivo $a$, $b$ e $c$.

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Greedy coprime sequence: find a_0 for which every term is a prime or a prime power

Given an integer $a_0>1$, we define a sequence $(a_n{)}_{n\ge 0}$ in the following way: for each $k\ge 0$, $a_{k+1}$ is the smallest integer $a_{k+1}>a_k$ such that $\gcd (a_{k+1},a_0\cdot a_1\cdots a_k)=1$. Determine for which values of $a_0$ all the terms $a_k$ of the sequence are primes or powers of primes.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenza di coprimo avido: trovare a_0 per il quale ogni termine è un primo o una potenza primaria

Dato un numero intero $a_0>1$, definiamo una sequenza $(a_n{)}_{n\ge 0}$ nel seguente modo: per ogni $k\ge 0$, $a_{k+1}$ è il numero intero più piccolo $a_{k+1}>a_k$ tale che $\gcd (a_{k+1},a_0\cdot a_1\cdots a_k)=1$. Determinare per quali valori di $a_0$ tutti i termini $a_k$ della sequenza sono numeri primi o potenze di numeri primi.

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Triangle with side AB trisected and two perpendicularity conditions; find ratio DB/DC

$E$ and $F$ are points on side $AB$ of triangle $ABC$, such that $AE=EF=FB$. $D$ is a point on line $BC$ such that $BC$ is perpendicular to $ED$, and $AD$ is perpendicular to $CF$. The angles $\angle BDF$ and $\angle CFA$ measure $x$ and $3x$, respectively. Calculate the ratio $\frac{DB}{DC}$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo con lato AB triseccato e due condizioni di perpendicularità; trovare rapporto DB/DC

$E$ e $F$ sono punti sul lato $AB$ del triangolo $ABC$, in modo tale che $AE=EF=FB$. $D$ è un punto della linea $BC$ tale che $BC$ sia perpendicolare a $ED$ e $AD$ sia perpendicolare a $CF$. Gli angoli $\angle BDF$ e $\angle CFA$ misurano rispettivamente $x$ e $3x$. Calcolare il rapporto $\frac{DB}{DC}$.

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Starting from 1, press sin or cos 2001 times (radians); find the largest possible result

A calculator has the number $1$ on its display. We must perform $2001$ operations, each of which consists of pressing one of the two keys $\sin$ or $\cos$ exactly once. These operations compute, respectively, the sine or the cosine of their argument, in radians. What is the largest possible result obtainable after these $2001$ operations?

Topic: Trigonometria, Algebra Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Stima, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

A partire da 1, premere sin o cos volte 2001 (radiani); trovare il risultato più grande possibile

Una calcolatrice ha il numero $1$ sul suo display. Dobbiamo eseguire operazioni $2001$, ciascuna delle quali consiste nel premere esattamente una delle due tasti $\sin$ o $\cos$. Queste operazioni calcolano, rispettivamente, il seno o il cosino della loro argomentazione, in radiani. Qual è il più grande risultato possibile ottenuto dopo queste operazioni $2001$?

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Convex quadrilateral: the four mid-perpendiculars to the sides concur iff it is cyclic

In a convex quadrilateral, the \emph{altitude} relative to a side is defined as the perpendicular to that side passing through the midpoint of the opposite side. Prove that the four altitudes have a common point if and only if the quadrilateral is inscriptible, that is, if and only if there exists a circle that contains its four vertices.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quadrilaterale convex: le quattro perpendicolari medie ai lati concordano se è ciclico

In un quadrilaterale convexo, l’altitudine relativa a un lato è definita come la perpendicolare a quel lato che passa attraverso il punto medio del lato opposto. Prova che le quattro altitudini hanno un punto comune se e solo se il quadrilaterale è iscribile, cioè se e solo se esiste un cerchio che contiene i suoi quattro vertici.

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Stones in a row of cups with two moves; prove a terminal configuration is reached and is unique

We have a long row of cups and $n$ stones in the central cup (cup $0$). The following moves are permitted:

Move of type $A$: If there is at least one stone in cup $i$ and at least one stone in cup $i+1$, we may make a stone that is in cup $i+1$ jump to cup $i-1$, eliminating a stone from cup $i$.

Move of type $B$: If there are at least two stones in cup $i$, we may make one of them jump to cup $i+2$ and another to cup $i-1$.

Prove the following fact: performing the moves of type $A$ or $B$ for a sufficiently long time, we always reach a configuration in which it is no longer possible to make any of these moves. Moreover, prove that this final configuration does not depend on the choice of moves made during the process.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Pietra in una fila di coppe con due mosse; prova che è raggiunta una configurazione terminale ed è unica

Abbiamo una lunga fila di tazze e delle pietre $n$ nella tazza centrale (tazza $0$). Sono ammessi i seguenti movimenti:

Movimento di tipo $A$: Se c’è almeno una pietra nella tazza $i$ e almeno una pietra nella tazza $i+1$, possiamo fare un salto in tazza $i+1$, eliminando una pietra dalla tazza $i$.

Movimento di tipo $B$: se nella tazza $i$ ci sono almeno due pietre, possiamo far saltare una di esse a tazza $i+2$ e un’altra a tazza $i-1$.

Prove il seguente fatto: eseguendo le mosse di tipo $A$ o $B$ per un periodo sufficientemente lungo, raggiungiamo sempre una configurazione in cui non è più possibile eseguire nessuna di queste mosse. Inoltre, dimostrare che questa configurazione finale non dipende dalla scelta delle mosse effettuate durante il processo.

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