Olimpíada Brasileira de Matemática 2001 — Nível Universitário — Fase 2

Perpendiculars from points on a line envelop a parabola

Let $O$ be a point and $r$ a line in the plane. For each point $P$ of $r$, let $r_P$ be the perpendicular to $OP$ passing through $P$. Prove that the set $\{r_P\mid P\in r\}$ is the set of all tangent lines to a parabola.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le perpendicolari dei punti su una linea avvolgono una parabola

Che $O$ sia un punto e $r$ una linea nel piano. Per ogni punto $P$ di $r$, $r_P$ deve essere perpendicolare a $OP$ che passa attraverso $P$. Prove che l’insieme $\{r_P\mid P\in r\}$ è l’insieme di tutte le linee tangenti di una parabola.

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Every line through origin meets infinitely many circles centered at integer points

Let $\epsilon$ be an arbitrary positive real number. With center at every point of the plane with integer coordinates, draw a circle of radius $\epsilon$. Prove that every line passing through the origin meets infinitely many of these circles.

Topic: Geometria analitica, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ogni linea attraverso l’origine incontra infinitamente molti cerchi centrati in punti interi

$\epsilon$ sia un numero reale positivo arbitrario. Con centro in ogni punto del piano con coordinate interi, disegnare un cerchio di raggio $\epsilon$. Prove che ogni linea che passa attraverso l’origine incontra infinitamente molti di questi cerchi.

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Existence of X in SL(2,Z) such that X^t AX equals one of four matrices

Define $SL(2,\mathbb{Z})$ as the set of $2\times 2$ matrices with integer entries and determinant $1$. Let $A\in SL(2,\mathbb{Z})$ be a matrix such that there exists $n>0$ an integer with $A^n=I$. Prove that there exists $X\in SL(2,\mathbb{Z})$ such that $X^{T}AX$ equals one of the following matrices: $\pm \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\pm \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),\pm \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right),\pm \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right).$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Esistenza di X in SL(2,Z) tale che X^t AX sia uguale a una delle quattro matrici

Definire $SL(2,\mathbb{Z})$ come l’insieme di matrici $2\times 2$ con voci interi e determinante $1$. Che $A\in SL(2,\mathbb{Z})$ sia una matrice tale che esista $n>0$ un intero con $A^n=I$. Prova che esiste $X\in SL(2,\mathbb{Z})$ tale che $X^{T}AX$ sia uguale a una delle seguenti matrici: $\pm \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\pm \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),\pm \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right),\pm \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right).$

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Count distinct paths from A to B on unit-segment figure without revisiting a point

Walking along the unit segments of the figure below, determine how many distinct paths from $A$ to $B$ exist without passing through any point more than once.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Grafi Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare percorsi distinti da A a B sulla figura di segmento unitario senza rivedere un punto

Se si seguono i segmenti unitari della figura di seguito, si può determinare quanti percorsi distinti esistono da $A$ a $B$ senza passare più di una volta attraverso alcun punto.

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Functional equation for I(u) defined by an integral, then compute I(u)

For all real $u$, let $I(u)={\int }_0^u\ln (1-2a\cos x+a^2)dx$.

a) Prove that $I(u)=I(-u)=\frac{1}{2}I(u^2)$. [Note: the original uses $I(u)=\frac{1}{2}I(u^2)$ with the substitution $a\mapsto a^2$; the precise statement is: prove $I(u)=I(-u)$ and $I(u)=\frac{1}{2}I(u^2)$.]

b) Compute $I(u)$ for all $u\in \mathbb{R}$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Simmetria, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Equazione funzionale per I(u) definita da un’integrale, quindi calcola I(u) *

Per tutti i $u$ reali, $I(u)={\int }_0^u\ln (1-2a\cos x+a^2)dx$.

a) Provare che $I(u)=I(-u)=\frac{1}{2}I(u^2)$. [Nota: l’originale utilizza $I(u)=\frac{1}{2}I(u^2)$ con la sostituzione $a\mapsto a^2$; la dichiarazione precisa è: provare $I(u)=I(-u)$ e $I(u)=\frac{1}{2}I(u^2)$.]

b) Calcolare $I(u)$ per tutti $u\in \mathbb{R}$.

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Surjective map on unit disk preserving distance implies isometry

Let $D$ be the set of points in ${\mathbb{R}}^2$ with $|p|\le 1$. Let $f:D\to D$ be a surjective function satisfying $|f(p)-f(q)|\le |p-q|$ for all $p,q\in D$. Prove that $f$ is an isometry, that is, $|f(p)-f(q)|=|p-q|$ for all $p,q\in D$.

(Notation: $|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}$.)

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Mappa soggettiva sul disco unitario che preserva la distanza implica isometria

$D$ è l’insieme dei punti di ${\mathbb{R}}^2$ con $|p|\le 1$. Che $f:D\to D$ sia una funzione soggettiva che soddisfi $|f(p)-f(q)|\le |p-q|$ per tutti $p,q\in D$. Provare che $f$ è un’isometria, cioè $|f(p)-f(q)|=|p-q|$ per tutti $p,q\in D$.

(Notazione: $|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}$.)

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