Olimpíada Brasileira de Matemática 2002 — Nível 1 — Fase 3

5x5 grid of integers 1-25: choose five numbers, no two in the same line or column; find a set with largest element 23, and one whose largest element is smallest possible

On the board below are written all the integers from $1$ to $25$. Consider all the sets formed by five of these numbers, in such a way that there are no two numbers belonging to the same line or the same column.

$\begin{array}{ccccc}2& 13& 16& 11& 23\\ 15& 1& 9& 7& 10\\ 14& 12& 21& 24& 8\\ 3& 25& 22& 18& 4\\ 20& 19& 6& 5& 17\end{array}$

a) Present a set whose largest element is $23$.

b) Present a set whose largest element is the smallest possible.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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5x5 griglia di numeri interi 1-25: scegliete cinque numeri, non due nella stessa riga o colonna; trovate un insieme con l’elemento più grande 23, e uno il cui elemento più grande è il più piccolo possibile

Nella tabella di seguito sono scritti tutti gli enti da $1$ a $25$. Considerate tutti gli insiemi formati da cinque di questi numeri, in modo tale che non ci siano due numeri appartenenti alla stessa linea o alla stessa colonna.

$\begin{array}{ccccc}2& 13& 16& 11& 23\\ 15& 1& 9& 7& 10\\ 14& 12& 21& 24& 8\\ 3& 25& 22& 18& 4\\ 20& 19& 6& 5& 17\end{array}$

a) Presenta un insieme il cui elemento più grande è $23$.

b) Presenta un insieme il cui elemento più grande è il più piccolo possibile.

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X is reflection of B across line r (perpendicular bisector setup); X’ Y’ Z’ are reflections of vertices of triangle XYZ across the opposite sides; compute the area of triangle X’Y’Z’

In the drawing, the line $r$ is perpendicular to the segment $AB$ and passes through its midpoint $M$. We say that $X$ is the symmetric (reflection) of $B$ with respect to the line $r$ when $r$ is the perpendicular bisector of segment $BX$ (analogously for the symmetric of a point with respect to segment $PQ$).

Let the triangle $X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$ be such that $X^{\prime }$ is the symmetric of $X$ with respect to the side $YZ$, $Y^{\prime }$ is the symmetric of $Y$ with respect to the side $XZ$, and $Z^{\prime }$ is the symmetric of $Z$ with respect to the side $XY$.

Compute the area of triangle $X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

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X è il riflesso di B attraverso la linea r (impostazione bisettore perpendicolare); X’ Y’ Z’ sono i riflessi delle vertici del triangolo XYZ su tutti i lati opposti; calcolare l’area del triangolo X’Y’Z’

Nel disegno, la linea $r$ è perpendicolare al segmento $AB$ e passa attraverso il suo punto medio $M$. Diciamo che $X$ è la simmetria (riflessione) di $B$ rispetto alla linea $r$ quando $r$ è il bisettore perpendicolare del segmento $BX$ (analogamente per la simmetria di un punto rispetto al segmento $PQ$).

Il triangolo $X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$ deve essere tale che $X^{\prime }$ sia simmetrica di $X$ rispetto al lato $YZ$, $Y^{\prime }$ sia simmetrica di $Y$ rispetto al lato $XZ$, e $Z^{\prime }$ sia simmetrica di $Z$ rispetto al lato $XY$.

Calcolare l’area del triangolo $X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$.

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A quadrilateral-shaped park with several gates; label its points so that the numbers along each side add up to the same total T; give an example numbering achieving one possible value of T

The park below has the shape of a quadrilateral and possesses several gates (entrances): one at each vertex of the quadrilateral and one on each side. The gates are to be numbered, four by four, so that on each side the sum $T$ of the numbers is the same. Number the points so that the sum is always the same number, equal to $T$. Present below an example of a numbering of the points that gives one of the possible values of $T$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Un parco quadrilaterale con più porte; etichettare i suoi punti in modo che i numeri lungo ogni lato si sommano allo stesso totale di T; dare un esempio di numerazione che raggiunga un possibile valore di T

Il parco di sotto ha la forma di un quadrilaterale e possiede diversi cancelli (ingressi): uno ad ogni vertice del quadrilaterale e uno su ogni lato. I cancelli devono essere numerati, quattro per quattro, in modo che su ogni lato la somma $T$ dei numeri sia la stessa. Numerare i punti in modo che la somma sia sempre lo stesso numero, pari a $T$. Presenta qui di seguito un esempio di numerazione dei punti che fornisce uno dei possibili valori di $T$.

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Seven coins in a circle, one showing its visible face; determine whether by flipping five consecutive coins each time (a) or four consecutive coins each time (b) all can be made to show face down

Seven coins are arranged in a circle, with one face visible (showing heads).

a) Is it possible, turning over five consecutive coins each time, to make all of them show face down (tails)?

b) Is it possible, turning over four consecutive coins each time, to make all of them show face down (tails)?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

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Sette monete in un cerchio, una con la sua faccia visibile; determinare se girando cinque monete consecutive ogni volta (a) o quattro monete consecutive ogni volta (b) tutti possono essere fatti vedere la faccia in giù

Sette monete sono disposte in un cerchio, con una faccia visibile (che mostra teste).

a) È possibile, girando ogni volta cinque monete consecutive, farli tutti mostrare a faccia in giù (cola)?

b) È possibile, girando ogni volta quattro monete consecutive, farli tutti mostrare a faccia in giù?

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On an 8x8 board two players alternately place 1x1 pawns on squares; the player who cannot move loses; determine which player has a winning strategy independent of the opponent’s play

Two players play on a chessboard ($8\times 8$) made up of squares the size of the pieces. The two players play alternately, and on each play a player places a $1\times 1$ pawn on an empty square of the board. The player who cannot place a pawn on the board loses. Can a player win independently of how the adversary plays — that is, does one of the players have a winning strategy?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Simmetria, Estremalità, Casework Abilita: Astrazione, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Su un tavolo 8x8 due giocatori inseriscono alternativamente 1x1 pedoni su quadrati; il giocatore che non può muoversi perde; determina quale giocatore ha una strategia vincente indipendentemente dal gioco dell’avversario

Due giocatori giocano su una scacchiera ($8\times 8$) composta da quadrati della dimensione dei pezzi. I due giocatori giocano alternativamente, e a ciascuna partita un giocatore pone un pedone $1\times 1$ su un quadrato vuoto della tavola. Il giocatore che non riesce a mettere un pedone sulla tavola perde. Un giocatore può vincere indipendentemente dal modo in cui l’avversario gioca cioè, uno dei giocatori ha una strategia vincente?

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