Olimpíada Brasileira de Matemática 2002 — Nível 2

Merchant sells two cars; total purchase R$27000, gain R$750; find individual prices

A merchant buys two cars for a total of R $\$ 27{,}000.00 $. H eso l d t h e f i r s t o n e a t a d i sco u n t o f$ 10% $an d t h eseco n d o n e a t ama r k u p o f$ 5% $. T h eo v er a l l g ain w a s R$ $750.00$. The purchase prices of the two cars were, respectively:

(A) R $\$ 18{,}000.00 $an d R$ $12{,}000.00$

(B) R $\$ 13{,}000.00 $an d R$ $14{,}000.00$

(C) R $\$ 14{,}000.00 $an d R$ $13{,}000.00$

(D) R $\$ 15{,}000.00 $an d R$ $12{,}000.00$

(E) R $\$ 18{,}000.00 $an d R$ $9{,}000.00$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Il commerciante vende due auto; acquisto totale R$27000, gain R$750; trovare prezzi individuali*

Un commerciante acquista due auto per un totale di R $\$ 27{,}000.00 $. H eso l d t h e f i r s t o n e a t a d i sco u n t o f$ 10% $an d t h eseco n d o n e a t ama r k u p o f$ 5% $. T h eo v er a l l g ain w a s R$ $750.00$. I prezzi di acquisto delle due vetture erano rispettivamente:

(A) R $\$ 18{,}000.00 $an d R$ $12{,}000.00$

(B) R $\$ 13{,}000.00 $an d R$ $14{,}000.00$

(C) R $\$ 14{,}000.00 $an d R$ $13{,}000.00$

(D) R $\$ 15{,}000.00 $an d R$ $12{,}000.00$

(E) R $\$ 18{,}000.00 $an d R$ $9{,}000.00$

Risposta: C src_obm_2002_n2_f1__Q01

Billiard ball on 5×7 table shot at 45°; count side hits before corner pocket

If you were to play billiards on a rectangular table whose width-to-length ratio is $5 : 7$ , and you shoot a ball from a corner at $4 5^{\circ}$ to the sides, how many times does the ball hit the sides before falling into a pocket at a corner?

(A) $10$ times

(B) $12$ times

(C) $14$ times

(D) $16$ times

(E) $15$ times

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: A Fonte: apri PDF

*Bolla da biliardo su 5 ×7 tavola colpita a 45°; contare i colpi laterali prima della tasca angolare *

Se dovessi giocare a biliardo su un tavolo rettangolare il cui rapporto larghezza-lunghezza è $5 : 7$ , e spari una palla da un angolo a $4 5^{\circ}$ ai lati, quante volte la palla colpisce i lati prima di cadere in una tasca in un angolo?

(A) $10$ volte

(B) $12$ volte

(C) $14$ volte

(D) $16$ volte

(E) $15$ volte

Risposta: A src_obm_2002_n2_f1__Q02

TV ‘with 20 polygons’ means 20 along diagonal; count along diagonal for 60-polygon TV

Saying that a television set ‘has 20 polygons’ means that $20$ small polygonal tiles fit along the diagonal of the screen. How many polygons fit along the diagonal of a television set that ‘has 60 polygons’, if each tile is the same size?

(A) $9$

(B) $10$

(C) $18$

(D) $20$

(E) $30$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

TV “con 20 poligoni”: 20 lungo la diagonale; contare lungo la diagonale per TV a 60 poligoni

Dire che un televisore “ha 20 poligoni” significa che $20$ piccole piastrelle poligonali si adattano lungo la diagonale dello schermo. Quanti poligoni si adattano lungo la diagonale di un televisore che ‘ha 60 poligoni’, se ogni piastrella ha la stessa dimensione?

(A) $9$

(B) $10$

(C) $18$

(D) $20$

(E) $30$

Risposta: A src_obm_2002_n2_f1__Q03

Dilute 2000 L milk twice with water; find V so milk equals water volume

A factory buys $2000$ litres of pure milk and then removes a volume $V$ of milk. It then refills the container to $2000$ litres with water, removes the same volume $V$ of the mixture, and refills again to $2000$ litres with water. In the final mixture, the volume of milk equals the volume of water. The volume $V$ (in litres) is:

(A) $500$ litres

(B) $600$ litres

(C) $700$ litres

(D) $800$ litres

(E) $875$ litres

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Diluire due volte il latte di 2000 l con acqua; trovare V in modo che il latte sia uguale al volume dell’acqua

Una fabbrica acquista $2000$ litri di latte puro e poi rimuove un volume $V$ di latte. Il contenitore viene quindi riempito di $2000$ litri di acqua, viene rimosso lo stesso volume $V$ della miscela e viene riempito di nuovo di $2000$ litri di acqua. Nella miscela finale, il volume del latte è uguale al volume dell’acqua. Il volume $V$ (in litri) è:

(A) $500$ litri

(B) $600$ litri

(C) $700$ litri

(D) $800$ litri

(E) $875$ litri

Risposta: A src_obm_2002_n2_f1__Q04

Pedro and João race; 2 João steps = 3 Pedro steps; João has 60-step head start; how many steps for Pedro to catch up

Two brothers, Pedro and João, decided to play a racing game. Since Pedro is older, every $2$ steps of João cover the same distance as $3$ steps of Pedro. To start the race, João is given a $60$ -step head start before Pedro begins. After how many steps does Pedro catch up with João?

(A) $90$ steps

(B) $120$ steps

(C) $150$ steps

(D) $180$ steps

(E) $200$ steps

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

*Pedro e João gara; 2 João passi = 3 Pedro passi; João ha un vantaggio di 60 passi; quanti passi per Pedro per raggiungere *

Due fratelli, Pedro e João, decisero di giocare a una gara. Poiché Pedro è più vecchio, ogni passo $2$ di João copre la stessa distanza di quello di Pedro. Per iniziare la gara, a João viene dato un vantaggio di $60$ -passaggio prima che inizi Pedro. Dopo quante tappe Pedro raggiunge João?

(A) passi $90$

(B) passi $120$

(C) passi $150$

(D) passi $180$

(E) passi $200$

Risposta: E src_obm_2002_n2_f1__Q05

Difference of squares of two consecutive integers is always equal to their sum

The difference between the squares of two consecutive positive integers is always:

(A) a prime number.

(B) a multiple of $4$ .

(C) equal to the sum of those two numbers.

(D) an even number.

(E) a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

La differenza dei quadrati di due numeri interi consecutivi è sempre pari alla loro somma

La differenza tra i quadrati di due numeri interi positivi consecutivi è sempre:

(A) un numero primo.

(B) un multiple di $4$ .

(C) pari alla somma di questi due numeri.

(D) un numero pari.

(E) un quadrato perfetto.

Risposta: C src_obm_2002_n2_f1__Q06

Marcelo walks to school; what fraction of path done when he spots magazine

Marcelo takes exactly $20$ minutes to walk from his house to school. One day, while walking, he noticed the magazine Eureka! had been delivered to his house; if he continued walking he would arrive at school $8$ minutes later than the time he usually leaves, and if he turned back to pick up the magazine at the same pace, he would arrive at school $10$ minutes late. What fraction of the path had Marcelo covered at that moment?

(A) $\frac{2}{5}$

(B) $\frac{9}{20}$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{2}{3}$

(E) $\frac{9}{10}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Marcelo va a scuola a piedi, che parte del percorso fa quando vede la rivista

Marcelo ci vuole esattamente $20$ minuti a piedi da casa sua alla scuola. Un giorno, mentre camminava, notò la rivista Eureka! Se continuava a camminare arrivava a scuola $8$ minuti dopo l’ora di partenza e se tornava a prendere la rivista allo stesso ritmo, arrivava a scuola $10$ minuti in ritardo. Quale frazione del sentiero aveva percorso Marcelo in quel momento?

(A) $\frac{2}{5}$

(B) $\frac{9}{20}$

(C) $\frac{1}{2}$

(D) $\frac{2}{3}$

(E) $\frac{9}{10}$

Risposta: B src_obm_2002_n2_f1__Q07

Write 1–9 in 3×3 grid so four-number propeller arm sums are equal and maximal

Write the integers from $1$ to $9$ in a $3 \times 3$ grid so that the sums of the four numbers along each arm of the ‘propeller’ (as illustrated) are equal and as large as possible. What is this maximum equal sum?

(A) $23$

(B) $22$

(C) $21$

(D) $20$

(E) $19$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Scrivere 19 in 3×3 griglia in modo che le somme dei bracci della elica a quattro numeri siano uguali e massime

Scrivere i numeri interi da $1$ a $9$ in una griglia $3 \times 3$ in modo che la somma dei quattro numeri lungo ogni braccio della “propeller” (come illustrato) sia uguale e il più grande possibile. Qual è la somma massima pari?

(A) $23$

(B) $22$

(C) $21$

(D) $20$

(E) $19$

Risposta: B src_obm_2002_n2_f1__Q08

Patrícia drives São Paulo–Rio; computes savings per person vs plane ticket

Patrícia lives in São Paulo and wants to visit Rio de Janeiro during a long holiday weekend. A round-trip plane ticket costs R $\$ 580.00 $, b u tP a t r \overset{ı}{ˊ} c ia p r e f er s t o t r a v e l b y c a r, w hi c h g e t so na v er a g e$ 12 $k m p er l i t r eo f f u e l . T h e f u e l p r i ce i s R$ $1.60 $p er l i t r e, an d P a t r \overset{ı}{ˊ} c ia es t ima t es R$ $48.00 $in r o a d t o l l s f or t h er o u n d t r i p (S \tilde{a} o P a u l o - R i o i s a pp r o x ima t e l y$ 450$ km one way). She intends to share all expenses equally with two friends. By taking her car instead of the plane, each person will:

(A) save R $\$ 20.00$.

(B) spend R $\$ 2.00$ more.

(C) save R $\$ 24.00$.

(D) spend the same as the bus option.

(E) save R $\$ 14.00$.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Patrícia guida São PauloRio; calcola i risparmi per persona contro il biglietto aereo

Patrícia vive a São Paulo e vuole visitare Rio de Janeiro durante un lungo fine settimana di vacanza. Un biglietto aereo di andata e ritorno costa R $\$ 580.00 $, b u tP a t r \overset{ı}{ˊ} c ia p r e f er s t o t r a v e l b y c a r, w hi c h g e t so na v er a g e$ 12 $k m p er l i t r eo f f u e l . T h e f u e l p r i ce i s R$ $1.60 $p er l i t r o, e P a t r \overset{ı}{ˊ} c ia s t ima R$ $48,00 $in r o a d t o l l s f or t h er o u n d t r i p (S \tilde{a} o P a u l o - R i o i s a pp r o x ima t e l y$ 450$ per chilometro in una direzione). Ha intenzione di dividere tutte le spese ugualmente con due amici. Prendendo la sua auto invece dell’aereo, ognuno di noi:

(A) risparmiare R $\$ 20,00$.

(B) Spendere R $\$ 2,00$ in più.

(C) risparmiare R $\$ 24,00$.

(D) spendere lo stesso che l’opzione dell’autobus.

(E) risparmiare R $\$ 14,00$.

Risposta: C src_obm_2002_n2_f1__Q09

Square divided into 4 congruent trapezoids rearranged into square with central hole; fraction of area removed

By drawing lines, a square can be divided into $4$ congruent trapezoids, as shown on the left. These $4$ trapezoids are rearranged to form a square with a square hole in the centre, as shown on the right. What fraction of the area of the original square is the area of the hole?

(A) $\frac{1}{9}$

(B) $\frac{2}{9}$

(C) $\frac{1}{4}$

(D) $\frac{1}{3}$

(E) $\frac{3}{8}$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Quadrato diviso in 4 trapezi congruenti riorganizzati in quadrato con buco centrale; frazione di superficie rimossa

Attraverso il disegno di linee, un quadrato può essere diviso in trapezoi congruenti $4$ , come mostrato a sinistra. Questi trapezi $4$ sono riorganizzati per formare un quadrato con un buco quadrato al centro, come mostrato a destra. Quale frazione della superficie del quadrato originale è la superficie del buco?

(A) $\frac{1}{9}$

(B) $\frac{2}{9}$

(C) $\frac{1}{4}$

(D) $\frac{1}{3}$

(E) $\frac{3}{8}$

Risposta: B src_obm_2002_n2_f1__Q10

Bar chart of company revenues; identify the true statement

The bar chart below shows the monthly revenue (in millions of reais) of companies $A$ and $B$ during the second semester of $2001$ .

Based on this chart, we can affirm that:

(A) There was a month in which company $A$ ‘s revenue was twice that of company $B$ .

(B) In the month of July, the difference in revenues was greater than in all other months.

(C) Company $B$ had a greater drop in revenue than company $A$ in two consecutive months.

(D) In the semester, the total revenue of $A$ was greater than that of $B$ .

(E) The difference between the total semester revenues did not exceed $20$ million reais.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Abilita: Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Grafica a barre dei ricavi dell’impresa; identificare la dichiarazione vera

Il grafico a barre di seguito mostra le entrate mensili (in milioni di reais) delle imprese $A$ e $B$ durante il secondo semestre di $2001$ .

Sulla base di questo grafico, possiamo affermare che:

(A) C’è stato un mese in cui le entrate della società $A$ erano il doppio di quelle della società $B$ .

(B) Nel mese di luglio la differenza di entrate è stata maggiore di tutte le altre.

(C) La società $B$ ha registrato un calo maggiore dei ricavi rispetto alla società $A$ nei due mesi consecutivi.

(D) Nel semestre, il fatturato totale di $A$ è stato superiore a quello di $B$ .

(E) La differenza tra le entrate totali del semestre non ha superato $20$ milioni di reais.

Risposta: D src_obm_2002_n2_f1__Q11

Product of one million natural numbers equals one million; find maximum sum

The product of one million natural numbers equals one million. What is the largest possible value of the sum of these numbers?

(A) $1, 000, 000$

(B) $1, 250, 002$

(C) $1, 501, 999$

(D) $1, 999, 999$

(E) $13, 999, 432$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

*Il prodotto di un milione di numeri naturali è uguale a un milione; trovare la somma massima *

Il prodotto di un milione di numeri naturali equivale a un milione. Qual è il valore più grande possibile della somma di questi numeri?

(A) $1, 000, 000$

(B) $1, 250, 002$

(C) $1, 501, 999$

(D) $1, 999, 999$

(E) $13, 999, 432$

Risposta: B src_obm_2002_n2_f1__Q12

Carwash promotion: two prices, total R$176; minimum number of customers

The carwash ‘Lave Bem’ runs a promotion: a simple wash costs R $\$ 5.00 $an d a co m pl e t e w a s h cos t s R$ $7.00 $. O n t h e d a y o f t h e p r o m o t i o n, t h e t o t a l r e v e n u e w a s R$ $176.00$. What is the minimum possible number of customers that were served?

(A) $23$

(B) $24$

(C) $26$

(D) $28$

(E) $30$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Promozione del lavaggio: due prezzi, totale di R$176; numero minimo di clienti

Il lavandino auto “Lave Bem” ha una promozione: un semplice lavandino costa R $\$ 5,00 $and a complete wash costs R$$7.00$ . Il giorno della promozione, il fatturato totale è stato di R $\$ 176,00$. Qual è il numero minimo possibile di clienti che sono stati serviti?

(A) $23$

(B) $24$

(C) $26$

(D) $28$

(E) $30$

Risposta: C src_obm_2002_n2_f1__Q13

Square divided into 4 congruent trapezoids; rearranged into square with central hole; area of hole

A square of side $1$ is divided into $4$ congruent right trapezoids, as shown on the left. The $4$ trapezoids are rearranged to form a square with a square hole in the centre, as shown on the right. The area of the hole equals:

(A) $\frac{1}{2}$

(B) $\frac{9}{16}$

(C) $\frac{16}{25}$

(D) $\frac{3}{4}$

(E) $1$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

Quadrato diviso in 4 trapezi congruenti; riorganizzato in quadrato con buco centrale; area di buco

Un quadrato di lato $1$ è diviso in trapeziodi di destra congruenti $4$ , come mostrato a sinistra. Le trapezie $4$ sono riorganizzate per formare un quadrato con un buco quadrato al centro, come mostrato a destra. La superficie del buco è uguale a:

(A) $\frac{1}{2}$

(B) $\frac{9}{16}$

(C) $\frac{16}{25}$

(D) $\frac{3}{4}$

(E) $1$

Risposta: B src_obm_2002_n2_f1__Q14

Count positive integers less than 900 that are multiples of 7 ending in digit 7

How many positive integers less than $900$ are multiples of $7$ and end in the digit $7$ ?

(A) $10$

(B) $11$

(C) $12$

(D) $13$

(E) $14$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Contare interi positivi inferiori a 900 che sono multipli di 7 che terminano con la cifra 7

Quanti numeri interi positivi inferiori a $900$ sono multipli di $7$ e terminano nella cifra $7$ ?

(A) $10$

(B) $11$

(C) $12$

(D) $13$

(E) $14$

Risposta: D src_obm_2002_n2_f1__Q15

Triangle with angles 80° and 40°; find acute angle between bisectors of A and B

In triangle $A B C$ with $A = 8 0^{\circ}$ and $C = 4 0^{\circ}$ , the measure of the acute angle formed by the bisectors of angles $A$ and $B$ is:

(A) $4 0^{\circ}$

(B) $6 0^{\circ}$

(C) $7 0^{\circ}$

(D) $8 0^{\circ}$

(E) $11 0^{\circ}$

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Triangolo con angoli 80° e 40°; trovare angolo acuto tra i bisettori di A e B

Nel triangolo $A B C$ con $A = 8 0^{\circ}$ e $C = 4 0^{\circ}$ , la misura dell’angolo acuto formato dai bisettori degli angoli $A$ e $B$ è:

(A) $4 0^{\circ}$

(B) $6 0^{\circ}$

(C) $7 0^{\circ}$

(D) $8 0^{\circ}$

(E) $11 0^{\circ}$

Risposta: C src_obm_2002_n2_f1__Q16

Triangle ABC on 30 cm square grid; find its area

In the square grid below with side length $30 cm$ , the area of triangle $A B C$ is:

(A) $150 cm^{2}$

(B) $100 cm^{2}$

(C) $75 cm^{2}$

(D) $50 cm^{2}$

(E) $25 cm^{2}$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Triangolo ABC su una griglia quadrata di 30 cm; trovare la sua superficie

Nella griglia quadrata di seguito con lunghezza laterale $30 cm$ , l’area del triangolo $A B C$ è:

(A) $150 cm^{2}$

(B) $100 cm^{2}$

(C) $75 cm^{2}$

(D) $50 cm^{2}$

(E) $25 cm^{2}$

Risposta: C src_obm_2002_n2_f1__Q17

Polygonal line AB with repeating staircase pattern; total length with 6 segments

The polygonal line $A B$ is drawn always maintaining the same repeating pattern shown in the figure. It has $6$ segments and its total length equals:

(A) $31$

(B) $88$

(C) $90$

(D) $97$

(E) $105$

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, skill_riconoscimento_pattern Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Linea poligonale AB con modello di scala ripetuta; lunghezza totale con 6 segmenti

La linea poligonale $A B$ viene disegnata mantenendo sempre lo stesso modello di ripetizione mostrato nella figura. Ha segmenti $6$ e la sua lunghezza totale è uguale a:

(A) $31$

(B) $88$

(C) $90$

(D) $97$

(E) $105$

Risposta: D src_obm_2002_n2_f1__Q18

Count occurrences of digit 5 in all integers from 100 to 999

When writing all the integers from $100$ to $999$ , how many times does the digit $5$ appear?

(A) $250$

(B) $270$

(C) $271$

(D) $280$

(E) $292$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Conteggio delle frequenze della cifra 5 in tutti i numeri interi da 100 a 999

Quando si scrivono tutti i numeri interi da $100$ a $999$ , quante volte appare la cifra $5$ ?

(A) $250$

(B) $270$

(C) $271$

(D) $280$

(E) $292$

Risposta: D src_obm_2002_n2_f1__Q19

Given xy=2 and x²+y²+x²y²=5, find x²/y²+2+y²/x²

If $x y = 2$ and $x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2} = 5$ , then $\frac{x ^{2}}{y ^{2}} + 2 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}$ equals:

(A) $\frac{5}{2}$

(B) $\frac{25}{4}$

(C) $\frac{5}{4}$

(D) $\frac{1}{4}$

(E) $1$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

Dato che xy=2 e x2+y2+x2y2=5, trovi x2/y2+2+y2/x2

Se $x y = 2$ e $x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2} = 5$ , allora $\frac{x ^{2}}{y ^{2}} + 2 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}$ è uguale a:

(A) $\frac{5}{2}$

(B) $\frac{25}{4}$

(C) $\frac{5}{4}$

(D) $\frac{1}{4}$

(E) $1$

Risposta: B src_obm_2002_n2_f1__Q20

School trip to zoo; two bus companies; find minimum number of children N to prefer company 2

A school wants to organize a trip to the zoo. There are two transport options: option 1 is to hire vans that hold up to $6$ children each at R $\$ 60.00 $p er v an; o pt i o n 2 i s t o hi r e ab u sco m p an y w i t hb u ses h o l d in g u pt o$ 48 $c hi l d r e n e a c h, c ha r g in g R$ $237.00 $pl u s R$ $120.00 $p er b u s u se d . T h esc h oo l s h o u l d p r e f er t h eo pt i o n t ha t u ses b u ses w h e n t h e n u mb er o f c hi l d r e n$ N $i ss u c h t ha t u s in g b u ses i sc h e a p er t han u s in g v an s (a ss u min g n o f e w er t han$ 5 $v an s w o u l d o t h er w i se b e n ee d e d) . T h e v a l u eo f$ N$ is:

(A) $28$

(B) $31$

(C) $32$

(D) $33$

(E) $36$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

Viaggio scolastico allo zoo; due compagnie di autobus; trovare il numero minimo di bambini N per preferire la compagnia 2

Una scuola vuole organizzare un viaggio allo zoo. Esistono due opzioni di trasporto: l’opzione 1 è quella di noleggiare furgoni che possono contenere fino a $6$ bambini a R $\$ 60.00 $p er v an; o pt i o n 2 i s t o hi r e ab u sco m p an y w i t hb u ses h o l d in g u pt o$ 48 $c hi l d r e n e a c h, c ha r g in g R$ $237.00 $p i \overset{u}{ˋ} R$ $120.00 $p er b u s u se d . T h esc h oo l s h o u l d p r e f er t h eo pt i o n t ha t u ses b u ses w h e n t h e n u mb er o f c hi l d r e n$ N $i ss u c h t ha t u s in g b u ses i sc h e a p er t han u s in g v an s (a ss u min g n o f e w er t han$ 5 $v an s w o u l d o t h er w i se b e n ee d e d) . T h e v a l u eo f$ N$ è:

(A) $28$

(B) $31$

(C) $32$

(D) $33$

(E) $36$

Risposta: B src_obm_2002_n2_f1__Q21

Alice grows and shrinks successively; net height change after four steps

During a trip to the country of Wonders, Alice experienced the following four changes in succession: first, she grew $25%$ taller; next, she became $10%$ shorter; then she became $10%$ taller; finally, she became $25%$ shorter. After all four changes, we can say that Alice:

(A) was $1%$ taller.

(B) was $1%$ taller.

(C) was $1%$ shorter.

(D) was $5%$ shorter.

(E) was $5%$ taller.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Alice cresce e si riduce successivamente; variazione netta di altezza dopo quattro passi

Durante un viaggio nel paese delle meraviglie, Alice ha sperimentato i seguenti quattro cambiamenti in successione: prima, è diventata $25%$ più alta; successivamente, è diventata $10%$ più corta; poi è diventata $10%$ più alta; infine, è diventata $25%$ più corta. Dopo i quattro cambiamenti, possiamo dire che Alice:

(A) era più alto di $1%$ .

(B) era più alto di $1%$ .

(C) è stato $1%$ più breve.

(D) è stato $5%$ più breve.

(E) era più alto di $5%$ .

Risposta: C src_obm_2002_n2_f1__Q22

False proof that 4>4 using square roots; identify step with the error

Consider the following argument which purports to prove that $4 > 4$ . Choose $a = b$ with $a > 4$ .

Subtract $4$ from both sides of $a = b$ : $a - 4 = b - 4$

Factor $- 1$ on the right-hand side: $a - 4 = - 1 \cdot (- b + 4) = - (b - 4)$

Square both sides: $(a - 4)^{2} = [- (b - 4)]^{2} = (4 - b)^{2}$

Take the square root of both sides: $(a - 4)^{2} = (4 - b)^{2}$

Since $a = b$ , substitute $b$ for $a$ : $a - 4 = 4 - a$

Solve the equation: $2 a = 8 ⟹ a = 4$

Since we chose $a > 4$ , we reach the absurd conclusion $4 > 4$ . Where is the error?

(A) In step 2.

(B) In step 3.

(C) In step 4.

(D) In step 5.

(E) In step 6.

Topic: Algebra, Logica Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Falsa prova che 4>4 utilizzando radici quadrate; identificare il passo con l’errore

Considerate il seguente argomento che pretende di dimostrare che $4 > 4$ . Selezionare $a = b$ con $a > 4$ .

Sottoprendere $4$ da entrambe le parti di $a = b$ : $a - 4 = b - 4$ 2) Il fattore $- 1$ sul lato destro: $a - 4 = - 1 \cdot (- b + 4) = - (b - 4)$ 3) Quadratare entrambe le parti: $(a - 4)^{2} = [- (b - 4)]^{2} = (4 - b)^{2}$ 4) Prendere la radice quadrata di entrambe le parti: $(a - 4)^{2} = (4 - b)^{2}$ 5) Dal momento che $a = b$ , sostituire $b$ con $a$ : $a - 4 = 4 - a$ 6) Risolvere l’equazione: $2 a = 8 ⟹ a = 4$

Dal momento che abbiamo scelto $a > 4$ , arriviamo alla conclusione assurda $4 > 4$ . Dov’è l’errore?

(A) Nel secondo passo.

(B) In fase 3.

(C) Nel passaggio 4.

(D) Nel passo 5.

(E) In fase 6.

Risposta: C src_obm_2002_n2_f1__Q23

Self-referential: total number of letters in all wrong answers to this question

What is the total number of letters in all the wrong answers to this question?

(A) Forty-eight.

(B) Forty-nine.

(C) Fifty.

(D) Fifty-one.

(E) Fifty-four.

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Lettura attenta, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Autoreferenziale: numero totale di lettere in tutte le risposte errate a questa domanda

Qual è il numero totale di lettere in tutte le risposte sbagliate a questa domanda?

(A) Quarantotto anni.

(B) Quaranta-neuve.

(C) - Cinquanta.

(D) Cinquanta uno.

(E) Cinquantaquattro.

Risposta: D src_obm_2002_n2_f1__Q24

Remainder when sqrt(1111111111 - 22222) is divided by 9

The remainder of the division by $9$ of $1111111111 - 22222$ is:

(A) $0$

(B) $1$

(C) $3$

(D) $6$

(E) $8$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Restante quando sqrt(11111111 - 22222) è diviso per 9

Il resto della divisione per $9$ di $1111111111 - 22222$ è:

(A) $0$

(B) $1$

(C) $3$

(D) $6$

(E) $8$

Risposta: D src_obm_2002_n2_f1__Q25

competition	Olimpíada Brasileira de Matemática 2002 — Nível 2 — Fase 1
year	2002
level	OBM Nível 2

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Olimpíada Brasileira de Matemática 2002 — Nível 2 — Fase 1

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