Olimpíada Brasileira de Matemática 2002 — Nível 2 — Fase 3

Area of triangle obtained by reflecting each vertex of a right triangle across the opposite side

In the drawing alongside, the line $t$ is perpendicular to the segment $AB$ and passes through its midpoint $M$. We say that $A$ is the reflection of $B$ with respect to the line $t$ (or with respect to the segment $PQ$).

Let $XYZ$ be a right triangle of area $1{\mathrm{m}}^2$. Consider the triangle $X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$ such that $X^{\prime }$ is the reflection of $X$ with respect to the side $YZ$, $Y^{\prime }$ is the reflection of $Y$ with respect to the side $XZ$, and $Z^{\prime }$ is the reflection of $Z$ with respect to the side $XY$.

Compute the area of the triangle $X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Area di triangolo ottenuta riflettendo ogni vertice di un triangolo rettangolo sul lato opposto

Nel disegno laterale, la linea $t$ è perpendicolare al segmento $AB$ e passa attraverso il suo punto medio $M$. Diciamo che $A$ è il riflesso di $B$ rispetto alla linea $t$ (o rispetto al segmento $PQ$).

Il $XYZ$ deve essere un triangolo rettangolo di superficie $1{\mathrm{m}}^2$. Considera il triangolo $X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$ tale che $X^{\prime }$ sia il riflesso di $X$ rispetto al lato $YZ$, $Y^{\prime }$ sia il riflesso di $Y$ rispetto al lato $XZ$ e $Z^{\prime }$ sia il riflesso di $Z$ rispetto al lato $XY$.

Calcolare l’area del triangolo $X^{\prime }{Y}^{\prime }{Z}^{\prime }$.

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Among eighteen consecutive three-digit integers one is divisible by its digit sum

Show that, among eighteen consecutive three-digit integers, there always exists one that is divisible by the sum of its digits.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Tra diciotto numeri interi a tre cifre consecutive uno è divisibile dalla sua somma di cifre

Mostrate che, tra diciotto numeri interi a tre cifre consecutive, esiste sempre uno che è divisibile dalla somma delle sue cifre.

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Matchstick game on an m x n board; first to complete a unit square wins; determine the player with a winning strategy

You are given a checkered $m\times n$ board and matchsticks of the size of the sides of the cells. Two players play alternately and, on each move, one of the players places a matchstick on a side of a cell of the board, it being forbidden to overlap matchsticks.

The player who first manages to complete a $1\times 1$ square of matchsticks wins. Assuming that neither player makes mistakes, which of the two players has the winning strategy, that is, can win independently of how their opponent plays?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Modellizzazione, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di matchstick su una tavola m x n; prima di completare una vittoria quadrata unità; determinare il giocatore con una strategia vincente

Vi viene fornita una lavagna a scacchi $m\times n$ e bastoni di fiammifero della dimensione dei lati delle celle. Due giocatori giocano alternativamente e, ad ogni mossa, uno dei giocatori mette un fiammifero su un lato di una cella della tavola, essendo vietato sovrapporre i fiammiferi.

Il giocatore che per primo riesce a completare un quadrato $1\times 1$ di fiammiferi vince. Supponendo che nessuno dei due giocatori commetta errori, quale dei due giocatori ha la strategia vincente, cioè può vincere indipendentemente dal modo in cui il suo avversario gioca?

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Combine three two-component mixtures to obtain a target three-component ratio

One mixture has the components $A$ and $B$ in the ratio $3:5$, a second mixture has the components $B$ and $C$ in the ratio $1:2$, and a third mixture has the components $A$ and $C$ in the ratio $2:3$. In what ratio must we combine the 1st, 2nd and 3rd mixtures so that the components $A$, $B$ and $C$ appear in the ratio $3:5:2$?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Combinazione di tre miscele a due componenti per ottenere un rapporto di tre componenti obiettivo

Una miscela ha i componenti $A$ e $B$ nel rapporto $3:5$, una seconda miscela ha i componenti $B$ e $C$ nel rapporto $1:2$, e una terza miscela ha i componenti $A$ e $C$ nel rapporto $2:3$. In quale rapporto dobbiamo combinare la prima, la seconda e la terza miscela in modo che i componenti $A$, $B$ e $C$ appaiano nel rapporto $3:5:2$?

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Triangle inscribed in a circle; perpendiculars from P on arc AB to BO and AO; prove an isosceles triangle and a product relation

Let $ABC$ be a triangle inscribed in a circle with center $O$, and let $P$ be a point on the arc $AB$ that does not contain $C$. The perpendicular drawn from $P$ to the line $BO$ intersects $AB$ at $S$ and $BC$ at $T$. The perpendicular drawn from $P$ to $AO$ intersects $AB$ at $Q$ and $AC$ at $R$.

Prove the following two statements:

a) $PQS$ is an isosceles triangle.

b) $P{Q}^2=QR\cdot ST$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo inciso in un cerchio; perpendicolari da P su arco AB a BO e AO; dimostrare un triangolo a uguali stelle e una relazione di prodotto

Il $ABC$ deve essere un triangolo inserito in un cerchio con il centro $O$ e il $P$ deve essere un punto dell’arco $AB$ che non contiene $C$. La perpendicolare tracciata da $P$ alla linea $BO$ incrocia $AB$ a $S$ e $BC$ a $T$. La perpendicolare tracciata da $P$ a $AO$ incrocia $AB$ a $Q$ e $AC$ a $R$.

Provare le seguenti due affermazioni:

a) $PQS$ è un triangolo di uguali dimensioni.

b) $P{Q}^2=QR\cdot ST$.

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Euler totient phi: prove that for every m there exists n with phi(n) = m!

Let $n$ be a positive integer. We define $\phi (n)=\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdot \dots \cdot \left(1-\frac{1}{p_k}\right)\cdot n$, where $p_1,p_2,\dots ,p_k$ are the distinct prime factors of $n$. Prove that for every $m\ge 1$, there exists $n$ such that $\phi (n)=m!$.

Note: $m!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot m$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Euler totient phi: dimostrare che per ogni m esiste n con phi(n) = m!

$n$ sia un numero intero positivo. Definitiamo $\phi (n)=\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\cdot \left(1-\frac{1}{p_2}\right)\cdot \dots \cdot \left(1-\frac{1}{p_k}\right)\cdot n$, dove $p_1,p_2,\dots ,p_k$ sono i fattori primi distinti di $n$. Prova che per ogni $m\ge 1$ esiste $n$ tale che $\phi (n)=m!$.

Nota: $m!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot m$.

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