Olimpíada Brasileira de Matemática 2002 — Nível 3 — Fase 1

Reading a bar chart of monthly billing of companies A and B in the second half of 2001

The graph below shows the monthly billing (in millions of reais) of companies A and B during the second half of 2001. Based on this graph, we can state that:

• (A) In no month was company A’s billing double the billing of company B.
• (B) In the month of July, the difference between the billings was greater than in the other months.
• (C) Company B was the one that suffered the greatest drop in billing between two consecutive months (100 million between the months of August and September).
• (D) In no semester (six-month period) was company B’s total billing greater than company A’s.
• (E) The difference between the total billings of the semester exceeded 20 million reais.

Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

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Leggizione di un grafico a barre della fatturazione mensile delle società A e B nella seconda metà del 2001

Il grafico seguente mostra la fatturazione mensile (in milioni di reais) delle società A e B durante la seconda metà del 2001. Sulla base di questo grafico, possiamo affermare che:

• (A) In nessun mese la fatturazione della compagnia A era doppia della fatturazione della compagnia B.
• (B) Nel mese di luglio la differenza tra le fatturazioni era maggiore rispetto agli altri mesi.
• (C) La Società B ha subito il calo più elevato di fatturazione tra due mesi consecutivi (100 milioni tra i mesi di agosto e settembre).
• (D) In nessun semestre (periodo di sei mesi) la fatturazione totale della società B è stata superiore a quella della società A.
• (E) La differenza tra le fatturazioni totali del semestre ha superato i 20 milioni di reais.

Risposta: D src_obm_2002_n3_f1__Q01

Find p+q for the irreducible fraction equal to a repeating-decimal ratio plus 2

If $\frac{p}{q}$ is the irreducible fraction equivalent to $\frac{6,888\dots }{2,444\dots }+2$, the value of $p+q$ is equal to: (A) 38 (B) 39 (C) 40 (D) 41 (E) 42

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

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Ricerca p+q per la frazione irriducibile uguale a un rapporto decimale ripetitivo più 2

Se $\frac{p}{q}$ è la frazione irriducibile equivalente a $\frac{6,888\dots }{2,444\dots }+2$, il valore di $p+q$ è uguale a: (A) 38 (B) 39 (C) 40 (D) 41 (E) 42

Risposta: E src_obm_2002_n3_f1__Q02

A merchant sells two articles and computes total gain given percentage profit and loss

A merchant buys two articles for a total of R$ 27.000,00. He sold the first one at a profit of $10\%$ and the second one at a loss of $5\%$. The total gain was R$ 750,00. The two purchase prices were, respectively:

• (A) R$ 10.000,00 and R$ 17.000,00
• (B) R$ 13.000,00 and R$ 14.000,00
• (C) R$ 14.000,00 and R$ 13.000,00
• (D) R$ 15.000,00 and R$ 12.000,00
• (E) R$ 18.000,00 and R$ 9.000,00

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

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Un commerciante vende due articoli e calcola il guadagno totale dato il profitto e la perdita percentuali

Un commerciante acquista due articoli per un totale di R$ 27.000,00. He sold the first one at a profit of $10\%$ and the second one at a loss of $5\%$. The total gain was R$ 750,00. I due prezzi di acquisto erano rispettivamente:

• (A) R$ 10.000,00 and R$ 17.000,00
• (B) R$ 13.000,00 and R$ 14.000,00
• (C) R$ 14.000,00 and R$ 13.000,00
• (D) R$ 15.000,00 and R$ 12.000,00
• (E) R$ 18.000,00 and R$ 9.000,00

Risposta: C src_obm_2002_n3_f1__Q03

Match water-level vs time graphs to vessels of different shapes being filled at constant rate

Next we see four vessels into which Angela will pour water, from a tap whose flow rate is constant. The graphs A and B below represent the water level (vertical axis) in two of the vessels, according to time (horizontal axis). Which of the vessels corresponds to graph A and which to graph B, respectively? (A) 3 and 4 (B) 2 and 4 (C) 1 and 3 (D) 2 and 3 (E) 1 and 4

Topic: Geometria solida, Insiemi e funzioni Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Concorre tra il livello dell’acqua e i grafici temporali dei vasi di diverse forme che vengono riempiti a velocità costante

Successivamente vediamo quattro vasi in cui Angela verserà acqua, da un rubinetto il cui flusso è costante. I grafici A e B di seguito rappresentano il livello dell’acqua (asse verticale) in due dei vasi, secondo il tempo (asse orizzontale). Quale delle navi corrisponde rispettivamente al grafico A e quale al grafico B? A) 3 e 4 B) 2 e 4 C) 1 e 3 D) 2 e 3 E) 1 e 4

Risposta: B src_obm_2002_n3_f1__Q04

Choosing cheapest transport for a school trip: rented vans vs hired buses, find minimum N children

A school is going to organize an outing to the zoo. There are two transport options. The first option is to rent “vans”: each van can carry up to 6 children and the rental of each van costs R$ 60,00. The second option is to hire a company that provides buses with a capacity of 48 children and charges R$ 237,00 per bus plus R$ 120,00 for the trip; this option is used regardless of the number of children. For which minimum number N of children is it more advantageous to use the buses for the outing? The value of N is: (A) 28 (B) 31 (C) 32 (D) 33 (E) 36

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Scegliere il trasporto più economico per un viaggio scolastico: furgoni noleggiati contro autobus noleggiati, trovare un minimo di N bambini

Una scuola organizzerà una gita allo zoo. Ci sono due opzioni di trasporto. La prima opzione è quella di noleggiare “van”: ogni van può trasportare fino a 6 bambini e il noleggio di ogni van costa R$ 60,00. The second option is to hire a company that provides buses with a capacity of 48 children and charges R$ 237,00 per autobus più R$ 120,00 per il viaggio; questa opzione è utilizzata indipendentemente dal numero di bambini. Per quale numero minimo di bambini N è più vantaggioso utilizzare gli autobus per la gita? Il valore di N è: (A) 28 (B) 31 (C) 32 (D) 33 (E) 36

Risposta: B src_obm_2002_n3_f1__Q05

Alice undergoes four successive percentage height changes; find net effect

During her trip to the land of the Marvels, Alice underwent four successive changes in height, in the following way: first she took a sip from a bottle on which there was a sticker with the message “drink me, I am 50% lower”, then she took a sip from another bottle whose label was stamped with the message “drink me a sip 50% taller”. Finally, she ate a piece of one tart on which it was written “eat me, piece of tart 20% taller”, and a piece of yet another tart whose label said “taste me, piece of tart 20% lower”. After Alice’s trip, we can state that she:

• (A) ended up 1% lower
• (B) ended up 1% taller
• (C) ended up 5% lower
• (D) ended up 5% taller
• (E) ended up 10% lower

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

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*Alice subisce quattro successive variazioni percentuali di altezza; trova effetto netto *

Durante il suo viaggio nella terra delle meraviglie, Alice subì quattro successivi cambiamenti di altezza, nel seguente modo: prima prese un sorso da una bottiglia sulla quale c’era un adesivo con il messaggio “bevi me, sono 50% in basso”, poi prese un sorso da un’altra bottiglia la cui etichetta era stampata con il messaggio “bevi me un sorso 50% più alto”. Infine, ha mangiato un pezzo di una tart sulla quale c’era scritto “mangimi, pezzo di tart 20% più alto”, e un altro pezzo di tart la cui etichetta diceva “saggiami, pezzo di tart 20% in basso”. Dopo il viaggio di Alice, possiamo affermare che lei:

• (A) E’ diminuito dell’1%
• (B) E’ diventato più alto dell’1%
• (C) E’ diminuito del 5%.
• (D) E’ diventato più alto del 5%.
• (E) Finì per un 10% in meno

Risposta: A src_obm_2002_n3_f1__Q06

Marcelo’s walk to school; fraction of path covered when he turns back, given timing

Marcelo takes exactly 20 minutes to go from his house to school. One day, while walking, he realized he had forgotten a comic book to show to a classmate; he went back home and went out again, arriving at school 8 minutes after the time he would normally have arrived, that is, 10 minutes late. What fraction of the path had he already walked when he turned back? (A) $\frac{2}{5}$ (B) $\frac{9}{20}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{2}{3}$ (E) $\frac{9}{10}$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Marcelo va a scuola a piedi; frazione del percorso percorso quando si riversa, data la tempistica

Marcelo ci vuole esattamente 20 minuti per andare da casa a scuola. Un giorno, mentre camminava, si rese conto di aver dimenticato un fumetto da mostrare a un compagno di classe; tornò a casa e uscì di nuovo, arrivando a scuola 8 minuti dopo l’orario in cui sarebbe normalmente arrivato, cioè 10 minuti in ritardo. Quale frazione del sentiero aveva già camminato quando si è voltato? (A) $\frac{2}{5}$ (B) $\frac{9}{20}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{2}{3}$ (E) $\frac{9}{10}$

Risposta: B src_obm_2002_n3_f1__Q07

Total length of a self-similar zigzag polygonal line AB keeping the same pattern

The polygonal line $AB$ is drawn keeping always the same pattern shown in the figure. Its total length is equal to: (A) 31 (B) 88 (C) 90 (D) 97 (E) 105

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Lunghezza totale di una linea poligonale in zigzag simile a sé AB mantenendo lo stesso schema

La linea poligonale $AB$ viene disegnata mantenendo sempre lo stesso modello mostrato nella figura. La sua lunghezza totale è pari a: (A) 31 (B) 88 (C) 90 (D) 97 (E) 105

Risposta: D src_obm_2002_n3_f1__Q08

A square is cut into two squares, four trapezoids and two triangles; an octagon is reassembled, find fraction of area eliminated

By drawing line segments, we can divide a square into two congruent squares, four congruent trapezoids and two congruent triangles, as indicated in the drawing below, on the left. Eliminating some of these parts, we can assemble the octagon represented on the right. What fraction of the area of the square was eliminated?

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

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Un quadrato è tagliato in due quadrati, quattro trapezoi e due triangoli; un ottagono è riassemblato, trovare una frazione di superficie eliminata

Tracciando segmenti di linea, possiamo dividere un quadrato in due quadrati congruenti, quattro trapeziosi congruenti e due triangoli congruenti, come indicato nel disegno di seguito, a sinistra. Eliminando alcune di queste parti, possiamo assemblare l’ottagono rappresentato a destra. Quale frazione della superficie della piazza è stata eliminata?

Risposta: B src_obm_2002_n3_f1__Q09

Given xy=2 and x^2+y^2=5, evaluate x^2/y^2 + y^2/x^2 + 2

If $xy=2$ and $x^2+y^2=5$, then $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2$ is equal to: (A) $\frac{5}{2}$ (B) $\frac{25}{4}$ (C) $\frac{5}{4}$ (D) $\frac{1}{2}$ (E) 1

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Dato che xy=2 e x^2+y^2=5, valutare x^2/y^2 + y^2/x^2 + 2

Se $xy=2$ e $x^2+y^2=5$, allora $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2$ è uguale a: (A) $\frac{5}{2}$ (B) $\frac{25}{4}$ (C) $\frac{5}{4}$ (D) $\frac{1}{2}$ (E) 1

Risposta: B src_obm_2002_n3_f1__Q10

Group of doctors and lawyers: deduce relation from given arithmetic means of ages

The arithmetic mean of the ages of a group of doctors and lawyers is 40 years. The arithmetic mean of the ages of the doctors is 35 years and that of the lawyers is 50 years. We can then state:

• (A) The number of lawyers is double the number of doctors in the group.
• (B) The number of doctors is double the number of lawyers in the group.
• (C) There are 2 more doctors than lawyers in the group.
• (D) There are 2 more lawyers than doctors in the group.
• (E) There are equal quantities of doctors and lawyers in the group.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Gruppo di medici e avvocati: dedurre la relazione da un determinato mezzo aritmetico di età

La media aritmetica dell’età di un gruppo di medici e avvocati è di 40 anni. La media aritmetica dell’età dei medici è di 35 anni e quella degli avvocati di 50 anni. Possiamo quindi affermare:

• (A) Il numero di avvocati è il doppio del numero di medici del gruppo.
• (B) Il numero dei medici è il doppio del numero degli avvocati del gruppo.
• (C) Ci sono due più medici che avvocati nel gruppo.
• (D) Ci sono due avvocati in più dei medici nel gruppo.
• (E) Nel gruppo ci sono medesimi medici e avvocati.

Risposta: B src_obm_2002_n3_f1__Q11

System of three reciprocal-sum equations; find value of x+3y+2z

The values of $x$, $y$ and $z$ that satisfy the equations $x+\frac{1}{y}=5$, $y+\frac{1}{z}=1$ and $z+\frac{1}{x}=2$ are such that $x+3y+2z$ is equal to: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

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Sistema di tre equazioni di somma reciproca; trovare il valore di x+3y+2z

I valori di $x$, $y$ e $z$ che soddisfano le equazioni $x+\frac{1}{y}=5$, $y+\frac{1}{z}=1$ e $z+\frac{1}{x}=2$ sono tali che $x+3y+2z$ è uguale a: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Risposta: B src_obm_2002_n3_f1__Q12

Spotting the flaw in a fallacious proof that 4 > 4 starting from a > 4

We are going to prove that 4 is greater than 4. Let $a$ and $b$ be two numbers such that $a>4$ and $a=b$.

1. We subtract 4 from the two terms of this equation: $a=b$, so $a-4=b-4$.
2. We put $-1$ in evidence in the second member of the equation: $a-4=-1(-b+4)$, so $a-4=-1(4-b)$.
3. We raise both terms of the equation to the square: $(a-4{)}^2=[-1\cdot (4-b){]}^2$, so $(a-4{)}^2=(-1{)}^2(4-b{)}^2$, hence $(a-4{)}^2=1\cdot (4-b{)}^2$, that is $(a-4{)}^2=(4-b{)}^2$.
4. We extract the square root of the two members of the equation: $\sqrt{(a-4{)}^2}=\sqrt{(4-b{)}^2}$, so $a-4=4-b$.
5. Since $a=b$, we substitute $b$ for $a$: $a-4=4-a$.
6. We solve the equation: $a-4=4-a$, so $2a=8$, hence $a=4$. Having chosen $a$ such that $a>4$, we arrive at the unbelievable conclusion that $4>4$. Where is the error in the reasoning above? (A) In step 2. (B) In step 3. (C) In step 4. (D) In step 5. (E) In step 6.

Topic: Algebra, Logica Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

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Riconoscere il difetto in una prova erronea che 4 > 4 partendo da un > 4

Dovremo dimostrare che 4 è più grande di 4. $a$ e $b$ siano due numeri come $a>4$ e $a=b$. 1) Sottrazioniamo 4 dai due termini di questa equazione: $a=b$, quindi $a-4=b-4$. 2) Abbiamo messo $-1$ in prova nel secondo membro dell’equazione: $a-4=-1(-b+4)$, quindi $a-4=-1(4-b)$. 3) Si sollevano entrambi i termini dell’equazione al quadrato: $(a-4{)}^2=[-1\cdot (4-b){]}^2$, quindi $(a-4{)}^2=(-1{)}^2(4-b{)}^2$, quindi $(a-4{)}^2=1\cdot (4-b{)}^2$, cioè $(a-4{)}^2=(4-b{)}^2$. 4) Essi estrae la radice quadrata dei due membri dell’equazione: $\sqrt{(a-4{)}^2}=\sqrt{(4-b{)}^2}$, quindi $a-4=4-b$. 5) Dato che $a=b$, sostituiremo $b$ con $a$: $a-4=4-a$. 6) Risolviamo l’equazione: $a-4=4-a$, quindi $2a=8$, quindi $a=4$. Dopo aver scelto $a$ in modo tale che $a>4$, arriviamo alla conclusione incredibile che $4>4$. Dov’è l’errore nel ragionamento di cui sopra? (A) Al secondo passo. (B) Al passo 3. (C) Nel passaggio 4. (D) Al passo 5. (E) Al passo 6.

Risposta: C src_obm_2002_n3_f1__Q13

Count the total number of letters of the incorrect answers across all questions of this test

What is the total quantity of letters of the answers (alternatives) that are incorrect responses of this very test? (A) Forty-eight. (B) Forty-nine. (C) Fifty. (D) Fifty-one. (E) Fifty-two.

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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Contare il numero totale di lettere delle risposte errate su tutte le domande di questa prova

Qual è il numero totale di lettere delle risposte (alternative) che sono risposte errate di questo test? (A) Quarantotto. (B) Quaranta-neuve. (C) Cinquanta. (D) Cinquanta uno. E) Cinquanta due.

Risposta: D src_obm_2002_n3_f1__Q14

Divisibility claims about x^3+y^3+z^3 given that x+y+z=0

Let $x$, $y$, $z$ be integers such that $x+y+z=0$. About $x^3+y^3+z^3$ the following statements are made: i) It is necessarily a multiple of 2. ii) It is necessarily a multiple of 3. iii) It is necessarily a multiple of 5. We can state that:

• (A) only i) is correct.
• (B) only ii) is correct.
• (C) only i) and ii) are correct.
• (D) only i) and iii) are correct.
• (E) i), ii) and iii) are correct.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

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Divisibilità delle affermazioni su x^3+y^3+z^3 dato che x+y+z=0

Se il numero $x$, $y$, $z$ è un numero intero tale che $x+y+z=0$. A proposito di $x^3+y^3+z^3$ si fanno le seguenti affermazioni: i) È necessariamente un multiple di 2. ii) È necessariamente un multiple di 3. iii) È necessariamente un multiple di 5. Possiamo affermare che:

• (A) Solo i) è corretto.
• (B) solo ii) è corretta.
• (C) Solo i) e ii) sono corretti.
• (D) Solo i) e iii) sono corretti.
• (E) i), ii) e iii) sono corrette.

Risposta: D src_obm_2002_n3_f1__Q15

Functional equation f(x)+2 f(2002/x)=3x for x>0; find f(2)

Let $f$ be a real function of a real variable that satisfies the condition $f(x)+2f\left(\frac{2002}{x}\right)=3x$ for $x>0$. The value of $f(2)$ is equal to: (A) 1000 (B) 2000 (C) 3000 (D) 4000 (E) 6000

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

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Equazione funzionale f(x) +2 f(2002/x)=3x per x>0; trovare f(2)

Let $f$ essere una funzione reale di una variabile reale che soddisfa la condizione $f(x)+2f\left(\frac{2002}{x}\right)=3x$ per $x>0$. Il valore di $f(2)$ è uguale a: (A) 1000 (B) 2000 (C) 3000 (D) 4000 (E) 6000

Risposta: C src_obm_2002_n3_f1__Q16

Remainder when 9 divides sqrt(1111111111 - 22222)

The remainder of the division of 9 by $\sqrt{1111111111-22222}$ is: (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 6 (E) 8

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

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*Restante quando 9 divide sqrt(1111111111 - 22222) *

Il resto della divisione di 9 per $\sqrt{1111111111-22222}$ è: (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 6 (E) 8

Risposta: D src_obm_2002_n3_f1__Q17

Circle with AB=6, BC=2, AC a diameter, angles ABD and CBD equal; find BD

In the circle below, we have that $AB=6$, $BC=2$, $AC$ is a diameter and the angles $A\hat{B}D$ and $C\hat{B}D$ are equal. What is the value of $BD$? (A) $2\sqrt{3}+1$ (B) $\frac{9}{\sqrt{5}}$ (C) $3\sqrt{2}$ (D) $2+\sqrt{5}$ (E) 4

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

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Circolo con AB=6, BC=2, AC di diametro, angoli ABD e CBD uguali; trovare BD

Nel cerchio di sotto, abbiamo che $AB=6$, $BC=2$, $AC$ è un diametro e gli angoli $A\hat{B}D$ e $C\hat{B}D$ sono uguali. Qual è il valore di $BD$? (A) $2\sqrt{3}+1$ (B) $\frac{9}{\sqrt{5}}$ (C) $3\sqrt{2}$ (D) $2+\sqrt{5}$ (E) 4

Risposta: D src_obm_2002_n3_f1__Q18

alpha is the largest root of x^2+x-1=0; find alpha^3

Let $\alpha$ be the largest root of $x^2+x-1=0$. The value of ${\alpha }^3$ is: (A) $-1$ (B) $-2$ (C) $-3$ (D) 1 (E) 2

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

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alfa è la radice più grande di x^2+x-1=0; trovare alpha^3

$\alpha$ sia la radice più grande di $x^2+x-1=0$. Il valore di ${\alpha }^3$ è: (A) $-1$ (B) $-2$ (C) $-3$ (D) 1 (E) 2

Risposta: C src_obm_2002_n3_f1__Q19

Units digit of a power tower of 7 with 2002 sevens

What is the units digit of $7^{7^{7^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^7}}}}}$, where there appear 2002 sevens? (A) 7 (B) 9 (C) 3 (D) 1 (E) 5

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

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Unita’ di una torre elettrica di 7 con sette del 2002

Qual è la cifra di unità di $7^{7^{7^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^7}}}}}$, dove appaiono sette del 2002? (A) 7 (B) 9 (C) 3 (D) 1 (E) 5

Risposta: C src_obm_2002_n3_f1__Q20

Trapezoid ABCD of area 1, BC=half of AD, K midpoint of AC, DK meets AB at L; area of quadrilateral BCKL

In a trapezoid $ABCD$ of area 1, the base $BC$ measures half of the base $AD$. Let $K$ be the midpoint of the diagonal $AC$. The line $DK$ cuts the side $AB$ at the point $L$. The area of the quadrilateral $BCKL$ is equal to: (A) $\frac{3}{4}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{2}{9}$ (E) $\frac{1}{9}$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

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ABCD trapezoide della zona 1, BC=metà di AD, K punto medio di AC, DK incontra AB a L; area di BCKL quadrilaterale

In un trapezoide $ABCD$ della zona 1, la base $BC$ misura la metà della base $AD$. Il punto medio della diagonale $AC$ è $K$. La linea $DK$ taglia il lato $AB$ al punto $L$. La superficie del quadrilaterale $BCKL$ è uguale a: (A) $\frac{3}{4}$ (B) $\frac{2}{3}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{2}{9}$ (E) $\frac{1}{9}$

Risposta: D src_obm_2002_n3_f1__Q21

N is a positive integer with all distinct digits, first is 0, last unknown, multiple of 198; find units digit of N/198

$N=05399840$ is a positive integer with all distinct digits, the first being 0 and the last unknown. Knowing that $N$ is a multiple of 198, find the units digit of $N/198$. (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

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N è un numero intero positivo con tutti i numeri distinti, primo è 0, ultimo sconosciuto, multiplo di 198; trova la cifra unità di N/198

$N=05399840$ è un intero positivo con tutte le cifre distinte, la prima essendo 0 e l’ultima sconosciuta. Sapendo che $N$ è un multiple di 198, trovare la cifra unità di $N/198$. (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

Risposta: C src_obm_2002_n3_f1__Q22

Martian domino: pieces have 3 numbers each from 0..6, one piece per unordered triple; find total sum of all numbers

In the Martian domino, the pieces have 3 numbers each (different from the earthly domino, where each piece has only 2 numbers). The numbers in the Martian domino also vary from 0 to 6, and each piece has a choice of 3 numbers (not necessarily distinct), there existing one and only one piece that contains those 3 numbers. What is the sum of the numbers of all the pieces of the Martian domino? (A) 756 (B) 1512 (C) 84 (D) 315 (E) 900

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

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Domino marziano: i pezzi hanno 3 numeri ciascuno da 0,6, un pezzo per triplo non ordinato; trovare la somma totale di tutti i numeri

Nel domino marziano, i pezzi hanno 3 numeri ciascuno (diferente dal domino terrestre, dove ogni pezzo ha solo 2 numeri). I numeri nel domino marziano variano anche da 0 a 6, e ogni pezzo ha una scelta di 3 numeri (non necessariamente distinti), esiste un e solo un pezzo che contiene quei 3 numeri. Qual è la somma dei numeri di tutti i pezzi del domino marziano? (A) 756 (B) 1512 (C) 84 (D) 315 (E) 900

Risposta: A src_obm_2002_n3_f1__Q23

Triangle ABC, angle A=60, angle B=50, M midpoint of AB, P on BC with AC+CP=BP; find angle MPC

In triangle $ABC$, angle $\hat{A}$ measures $60^{\circ }$ and angle $\hat{B}$ measures $50^{\circ }$. Let $M$ be the midpoint of side $AB$ and $P$ the point on side $BC$ such that $AC+CP=BP$. What is the measure of angle $M\hat{P}C$? (A) $120^{\circ }$ (B) $125^{\circ }$ (C) $130^{\circ }$ (D) $135^{\circ }$ (E) $145^{\circ }$

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: E Fonte: apri PDF

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Triangolo ABC, angolo A=60, angolo B=50, M punto medio di AB, P su BC con AC+CP=BP; trovare angolo MPC

Nel triangolo $ABC$, l’angolo $\hat{A}$ misura $60^{\circ }$ e l’angolo $\hat{B}$ misura $50^{\circ }$. Il punto $M$ deve essere il punto medio del lato $AB$ e $P$ il punto sul lato $BC$ in modo tale che $AC+CP=BP$. Qual è la misura dell’angolo $M\hat{P}C$? (A) $120^{\circ }$ (B) $125^{\circ }$ (C) $130^{\circ }$ (D) $135^{\circ }$ (E) $145^{\circ }$

Risposta: E src_obm_2002_n3_f1__Q24

Two people each roll a die; one wins on even product, other on odd; probability the even chooser wins

Two people are going to dispute a game by tossing an even (par) or odd (impar) die. They do not like zero and so each one rolls a die, and the person who chose the even result (par) wins. The probability that the person who chose even (par) wins is: (A) $1/2$ (B) $2/5$ (C) $3/5$ (D) $12/25$ (E) $13/25$

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: E Fonte: apri PDF

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Due persone ciascuno ruota un dado; uno vince su prodotto pari, l’altro su pari; probabilità che il scelta pari vinca

Due persone disputano un gioco lanciando una scommessa pari (par) o impar (impar). A loro non piace lo zero e quindi ognuno ruota un dado, e la persona che ha scelto il risultato pari (par) vince. La probabilità che la persona che ha scelto anche (par) vinca è: (A) $1/2$ (B) $2/5$ (C) $3/5$ (D) $12/25$ (E) $13/25$

Risposta: E src_obm_2002_n3_f1__Q25