Olimpíada Brasileira de Matemática 2002 — Nível 3 — Fase 2

Find 4-digit number from exactly one true clue

Arnaldo thought of a four-digit number and challenged Bernardo to discover which number it was. To help, he gave Bernardo the following three clues, exactly one of which is true:

• Clue 1: The number is a perfect cube.
• Clue 2: The number is the smallest four-digit number that has exactly four positive divisors.
• Clue 3: The number is a multiple of $59$.

What is the number Arnaldo thought of?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova un numero a 4 cifre da un solo indizio vero

Arnaldo pensò a un numero a quattro cifre e sfidò Bernardo a scoprire quale fosse. Per aiutarlo, ha dato a Bernardo i seguenti tre indizi, esattamente uno dei quali è vero:

• Indizio 1: il numero e’ un cubo perfetto. - Indizio 2: Il numero è il numero a quattro cifre più piccolo che ha esattamente quattro divisori positivi. - Indice 3: Il numero è un multiple di $59$.

Qual e’ il numero che Arnaldo ha pensato?

src_obm_2002_n3_f2__Q01

Find reals a,b,c from three symmetric product equations

Let $a$, $b$, $c$ be real numbers such that $ab(a+b+c)=1001,bc(a+b+c)=2002,ca(a+b+c)=3003.$ Find $a$, $b$, and $c$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca i valori a,b,c da tre equazioni di prodotto simmetrici

$a$, $b$, $c$ siano numeri reali tali che $ab(a+b+c)=1001,bc(a+b+c)=2002,ca(a+b+c)=3003.$ Trova $a$, $b$ e $c$.

src_obm_2002_n3_f2__Q02

Folded paper strip yields pentagon; find a+b in terms of side AB=1

A rectangular strip of paper $ABCD$ is folded along lines $EF$ and $HG$ so that vertices $A$ and $B$ are both taken to the same point $M$ on the perpendicular bisector of $AB$, and the angle $\angle HAE$ is a right angle. In this way one obtains a pentagon $A^{\prime }EFGH$ (see figure).

It is known that the lower edges of the strip (segments $F{C}^{\prime }$ and $G{D}^{\prime }$ in the figure) meet at the midpoint $M$ of side $AB$, the side $AB$ has length $1$, and the side $AB$ is the median $AD$ of the strip. Find $a+b$, where $a$ and $b$ are positive numbers defined as shown in the figure.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

L’indice di carta piegato dà il pentagono; trovare a+b in termini di lato AB=1

Una striscia rettangolare di carta $ABCD$ è piegata lungo le linee $EF$ e $HG$ in modo che i vertici $A$ e $B$ siano entrambi portati allo stesso punto $M$ sul bisettore perpendicolare di $AB$, e l’angolo $\angle HAE$ sia un angolo retto. In questo modo si ottiene un pentagono $A^{\prime }EFGH$ (vedi figura).

È noto che i bordi inferiori della striscia (segmenti $F{C}^{\prime }$ e $G{D}^{\prime }$ nella figura) si incontrano al punto medio $M$ del lato $AB$, il lato $AB$ ha lunghezza $1$ e il lato $AB$ è la media $AD$ della striscia. Trova $a+b$, dove $a$ e $b$ sono numeri positivi definiti come mostrato nella figura.

src_obm_2002_n3_f2__Q03

Find the third smallest prime of the form n^2+5

The two smallest prime numbers of the form $n^2+5$ are $6^2+5=41$ and $12^2+5=149$. What is the third smallest prime of this form?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca il terzo primo più piccolo della forma n^2+5

I due numeri primi più piccoli del formulario $n^2+5$ sono $6^2+5=41$ e $12^2+5=149$. Qual è il terzo primo più piccolo di questa forma?

src_obm_2002_n3_f2__Q04

Min cyclic quadrilaterals from 40 points on two intersecting circles

Two circles intersect at two points $A$ and $B$. Let $X$ be a point on segment $AB$. Ten lines pass through $X$, each cutting both circles, yielding forty intersection points in total (four per line).

What is the minimum number of cyclic quadrilaterals whose four vertices are among these forty points?

Note: A quadrilateral is cyclic if and only if there exists a circle passing through its four vertices.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Min quadrilaterali ciclici a partire da 40 punti su due cerchi intersezionati

Due cerchi si incrociano a due punti $A$ e $B$. $X$ sia un punto sul segmento $AB$. Dieci linee attraversano $X$, ciascuna tagliando entrambi i cerchi, dando 40 punti di intersezione in totale (quattro per linea).

Qual è il numero minimo di quadrilaterali ciclici le cui quattro vertici sono tra questi quarant’anni?

Nota: Un quadrilaterale è ciclico se e solo se esiste un cerchio che attraversa le sue quattro vertici.

src_obm_2002_n3_f2__Q05

Quadratic with two roots; prove b<0

Consider the equation $a{x}^2+bx+c=0$, where $a$, $b$, $c$ are real and $a>0$. Suppose that this equation has two real roots $r$ and $s$ such that $0<r<1$ and $0<s<1$. Prove that $b<0$.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Quadratico con due radici; prova b<0

Si consideri l’equazione $a{x}^2+bx+c=0$, dove $a$, $b$, $c$ sono reali e $a>0$. Supponiamo che questa equazione abbia due radici reali $r$ e $s$ tali che $0<r<1$ e $0<s<1$. Prove che $b<0$.

src_obm_2002_n3_f2__Q06

Non-congruent triangles in ABC with altitude AD and given ratio

In triangle $ABC$, let $AD$ be the altitude relative to $BC$. How many non-congruent triangles satisfy $\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{A{D}^2}$ with $AD=2012$ and $BD$ and $CD$ both integers? Note that $AB$ and $AC$ need not be integers.

Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Triangoli non congruenti in ABC con altitudine AD e rapporto dato

Nel triangolo $ABC$, $AD$ deve essere l’altitudine relativa a $BC$. Quanti triangoli non congruenti soddisfano $\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{A{D}^2}$ con $AD=2012$ e $BD$ e $CD$ entrambi gli integri? Si noti che $AB$ e $AC$ non devono essere numeri interi.

src_obm_2002_n3_f2__Q07

Acute angle between BF and GH in square with equilateral triangles

Let $ABCD$ be a square, $E$ the midpoint of side $BC$, $F$ the midpoint of side $CD$. Equilateral triangles $ABG$ and $BEH$ are constructed so that $G$ lies inside the square and $H$ lies outside the square. Determine the acute angle between lines $BF$ and $GH$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Angolo acuto tra BF e GH in quadrato con triangoli equilaterali

$ABCD$ sia quadrato, $E$ il punto medio del lato $BC$, $F$ il punto medio del lato $CD$. I triangoli equilaterali $ABG$ e $BEH$ sono costruiti in modo che $G$ si trovi all’interno del quadrato e $H$ si trovi al di fuori del quadrato. Determinare l’angolo acuto tra le linee $BF$ e $GH$.

src_obm_2002_n3_f2__Q08

Esmeralda wins Destroy the Triangles game on a sphere

Esmeralda and Jade, secretaries of the OBM, play the game Destroy the Triangles. The game is played as follows: one starts with a sphere and $2012$ points on it; in principle every pair of points is connected by a segment. Esmeralda and Jade alternately erase one segment at a time. The secretary who erases the last triangle wins the game. Note that after the final segment of a triangle is erased, that triangle is destroyed even if the other two segments remain (i.e., segments that are no longer sides of any triangle may survive at the end).

Esmeralda goes first. Which of the two secretaries has a winning strategy regardless of how the opponent plays? Justify your answer by exhibiting a strategy that always works.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Simmetria, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Esmeralda vince Destroy the Triangles sul campo

Esmeralda e Jade, segretari dell’OBM, giocano il gioco Destroy the Triangles. Il gioco si svolge come segue: si inizia con una sfera e $2012$ punti su di essa; in linea di principio ogni coppia di punti è collegata da un segmento. Esmeralda e Jade cancellavano alternativamente un segmento alla volta. Il segretario che cancella l’ultimo triangolo vince la partita. Si noti che dopo che il segmento finale di un triangolo viene cancellato, quel triangolo viene distrutto anche se rimangono gli altri due segmenti (cioè i segmenti che non sono più lati di alcun triangolo possono sopravvivere alla fine).

Esmeralda va prima. Quale delle due segretarie ha una strategia vincente indipendentemente dal modo in cui l’avversario gioca? Giustifica la tua risposta mostrando una strategia che funziona sempre.

src_obm_2002_n3_f2__Q09