Olimpíada Brasileira de Matemática 2002 — Nível Universitário — Fase 1

Find f(13) for a continuous differentiable functional equation

The function $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$ is continuous and differentiable. It is known that $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=a$, and $f(x+1)=e^{f(x)}$ for all $x>-1$. Compute $f^{\prime }(13)$.

Topic: Equazioni funzionali, Insiemi e funzioni Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca f(13) per un’equazione funzionale differenziabile continua

La funzione $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$ è continua e differenziabile. È noto che $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=a$ e $f(x+1)=e^{f(x)}$ per tutti $x>-1$. Calcolare $f^{\prime }(13)$.

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Find x,y making n×n matrix invertible and compute its inverse

Let $A$ be the $n\times n$ matrix $A=\left(\begin{array}{cccc}x+y& x& \cdots & x\\ x& x+y& \cdots & x\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x& x& \cdots & x+y\end{array}\right).$ For which values of $x$ and $y$ is the matrix $A$ invertible? Compute $A^{-1}$.

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova x,y che rende n ×n matrice invertibile e calcola il suo inverso

Che $A$ sia la matrice $n\times n$ $A=\left(\begin{array}{cccc}x+y& x& \cdots & x\\ x& x+y& \cdots & x\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x& x& \cdots & x+y\end{array}\right).$ Per quali valori di $x$ e $y$ è invertibile la matrice $A$? Calcolare $A^{-1}$.

src_obm_2002_nu_f1__Q02

Compute an integral involving nested square roots

Compute ${\int }_1^3\frac{\sqrt{x^2+1}+x-1}{\sqrt{x^2+1}+x+1}dx.$

Topic: Insiemi e funzioni Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Calcolare un’integrale che coinvolga radici quadrate incastonate

Calcolo ${\int }_1^3\frac{\sqrt{x^2+1}+x-1}{\sqrt{x^2+1}+x+1}dx.$

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Find positive integers m so polynomial is divisible by given polynomial

Determine all positive integers $m$ for which the polynomial $(x+1{)}^m+x^m+1$ is divisible by $(x^2+x+1{)}^2$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca i numeri interi positivi m in modo che il polinomio sia divisibile da un dato polinomio

Determinare tutti gli integri positivi $m$ per i quali il polinomio $(x+1{)}^m+x^m+1$ è divisibile da $(x^2+x+1{)}^2$.

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Probability that sum of 10 dice rolls equals 20

We roll 10 standard dice (each with 6 faces numbered 1 to 6, all equally likely). Compute the probability that the sum of the 10 results equals 20.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Probabilità che la somma di 10 rotoli di dadi sia pari a 20

Rogliamo 10 dadi standard (ciascuno con 6 volti numerati da 1 a 6, tutti uguali probabilità). Calcola la probabilità che la somma dei 10 risultati sia uguale a 20.

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Tangent lines to a curve and periodicity of intersection points

Consider the curve $C=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y^2=x^3-43x+166\}$.

a) Let $Q=(a,b)$ be a point on $C$. Suppose that the tangent line to $C$ at $Q$ meets $C$ at a unique other point $Q^{\prime }$. Determine the coordinates of $Q^{\prime }$.

b) Let $P_0=(3,8)$. For each non-negative integer $n$, define $P_{n+1}=P_n^{\prime }$, the point of intersection of $C$ with the tangent to $C$ at $P_n$. Determine $P_{2002}$.

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Ricorsione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Line angenti a una curva e periodicità dei punti di intersezione

Considera la curva $C=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y^2=x^3-43x+166\}$.

a) Il $Q=(a,b)$ deve essere un punto di $C$. Supponiamo che la linea tangente a $C$ a $Q$ incontra $C$ ad un altro punto unico $Q^{\prime }$. Determinare le coordinate di $Q^{\prime }$.

b) Let $P_0=(3,8)$. Per ogni numero intero non negativo $n$, definire $P_{n+1}=P_n^{\prime }$, il punto di intersezione di $C$ con la tangente di $C$ a $P_n$. Determinare $P_{2002}$.

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