Olimpíada Brasileira de Matemática 2002 — Nível Universitário — Fase 2

Line cuts graph of degree-4 polynomial at 4 equally spaced points

Let $y=P(x)$ be a polynomial of degree 4. Show that if there exists a line (in ${\mathbb{R}}^2$) that intersects the graph of $P$ at 4 points, then there exists a line that intersects the graph at 4 equally spaced points.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Linea taglia grafico di polinomio di grado-4 a 4 punti spaziati ugualmente

Che $y=P(x)$ sia un polinomio di grado 4. Mostrare che se esiste una linea (in ${\mathbb{R}}^2$) che interseca il grafico di $P$ a 4 punti, allora esiste una linea che interseca il grafico a 4 punti spaziati ugualmente.

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Symmetric real matrix with row sums 1 and bounded off-diagonal; prove 0 < det A ≤ 1

Let $A=(a_{ij})$ be a real symmetric $n\times n$ matrix such that $a_{ii}=1$ and $\sum _{j=1}^n|a_{ij}|<2$ for all $i\in \{1,2,\dots ,n\}$. Prove that $0<\det A\le 1$.

Topic: Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Matrice reale simmetrica con somme di righe 1 e di diagonali non limitate; prova 0 < det A ≤ 1 *

Che $A=(a_{ij})$ sia una matrice simmetrica reale $n\times n$ tale che $a_{ii}=1$ e $\sum _{j=1}^n|a_{ij}|<2$ per tutti $i\in \{1,2,\dots ,n\}$. Prove che $0<\det A\le 1$.

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Sets with large size and small pairwise intersections; lower bound on union size

Let $A_1,A_2,\dots ,A_k\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$ be sets such that $|A_i|\ge \frac{n}{2}$ and $|A_i\cap A_j|\le \frac{n}{4}$ for all $i,j$ with $i\ne j$. Prove that $\left|\bigcup _{i=1}^k{A}_i\right|\ge \frac{k}{k+1}\cdot n$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Inclusione-esclusione, Doppio conteggio, Disuguaglianze Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

insieme con intersezioni di grande dimensione e piccole coppie; limite inferiore sulla dimensione dell’unione

Si deve $A_1,A_2,\dots ,A_k\subseteq \{1,2,\dots ,n\}$ essere impostato in modo tale che $|A_i|\ge \frac{n}{2}$ e $|A_i\cap A_j|\le \frac{n}{4}$ per tutti $i,j$ con $i\ne j$. Prove che $\left|\bigcup _{i=1}^k{A}_i\right|\ge \frac{k}{k+1}\cdot n$.

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Find all real solutions of a nested radical equation

Find all real solutions of the equation $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}.$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni reali di un’equazione radicale annidata

Trova tutte le soluzioni reali dell’equazione $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}.$

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Iterated logarithm product defines a_n; determine convergence of sum 1/a_n

For $x\in \mathbb{R}$, define ${\ln }_0(x)=x$, and for each $k\in \mathbb{N}$, if ${\ln }_k(x)>0$, define ${\ln }_{k+1}(x)=\ln ({\ln }_k(x))$, where $\ln$ is the natural logarithm.

Given a positive integer $n$, define $k(n)$ as the largest $k$ such that ${\ln }_k(n)\ge 1$, and define $a_n$ as $a_n={\prod }_{j=0}^{k(n)}{\ln }_j(n)=n\cdot \ln (n)\cdot \ln \ln (n)\cdots {\ln }_{k(n)}(n).$ Determine whether the series $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n}$ converges or diverges.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Telescoping, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Il prodotto del logaritmo iterato definisce a_n; determina la convergenza della somma 1/a_n

Per $x\in \mathbb{R}$, definire ${\ln }_0(x)=x$, e per ogni $k\in \mathbb{N}$, se ${\ln }_k(x)>0$, definire ${\ln }_{k+1}(x)=\ln ({\ln }_k(x))$, dove $\ln$ è il logaritmo naturale.

Data una cifra integrale positiva $n$, definire $k(n)$ come la più grande $k$ tale che ${\ln }_k(n)\ge 1$, e definire $a_n$ come $a_n={\prod }_{j=0}^{k(n)}{\ln }_j(n)=n\cdot \ln (n)\cdot \ln \ln (n)\cdots {\ln }_{k(n)}(n).$ Determinare se la serie $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n}$ converge o diverge.

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Two conics intersecting at 4 points; tangent lines yield a tangent ellipse or circle

Consider two ellipses in the plane ${\mathbb{R}}^2$ that intersect at exactly 4 points. At these 4 points, draw the tangent lines to both ellipses, obtaining 8 lines. Prove that there exists an ellipse (or circle) tangent to all 8 of these lines.

Topic: Geometria analitica, Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due coniche che si incrociano a 4 punti; le linee tangenti producono un’ellisse o un cerchio tangenti

Considerate due ellissi nel piano ${\mathbb{R}}^2$ che si incrociano esattamente a 4 punti. A questi 4 punti, disegnare le linee tangenti a entrambe le ellissi, ottenendo 8 linee. Prove che esiste un’ellisse (o cerchio) tangente a tutte e 8 di queste linee.

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