Olimpíada Brasileira de Matemática 2003 — Nível 1 — Fase 2

How many times does digit 9 appear in 10^100 minus 2003

How many times does the digit $9$ appear in the result of the operation $10^{100}-2003$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 98 Fonte: apri PDF

Quante volte appare la cifra 9 in 10^100 meno 2003

Quante volte appare la cifra $9$ nel risultato dell’operazione $10^{100}-2003$?

Risposta: 98 src_obm_2003_n1_f2__Q01

Count integers less than 2003^2 and 2004^2 that are multiples of 100

How many positive integers greater than $2003^2$ and less than $2004^2$ are multiples of $100$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 40 Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi inferiori a 2003^2 e 2004^2 che sono multipli di 100

Quanti integri positivi superiori a $2003^2$ e inferiori a $2004^2$ sono multipli di $100$?

Risposta: 40 src_obm_2003_n1_f2__Q02

Count triangles formed by segments in a figure

How many triangles are there whose sides lie on some of the segments drawn in the figure to the side?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 17 Fonte: apri PDF

Contare i triangoli formati da segmenti in una figura

Quanti triangoli ci sono i cui lati si trovano su alcuni dei segmenti disegnati nella figura laterale?

Risposta: 17 src_obm_2003_n1_f2__Q03

Student marks X on digital clock showing 7 every minute; find half of total marks

A student with lots of free time and curiosity decided to do the following: every minute, when changing the hour on his digital clock, he would mark an $X$ in his notebook for each digit $7$ that appeared on the display. So if his clock showed $02:07$ he marked $X$, and when it showed $07:17$ he marked $XX$. He started doing this when the clock showed $01:00$ and stopped almost twelve hours later, when the clock showed $12:59$. Calculate half the number of $X$‘s he marked in his notebook.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 66 Fonte: apri PDF

*L’allievo nota X su un orologio digitale che mostra 7 ogni minuto; trova la metà dei voti totali *

Uno studente con molto tempo libero e curiosità decise di fare il seguente: ogni minuto, quando cambiava l’ora sul suo orologio digitale, segnava un $X$ nel suo quaderno per ogni cifra $7$ che appareva sul display. Quindi, se il suo orologio mostrava $02:07$ ha segnato $X$, e quando mostrava $07:17$ ha segnato $XX$. Ha iniziato a farlo quando l’orologio mostrava $01:00$ e si è fermato quasi dodici ore dopo, quando l’orologio mostrava $12:59$. Calcola la metà del numero di $X$ che ha segnato nel suo quaderno.

Risposta: 66 src_obm_2003_n1_f2__Q04

Ferris wheel with 25 cabins; how many cabins total

The great attraction of OBM Park is a giant Ferris wheel (the figure shows a giant Ferris wheel, but with a smaller number of cabins). The cabins are numbered $1,2,3,\dots$ in clockwise order. When cabin $25$ is at the lowest position of the Ferris wheel, cabin $8$ is at the highest position. How many cabins does the Ferris wheel have?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Modellizzazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 34 Fonte: apri PDF

Rota di traghetto con 25 cabine; quante cabine totali

La grande attrazione di OBM Park è una gigantesca ruota di Ferris (la figura mostra una gigantesca ruota di Ferris, ma con un numero minore di cabine). Le cabine sono numerate $1,2,3,\dots$ in ordine orario. Quando la cabina $25$ si trova nella posizione più bassa della ruota del Ferris, la cabina $8$ si trova nella posizione più alta. Quante cabine ha la ruota del Ferris?

Risposta: 34 src_obm_2003_n1_f2__Q05

Count leap years from 1889 to today

Leap years are multiples of $4$, except those that are multiples of $100$ but not of $400$. How many leap years have there been since the Proclamation of the Republic of Brazil in $1889$ until today (2003)?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 27 Fonte: apri PDF

Contare gli anni biscotti dal 1889 ad oggi

Gli anni bisesti sono multipli di $4$, ad eccezione di quelli che sono multipli di $100$ ma non di $400$. Quanti anni a salto sono passati dalla Proclamazione della Repubblica del Brasile in $1889$ fino ad oggi (2003)?

Risposta: 27 src_obm_2003_n1_f2__Q06

Dice tower: minimize visible face dots sum

On a standard die the sum of dots on opposite faces is always $7$. Beatriz built a tower with $4$ identical dice, gluing the faces together as shown in the figure. What is the minimum number of dots that Beatriz can obtain by summing all the dots on the exposed faces of the tower?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 58 Fonte: apri PDF

*Torre di dice: ridurre al minimo la somma dei punti visibili del viso *

Su un dado standard la somma dei punti su facce opposte è sempre $7$. Beatriz costruì una torre con $4$ dadi identici, incollare le facce insieme come mostrato nella figura. Qual è il numero minimo di punti che Beatriz può ottenere sommando tutti i punti sulle facce esposte della torre?

Risposta: 58 src_obm_2003_n1_f2__Q07

Multiplication 45 times a3 equals 3bcd; find b+c+d

In the following multiplication, $a$, $b$, $c$, and $d$ are digits: $\begin{array}{r}45\\ \times a3\\ 3bcd\end{array}$ Calculate $b+c+d$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 15 Fonte: apri PDF

Multiplicazione 45 per a3 = 3bcd; trovare b+c+d

Nella seguente moltiplicazione, $a$, $b$, $c$ e $d$ sono cifre: $\begin{array}{r}45\\ \times a3\\ 3bcd\end{array}$ Calcolare $b+c+d$.

Risposta: 15 src_obm_2003_n1_f2__Q08

Five different positive integers with mean 11; maximize the largest

The mean of five different positive integers is $11$. Determine the maximum possible value of the largest of the five integers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 45 Fonte: apri PDF

Cinque diversi interi positivi con media 11; massimizzare il più grande

La media di cinque diversi interi positivi è $11$. Determinare il valore massimo possibile del più grande dei cinque integri.

Risposta: 45 src_obm_2003_n1_f2__Q09

Domino pieces partially covered by paper; find hidden dots total

Nine different domino pieces are placed on a table, partially covered by a piece of paper. The dominoes touch each other so that $1$ dot is adjacent to $1$ dot, $2$ dots are adjacent to $2$ dots, etc. What is the total number of dots hidden by the paper?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 22 Fonte: apri PDF

*Piezzi di domino parzialmente coperti di carta; trovare punti nascosti totale *

Sono posti su un tavolo nove pezzi diversi di domino, parzialmente coperti da un pezzo di carta. I dominosi si toccano in modo che il punto $1$ sia adiacente al punto $1$, i punti $2$ siano adiacenti ai punti $2$, ecc. Qual è il numero totale di punti nascosti dalla carta?

Risposta: 22 src_obm_2003_n1_f2__Q10

Positive integers less than 120 expressible as sum of two or more distinct powers of 3

Which positive integers less than $120$ can be written as a sum of two or more distinct powers of $3$ with non-negative exponents? For example, $12=3^1+3^2$ is one such number, but $18=3^1+3^2+3^1$ is not (the exponent $1$ is repeated). Find all such numbers.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Interi positivi inferiori a 120 espressi come somma di due o più potenze distinte di 3

Quali integri positivi inferiori a $120$ possono essere scritti come somma di due o più potenze distinte di $3$ con esponenti non negativi? Ad esempio, $12=3^1+3^2$ è uno di tali numeri, ma $18=3^1+3^2+3^1$ non lo è (l’esponente $1$ viene ripetuto). Trova tutti questi numeri.

src_obm_2003_n1_f2__Q11

Two squares ABCD and FHIJ share a side line; find area of square BEFG

In the figure, square $ABCD$ has area $64{\text{ cm}}^2$ and square $FHIJ$ has area $36{\text{ cm}}^2$. The vertices $A$, $D$, $E$, $H$, and $I$ lie on the same straight line. Calculate the area of square $BEFG$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 100 Fonte: apri PDF

Due quadrati ABCD e FHIJ condividono una linea laterale; trovare superficie di quadrato BEFG

Nella figura, il quadrato $ABCD$ ha superficie $64{\text{ cm}}^2$ e il quadrato $FHIJ$ ha superficie $36{\text{ cm}}^2$. I vertici $A$, $D$, $E$, $H$ e $I$ si trovano sulla stessa linea retta. Calcolare la superficie del quadrato $BEFG$.

Risposta: 100 src_obm_2003_n1_f2__Q12

Find all powerful numbers less than 100

Consider the product of all positive divisors of a positive integer $N$, different from $N$ itself. We say $N$ is \emph{powerful} if the product of these divisors is equal to the square of $N$. For example, $12$ is powerful, since its positive divisors different from $12$ are $1,2,3,4,6$ and $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 6=144=12^2$. Find all powerful numbers less than $100$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i numeri potenti inferiori a 100

Considera il prodotto di tutti i divisori positivi di un intero positivo $N$, diverso da $N$ stesso. Diciamo $N$ è \emph{potente} se il prodotto di questi divisori è uguale al quadrato di $N$. Ad esempio, $12$ è potente, poiché i suoi divisori positivi diversi da $12$ sono $1,2,3,4,6$ e $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 6=144=12^2$. Trova tutti i numeri potenti inferiori a $100$.

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