Olimpíada Brasileira de Matemática 2003 — Nível 2 — Fase 1

Rectangle divided into 7 squares, smallest area 1, find rectangle area

The rectangle in the figure below is divided into 7 squares. If the area of the smallest square is 1, the area of the rectangle is:

(A) 42 \quad (B) 44 \quad (C) 45 \quad (D) 48 \quad (E) 49

Topic: Teoria dei Numeri, Geometria piana Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Rettangolo diviso in 7 quadrati, area più piccola 1, trova area rettangolare

Il rettangolo nella figura di seguito è diviso in 7 quadrati. Se la superficie del più piccolo quadrato è 1, la superficie del rettangolo è:

(A) 42 \quad (B) 44 \quad (C) 45 \quad (D) 48 \quad (E) 49

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q01

Minimum number of 6cm and 7cm sticks to make 2m total length

You have many sticks of 6 cm and 7 cm in length. To form a row of sticks with total length 2 meters (200 cm), the minimum number of sticks you need to use is:

(A) 29 \quad (B) 30 \quad (C) 31 \quad (D) 32 \quad (E) 33

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Numero minimo di bastoni da 6 cm e 7 cm per una lunghezza totale di 2 m

Hai molti bastoni di 6 cm e 7 cm di lunghezza. Per formare una fila di bastoni di lunghezza totale di 2 metri (200 cm), il numero minimo di bastoni da utilizzare è:

(A) 29 \quad (B) 30 \quad (C) 31 \quad (D) 32 \quad (E) 33

Risposta: A src_obm_2003_n2_f1__Q02

Largest root of $(x-37{)}^2=169$

The largest root of the equation $(x-37{)}^2-169=0$ is:

(A) 39 \quad (B) 43 \quad (C) 47 \quad (D) 50 \quad (E) 53

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

Rotelle più piccole di $(x-37{)}^2=169$

La radice più grande dell’equazione $(x-37{)}^2-169=0$ è:

(A) 39 \quad (B) 43 \quad (C) 47 \quad (D) 50 \quad (E) 53

Risposta: A src_obm_2003_n2_f1__Q03

Calculator keys A (2x+1) and B (3x-1) from 5; largest two-digit number

A certain calculator has a display that shows a non-negative integer $x$, and two keys A and B. Key A replaces the display number by $2x+1$. When key B is pressed, the display number is replaced by $3x-1$.

If the display currently shows the number 5 and you press the keys A and B (in any order and any number of times), the largest two-digit number you can obtain is:

(A) 85 \quad (B) 87 \quad (C) 92 \quad (D) 95 \quad (E) 96

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Trascrizioni di calcolatore A (2x+1) e B (3x-1) da 5; numero a due cifre più grande

Una determinata calcolatrice ha un display che mostra un intero non negativo $x$ e due tasti A e B. La chiave A sostituisce il numero di visualizzazione con $2x+1$. Quando viene premuto il tasto B, il numero di visualizzazione viene sostituito da $3x-1$.

Se il display mostra attualmente il numero 5 e si premono i tasti A e B (in qualsiasi ordine e numero di volte), il numero più grande a due cifre che si può ottenere è:

(A) 85 \quad (B) 87 \quad (C) 92 \quad (D) 95 \quad (E) 96

Risposta: D src_obm_2003_n2_f1__Q04

Magic square with 14, x, 26, 13; find x

In a magic square, the sum of the numbers in each row, column, or diagonal is always the same. In the magic square below, the value of $x$ is:

$\begin{array}{ccc}& 14& x\\ 26& & 13\\ & & \end{array}$

(A) 20 \quad (B) 22 \quad (C) 23 \quad (D) 25 \quad (E) 27

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Quadrato magico con 14, x, 26, 13; trovare x

In un quadrato magico, la somma dei numeri in ogni riga, colonna o diagonale è sempre la stessa. Nel quadrato magico di seguito, il valore di $x$ è:

$\begin{array}{ccc}& 14& x\\ 26& & 13\\ & & \end{array}$

(A) 20 \quad (B) 22 \quad (C) 23 \quad (D) 25 \quad (E) 27

Risposta: E src_obm_2003_n2_f1__Q05

Units digit of n^n - n^2 for n=9867

Let $n=9867$. If you were to calculate $n^n-n^2$, you would find a number whose units digit is:

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 4 \quad (D) 6 \quad (E) 8

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Unità di n^n - n^2 per n=9867

Let $n=9867$. Se si calcola $n^n-n^2$, si trova un numero il cui numero unitario è:

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 4 \quad (D) 6 \quad (E) 8

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q06

Pascal-triangle-like pyramid with bottom row 3,5,x,6 and top 42; find x

In the figure, the number 42 is obtained as the top of a pyramid in which each number (except those in the bottom row) equals the sum of the two numbers directly below it. The bottom row is $3,5,x,6$. What is the value of $x$?

The intermediate rows can be expressed as: $8,5+x,x+6$ and $13+x,11+2x$, giving $(13+x)+(11+2x)=42$.

(A) 7 \quad (B) 3 \quad (C) 5 \quad (D) 4 \quad (E) 6

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Piramida simile a un triangolo pascale con riga inferiore 3,5,x,6 e parte superiore 42; trovare x

Nella figura, il numero 42 è ottenuto come la parte superiore di una piramide in cui ogni numero (escluse quelle nella riga inferiore) è uguale alla somma dei due numeri direttamente sotto di esso. La riga inferiore è $3,5,x,6$. Qual è il valore di $x$?

Le righe intermedi possono essere espresse come: $8,5+x,x+6$ e $13+x,11+2x$, dando $(13+x)+(11+2x)=42$.

(A) 7 \quad (B) 3 \quad (C) 5 \quad (D) 4 \quad (E) 6

Risposta: E src_obm_2003_n2_f1__Q07

Find x: multiply by 2, add 1, multiply by 3, subtract 5 gives 220

Consider a positive integer $x$ and apply the following successive operations: multiply by 2, add 1, multiply by 3, subtract 5. If the final result is 220, then $x$ is:

• (A) an odd number.
• (B) an even number.
• (C) a number between 40 and 50.
• (D) a multiple of 5.
• (E) a number whose digit sum is 9.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Ricerca x: moltiplica per 2, aggiungi 1, moltiplica per 3, sottrazione 5 dà 220

Considerare un intero positivo $x$ e applicare le seguenti operazioni successive: moltiplicare per 2, aggiungere 1, moltiplicare per 3, sottrarre 5. Se il risultato finale è 220, allora $x$ è:

• (A) un numero strano.
• (B) un numero pari.
• (C) un numero tra i 40 e i 50.
• (D) un moltiplo di 5.
• (E) un numero la cui somma digitali è 9.

Risposta: A src_obm_2003_n2_f1__Q08

Three consecutive naturals a<b<c; simplify c^2 - ab

The numbers $a$, $b$, $c$ are consecutive natural numbers in increasing order (so $b=a+1$, $c=a+2$). Then the value of $c^2-ab$ is equal to:

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) $2a+b$ \quad (D) $2a+c$ \quad (E) $2b+c$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Tre naturali consecutivi a< b< c; semplificare c^2 - ab

I numeri $a$, $b$, $c$ sono numeri naturali consecutivi in ordine crescente (così $b=a+1$, $c=a+2$). Il valore di $c^2-ab$ è quindi uguale a:

(A) 0 \quad (B) 1 \quad (C) $2a+b$ \quad (D) $2a+c$ \quad (E) $2b+c$

Risposta: E src_obm_2003_n2_f1__Q09

Oscillating sequence 1,2,3,4,5,3,2 with period 7; term 2003

Consider the oscillating sequence: $1,2,3,4,5,3,2,1,2,3,4,5,3,2,\dots$ (repeating with period 7).

The term at position $2003$ is:

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Sequenza oscillante 1,2,3,4,5,3,2 con periodo 7; termine 2003

Considera la sequenza oscillante: $1,2,3,4,5,3,2,1,2,3,4,5,3,2,\dots$ (ripetendo con il periodo 7).

Il termine nella posizione $2003$ è:

(A) 1 \quad (B) 2 \quad (C) 3 \quad (D) 4 \quad (E) 5

Risposta: E src_obm_2003_n2_f1__Q10

Arithmetic minus harmonic mean of 4 and 6

Consider the following definitions:

• The arithmetic mean of two positive real numbers is half their sum.
• The harmonic mean of two positive real numbers is the reciprocal of the arithmetic mean of their reciprocals.

The difference between the arithmetic mean and the harmonic mean of the numbers 4 and 6 is:

(A) 0.1 \quad (B) 0.2 \quad (C) 0.3 \quad (D) 0.4 \quad (E) 0.5

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

Medio aritmetico meno armonico di 4 e 6

Considerate le seguenti definizioni: - La media aritmetica ** di due numeri reali positivi è la metà della loro somma. - La media armonica ** di due numeri reali positivi è la reciproca della media aritmetica dei loro reciproci.

La differenza tra la media aritmetica e la media armonica dei numeri 4 e 6 è:

(A) 0,1 \quad (B) 0,2 \quad (C) 0,3 \quad (D) 0,4 \quad (E) 0,5

Risposta: B src_obm_2003_n2_f1__Q11

Self-describing sequence: which candidate fails

The sequence “22” describes itself in the sense that it contains exactly two 2s. Likewise, the sequence “31 12 33 15” describes itself, since it contains exactly 3 ones, 1 two, 3 threes, and 1 five. Which of the following sequences does not describe itself?

(A) 21 32 33 16 \quad (B) 31 12 33 18 \quad (C) 31 22 33 17 \quad (D) 21 32 33 17 \quad (E) 41 32 24 15 16 18

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Sequenza di auto-descrizione: quale candidato fallisce

La sequenza “22” si descrive nel senso che contiene esattamente due 2s. Allo stesso modo, la sequenza “31 12 33 15” si descrive, poiché contiene esattamente 3 uno, 1 due, 3 tre e 1 cinque. Quale delle seguenti sequenze * non * si descrive?

(A) 21 32 33 16 Quad (B) 31 12 33 18 Quad (C) 31 22 33 17 Quad (D) 21 32 33 17 Quad (E) 41 32 24 15 16 18

Risposta: D src_obm_2003_n2_f1__Q12

Domino set 0–8: how many pieces contain the most common face value

A domino set with highest double 8 (containing all pieces $[i,j]$ with $0\le i\le j\le 8$) has 45 pieces total. The face value that appears on the most pieces appears on how many pieces?

(A) 34 \quad (B) 36 \quad (C) 42 \quad (D) 55 \quad (E) 45

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Domino set 08: quanti pezzi contengono il valore nominale più comune

Un set di domino con il doppio 8 più alto (contiene tutti i pezzi $[i,j]$ con $0\le i\le j\le 8$) ha 45 pezzi in totale. Il valore nominale che appare sulla maggior parte dei pezzi appare su quanti pezzi?

(A) 34 \quad (B) 36 \quad (C) 42 \quad (D) 55 \quad (E) 45

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q13

Sequence a_n = (n+2)^2 - (n+3); find index of first non-prime term

The natural numbers greater than 2, each decreased by 2 more than itself (i.e., $a_n=(n+2{)}^2-(n+3)$ for $n=1,2,3,\dots$), form the sequence $5,11,19,29,41,55,\dots$ The first element of this sequence that is not prime is the:

(A) 4th \quad (B) 10th \quad (C) 6th \quad (D) 9th \quad (E) 7th

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Sequenza a_n = (n+2)^2 - (n+3); trovare indice del primo termine non primo

I numeri naturali superiori a 2, ciascuno diminuito di 2 in più di se stesso (cioè $a_n=(n+2{)}^2-(n+3)$ per $n=1,2,3,\dots$), formano la sequenza $5,11,19,29,41,55,\dots$ Il primo elemento di questa sequenza che è * non * primo è il:

(A) Quarto Quadrato (B) Decimo Quadrato (C) Sesto Quadrato (D) Nona Quadrato (E) Settimo

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q14

Logic puzzle: KAB or BAK means yes in Lucianês; what can be deduced

You are in a foreign country, LUCIANÊS, and do not know the language. You know that the words “BAK” and “KAB” mean yes or no (one each), but you do not know which is which. You meet a person who understands both Portuguese and Lucianês and ask them: “Does ‘KAB’ mean yes?” The person gives a one-word answer. Based only on their answer, you can deduce:

• (A) KAB means yes.
• (B) KAB means no.
• (C) The person who answered was lying.
• (D) The person who answered told the truth.
• (E) It is impossible to determine without a Lucianês–Portuguese dictionary.

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Puzzle logico: KAB o BAK significa sì in lucianês; cosa si può dedurre

Sei in un paese straniero, LUCIANÊS, e non conosci la lingua. Sapete che le parole “BAK” e “KAB” significano sì o no (uno ciascuno), ma non sapete quale è quale. Incontri una persona che capisce il portoghese e il lucianês e chiedi: “KAB significa sì?” La persona dà una risposta di una parola. Basandosi solo sulla loro risposta, si può dedurre:

• (A) KAB significa sì.
• (B) KAB significa no.
• (C) La persona che ha risposto ha mentito.
• (D) La persona che ha risposto ha detto la verità.
• (E) È impossibile determinare senza un dizionario LucianêsPortuguese.

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q15

Area of pentagon ABCDE in dot grid (1 cm spacing)

In the rectangular arrangement of dots shown below, the distance between adjacent dots in the same row or column is 1 cm.

The area of the pentagon $ABCDE$, in cm${}^2$, is:

(A) 9 \quad (B) $\frac{19}{2}$ \quad (C) 10 \quad (D) $\frac{21}{2}$ \quad (E) 11

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: B Fonte: apri PDF

*L’area del pentagono ABCDE nella griglia a punti (1 cm di spaziamento) *

Nella disposizione rettangolare dei punti riportata di seguito, la distanza tra i punti adiacenti della stessa riga o colonna è di 1 cm.

La superficie del pentagono $ABCDE$, in cm${}^2$, è:

(A) 9 \quad (B) $\frac{19}{2}$ \quad (C) 10 \quad (D) $\frac{21}{2}$ \quad (E) 11

Risposta: B src_obm_2003_n2_f1__Q16

Count distinct 2x2 black/white colorings up to rotation

Two colorings of a $2\times 2$ board in black and white are considered the same if one can be obtained from the other by rotation. In how many distinct ways can the cells of a $2\times 2$ board be colored in black or white (under this equivalence)?

(A) 4 \quad (B) 5 \quad (C) 6 \quad (D) 7 \quad (E) 8

Topic: Combinatoria Metodo: Colorazione, Casework, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Contare i colori bianchi e neri 2x2 distinti fino alla rotazione

Due coloranti di una lavagna $2\times 2$ in bianco e nero sono considerati uguali se uno può essere ottenuto dall’altro mediante rotazione. In quanti modi distinti le celle di una scheda $2\times 2$ possono essere colorate in bianco o nero (sotto questa equivalenza)?

(A) 4 \quad (B) 5 \quad (C) 6 \quad (D) 7 \quad (E) 8

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q17

Evaluate sum of two power fractions

The value of the expression $\frac{2^{2003}\cdot 9^{1001}}{4^{1001}\cdot 3^{2003}}+\frac{2^{2002}\cdot 9^{1001}}{4^{1001}\cdot 3^{2003}}$ is:

(A) $\frac{1}{3}$ \quad (B) $\frac{2}{3}$ \quad (C) $1$ \quad (D) $\frac{4}{3}$ \quad (E) $2$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Evaluare la somma di due frazioni di potenza

Il valore dell’espressione $\frac{2^{2003}\cdot 9^{1001}}{4^{1001}\cdot 3^{2003}}+\frac{2^{2002}\cdot 9^{1001}}{4^{1001}\cdot 3^{2003}}$ è:

(A) $\frac{1}{3}$ \quad (B) $\frac{2}{3}$ \quad (C) $1$ \quad (D) $\frac{4}{3}$ \quad (E) $2$

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q18

Order X=2^300, Y=11^100, Z=5^400 from smallest to largest

Consider the numbers $X=2^{300}$, $Y=11^{100}$, and $Z=5^{400}$. Identify the correct ordering:

(A) $X<Z<Y$ \quad (B) $Y<X<Z$ \quad (C) $X<Y<Z$ \quad (D) $Z<X<Y$ \quad (E) $Z<Y<X$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: C Fonte: apri PDF

Ordine X=2^300, Y=11^100, Z=5^400 dal più piccolo al più grande

Considerate i numeri $X=2^{300}$, $Y=11^{100}$ e $Z=5^{400}$. Identificare l’ordine corretto:

(A) $X<Z<Y$ \quad (B) $Y<X<Z$ \quad (C) $X<Y<Z$ \quad (D) $Z<X<Y$ \quad (E) $Z<Y<X$

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q19

Coin-flip game with three players; who has smallest win probability

Beatriz, Isabele, and Nicole are playing a game taking turns flipping a fair coin. Beatriz wins if, in two consecutive flips, both are heads. Nicole wins if, in two consecutive flips, both are tails. Isabele wins if in two consecutive flips one is heads and one is tails. They flip the coin repeatedly in order (Beatriz, then Isabele, then Nicole, then Beatriz, …) until someone wins. Which player(s) has (have) the smallest probability of winning?

(A) Beatriz \quad (B) Isabele \quad (C) Nicole \quad (D) Beatriz and Nicole \quad (E) All three have the same probability.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Ricorsione Abilita: Modellizzazione, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Gioco di coin-flip con tre giocatori; chi ha la minore probabilità di vincere

Beatriz, Isabele e Nicole stanno giocando a turni a lanciare una moneta giusta. Beatriz vince se, in due volte consecutive, entrambe sono teste. Nicole vince se, in due volte consecutive, entrambe sono coda. Isabele vince se in due volte consecutive uno è testa e uno è coda. Spuntano la moneta ripetutamente in ordine (Beatriz, poi Isabele, poi Nicole, poi Beatriz, …) finché qualcuno non vince. Quale giocatore ha (ha) la minore probabilità di vincere?

(A) Beatriz \quad (B) Isabele \quad (C) Nicole \quad (D) Beatriz e Nicole \quad (E) Tutti e tre hanno la stessa probabilità.

Risposta: B src_obm_2003_n2_f1__Q20

4×4 Minesweeper-like board; count marked squares

Camila and Lara play the following game on a $4\times 4$ board. Camila marks some squares on the board and tells Lara, for each square, how many of its neighbors (sharing a side or corner) are marked. Lara must determine which squares Camila marked. Camila presents the following neighbor-count table:

$\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 2& 1& 2\\ 2& 3& 3& 1\\ 1& 0& 2& 1\end{array}$

How many squares did Camila mark?

(A) 3 \quad (B) 4 \quad (C) 5 \quad (D) 6 \quad (E) 7

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

4×4 Tavola simile a una spazzatura minestrale; contare i quadrati segnati

Camila e Lara giocano il seguente gioco su una tavola $4\times 4$. Camila segna alcuni quadrati sulla lavagna e dice a Lara, per ogni quadrato, quanti dei suoi vicini (che condividono un lato o un angolo) sono segnati. Lara deve determinare quali quadrati Camila ha segnato. Camila presenta la seguente tabella di conteggio dei vicini:

$\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 2& 1& 2\\ 2& 3& 3& 1\\ 1& 0& 2& 1\end{array}$

Quanti quadrati ha segnato Camila?

(A) 3 \quad (B) 4 \quad (C) 5 \quad (D) 6 \quad (E) 7

Risposta: B src_obm_2003_n2_f1__Q21

Partition {2,3,5,7,11,13,17} so products differ by 1; digit sum of larger

Divide the numbers $2,3,5,7,11,13$, and $17$ into two non-empty groups such that the product $A$ of one group and the product $B$ of the other satisfy $A-B=1$. What is the sum of the digits of $A$?

(A) 10 \quad (B) 11 \quad (C) 13 \quad (D) 14 \quad (E) 15

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Partzione {2,3,5,7,11,13,17} in modo che i prodotti differiscano di 1; somma di cifre di più grande

Dividere i numeri $2,3,5,7,11,13$ e $17$ in due gruppi non vuoti in modo tale che il prodotto $A$ di un gruppo e il prodotto $B$ dell’altro soddisfino $A-B=1$. Qual è la somma delle cifre di $A$?

(A) 10 \quad (B) 11 \quad (C) 13 \quad (D) 14 \quad (E) 15

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q22

Binary search on odd numbers 1–99; maximum questions needed

Carlinhos thinks of a positive odd number less than 100. Pedrinho plays a guessing game: at each step, Pedrinho picks the middle value of the remaining range and asks whether Carlinhos’s number is greater or less than that value. Pedrinho always picks the middle of the remaining odd numbers. What is the maximum number of questions Pedrinho needs to guarantee finding the number?

(A) 5 \quad (B) 7 \quad (C) 15 \quad (D) 25 \quad (E) 45

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: A Fonte: apri PDF

Ricerca binaria sui numeri unici 199; richieste di domande massime

Carlinhos pensa a un numero par positivo inferiore a 100. Pedrinho gioca un gioco di ipotesi: a ogni passo, Pedrinho sceglie il valore medio della gamma rimanente e chiede se il numero di Carlinhos è maggiore o inferiore a tale valore. Pedrinho sceglie sempre il mezzo dei restanti numeri dispari. Qual è il numero massimo di domande che Pedrinho deve garantire per trovare il numero?

(A) 5 \quad (B) 7 \quad (C) 15 \quad (D) 25 \quad (E) 45

Risposta: A src_obm_2003_n2_f1__Q23

Area of triangle BFG formed inside equilateral triangle ABC with side 1

In the figure, $ABC$ is an equilateral triangle with side length 1 cm. Point $M$ is the midpoint of $BC$. Lines are drawn from the vertices creating triangle $BFG$ inside $ABC$. The area of triangle $BFG$, in cm${}^2$, is:

(A) $\frac{1}{4}$ \quad (B) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ \quad (C) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ \quad (D) $\frac{\sqrt{3}}{12}$ \quad (E) $\frac{3}{10}$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

L’area del triangolo BFG formata all’interno del triangolo equilaterale ABC con lato 1

Nella figura, $ABC$ è un triangolo equilaterale con lunghezza laterale di 1 cm. Il punto $M$ è il punto medio di $BC$. Le linee vengono disegnate dai vertici creando un triangolo $BFG$ all’interno di $ABC$. L’area del triangolo $BFG$, in cm${}^2$, è:

(A) $\frac{1}{4}$ \quad (B) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ \quad (C) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ \quad (D) $\frac{\sqrt{3}}{12}$ \quad (E) $\frac{3}{10}$

Risposta: D src_obm_2003_n2_f1__Q24

Right triangle ABC; BD=8, EC=9; find angle DAE

In triangle $ABC$, we have $AB=20$, $AC=21$, and $BC=29$. Points $D$ and $E$ are on side $BC$ with $BD=8$ and $EC=9$. Find the measure of angle $\angle DAE$, in degrees.

(A) $30^{\circ }$ \quad (B) $40^{\circ }$ \quad (C) $45^{\circ }$ \quad (D) $60^{\circ }$ \quad (E) $75^{\circ }$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Triangolo retto ABC; BD=8, EC=9; angolo di ricerca DAE

Nel triangolo $ABC$, abbiamo $AB=20$, $AC=21$ e $BC=29$. I punti $D$ e $E$ sono a lato $BC$ con $BD=8$ e $EC=9$. Trova la misura dell’angolo $\angle DAE$, in gradi.

(A) $30^{\circ }$ \quad (B) $40^{\circ }$ \quad (C) $45^{\circ }$ \quad (D) $60^{\circ }$ \quad (E) $75^{\circ }$

Risposta: C src_obm_2003_n2_f1__Q25