Olimpíada Brasileira de Matemática 2003 — Nível 2 — Fase 2

Find the area of square BEFG given the areas of squares ABCD and FHIJ

In the drawing alongside, square $ABCD$ has area $30{\text{cm}}^2$ and square $FHIJ$ has area $20{\text{cm}}^2$. The vertices $A$, $D$, $E$, $H$ and $I$ of the two squares lie on a same straight line. Calculate the area of square $BEFG$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Ricerca l’area del BEFG quadrato data l’area dei quadrati ABCD e FHIJ

Nel disegno accanto, il quadrato $ABCD$ ha superficie $30{\text{cm}}^2$ e il quadrato $FHIJ$ ha superficie $20{\text{cm}}^2$. I vertici $A$, $D$, $E$, $H$ e $I$ dei due quadrati si trovano sulla stessa linea retta. Calcolare la superficie del quadrato $BEFG$.

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Choose 13 integers from 1 to 26 containing 4 such that no chosen number divides another

Among the integers from $1$ to $26$, choose $13$ of them in such a way that:

1. the number $4$ is among the chosen numbers;
2. no chosen number is a divisor of another chosen number.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Scelta 13 numeri interi da 1 a 26 contenenti 4 in modo che nessun numero scelto divida un altro

Tra i numeri interi da $1$ a $26$, scegli $13$ in modo tale che: 1) il numero $4$ sia tra i numeri scelti; 2) nessun numero scelto sia un divisore di un altro numero scelto.

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Find the area of a paper region after folding and unfolding a rectangle three times

A rectangular sheet $ABCD$ of area $300{\text{cm}}^2$ was folded in half and then unfolded (segment $MN$); it was folded again and unfolded (segment $MC$) and finally folded and unfolded along the diagonal $BD$. Calculate the area of the piece of paper bounded by the dotted lines (the dark region in the figure).

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

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Ricerca l’area di una regione di carta dopo aver piegato e svolto un rettangolo tre volte

Un foglio rettangolare $ABCD$ di superficie $300{\text{cm}}^2$ è stato ripiegato a metà e poi svolto (segmento $MN$); è stato ripiegato e svolto (segmento $MC$) e infine ripiegato e svolto lungo la diagonale $BD$. Calcolare l’area del pezzo di carta delimitata dalle linee puntate (la regione scura nella figura).

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Find all ‘powerful’ numbers less than 100, where a number equals the product of its proper divisors

Consider the product of all positive divisors of a positive integer, different from this number itself. We say that a number is $\text{powerful}$ if it is equal to that product. For example, the number $12$ is powerful, since its positive divisors smaller than it are $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ and $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 6=144=12^2$. Present all powerful numbers less than $100$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

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Ricerca tutti i numeri “potenti” inferiori a 100, dove un numero è uguale al prodotto dei suoi divisiori propri

Considera il prodotto di tutti i divisori positivi di un intero positivo, diverso da questo numero stesso. Diciamo che un numero è $\text{powerful}$ se è uguale a quel prodotto. Ad esempio, il numero $12$ è potente, poiché i suoi divisori positivi sono $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ e $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 6=144=12^2$. Presenta tutti i numeri potenti inferiori a $100$.

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Functional equation f(x)-f(xy)=x/y+y/x: find f(1) and a formula for f(x)

Let $f:{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ be a function such that $f(x)-f(xy)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$, for any $x$ and $y$. (a) Calculate $f(1)$. (b) Find a formula for $f(x)$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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*Equazione funzionale f ((x) - f ((xy) = x/y+y/x: trovare f ((1) e una formula per f ((x) *

$f:{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ deve essere una funzione tale che $f(x)-f(xy)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$, per qualsiasi $x$ e $y$. (a) Calcolare $f(1)$. b) Trova una formula per $f(x)$.

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Find another four-digit ‘biquadrado’ number, equal to the sum of squares of its two two-digit halves

We say that a four-digit number $N$ is $\text{biquadrado}$ when it is equal to the sum of the squares of the two numbers formed by its two halves: one formed by the first two digits of $N$, in order, and the other formed by the last two digits of $N$, also in the order in which they appear in $N$. For example, $1233$ is biquadrado since $1233=12^2+33^2$. Find another biquadrado number.

Remark: recall that a four-digit number cannot begin with zero.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

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Ricerca un altro numero biquadrato a quattro cifre, pari alla somma dei quadrati delle sue due metà a due cifre

Diciamo che un numero a quattro cifre $N$ è $\text{biquadrado}$ quando è uguale alla somma dei quadrati dei due numeri formati dalle sue due metà: uno formato dalle prime due cifre di $N$, nell’ordine, e l’altro formato dalle ultime due cifre di $N$, anche nell’ordine in cui appaiono in $N$. Ad esempio, $1233$ è biquadrato da $1233=12^2+33^2$. Trova un altro numero quadrato.

Nota: ricordate che un numero a quattro cifre non può iniziare con lo zero.

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