Olimpíada Brasileira de Matemática 2003 — Nível 2 — Fase 3

Count 2x2 grids with integers 1–9 under ordering constraints

In a $2\times 2$ table, as shown below, we write integers from $1$ to $9$ obeying the following rule: $A>B$, $C>D$, $A>C$, and $B>D$.

$\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}$

a) How many different tables exist such that $B=C$?

b) How many different tables exist in total?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare le griglie 2x2 con numeri interi 19 sotto restrizioni di ordine

In una tabella $2\times 2$, come mostrato di seguito, scriviamo numeri interi da $1$ a $9$ obbedendo alla seguente regola: $A>B$, $C>D$, $A>C$ e $B>D$.

$\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}$

a) Quante tabelle diverse esistono in modo tale che $B=C$?

b) Quante tabelle diverse esistono in totale?

src_obm_2003_n2_f3__Q01

Find smallest prime dividing $x^2+5x+23$ for some integer $x$

Determine the smallest positive prime that divides $x^2+5x+23$ for some integer $x$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova la più piccola divisione primaria $x^2+5x+23$ per un numero intero $x$

Determinare il primo positivo più piccolo che divide $x^2+5x+23$ per un intero $x$.

src_obm_2003_n2_f3__Q02

Prove BX=CX iff PQ is diameter of circumscribed circle

Triangle $ABC$ is inscribed in circle $S$ and $AB<AC$. The line through $A$ perpendicular to $BC$ meets $S$ at $P$ ($P\ne A$). The point $X$ lies on segment $AC$ and the line $BX$ meets $S$ at $Q$ ($Q\ne B$).

Prove that $BX=CX$ if and only if $PQ$ is a diameter of $S$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prova BX=CX se PQ è il diametro del cerchio circoscritto

Il triangolo $ABC$ è inserito nel cerchio $S$ e $AB<AC$. La linea attraverso $A$ perpendicolare a $BC$ incontra $S$ a $P$ ($P\ne A$). Il punto $X$ si trova sul segmento $AC$ e la linea $BX$ incontra $S$ al $Q$ ($Q\ne B$).

Prove che $BX=CX$ se e solo se $PQ$ ha un diametro di $S$.

src_obm_2003_n2_f3__Q03

Prove $x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2>0$ for all reals $x,y$

Prove that $x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2>0$ for all real numbers $x$ and $y$.

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prova $x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2>0$ per tutti i reali $x,y$

Prova che $x^2+4y^2-4xy+2x-4y+2>0$ per tutti i numeri reali $x$ e $y$.

src_obm_2003_n2_f3__Q04

Find points on circle maximising quadrilateral area given interior point

Given a circle $K$ and a fixed interior point $A$ distinct from the centre, determine the points $B$, $C$, and $D$ on $K$ such that the area of quadrilateral $ABCD$ is as large as possible.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Stima Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trovare punti su un cerchio che massimizzi l’area quadrilaterale dato punto interno

Data una cerchia $K$ e un punto interno fisso $A$ distinto dal centro, determinare i punti $B$, $C$ e $D$ su $K$ in modo tale che l’area del quadrilaterale $ABCD$ sia il più ampia possibile.

src_obm_2003_n2_f3__Q05

Prove Hamiltonian cycle in Tumbolia graph with at most one transport-mode change

There are $N$ cities in Tumbolia. Each pair of cities is connected by either a road or a railway, with no pair connected by both.

A tourist wishes to travel throughout Tumbolia, visiting each city exactly once and returning to the city where he began his journey.

Prove that it is possible to choose the order in which the cities are visited so that the tourist changes the means of transport at most once.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Grafi, Estremalità, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Prove il ciclo di Hamilton nel grafico Tumbolia con un massimo di un cambiamento di modalità di trasporto

Ci sono $N$ città in Tumbolia. Ogni coppia di città è collegata da una strada o da una ferrovia, senza che nessuna coppia sia collegata da entrambe.

Un turista desidera viaggiare in tutta la Tumbolia, visitando ogni città esattamente una volta e tornando nella città in cui ha iniziato il suo viaggio.

Provare che è possibile scegliere l’ordine in cui le città vengono visitate in modo che il turista cambie il mezzo di trasporto al massimo una volta.

src_obm_2003_n2_f3__Q06