Olimpíada Brasileira de Matemática 2003 — Nível 3 — Fase 1

Find sqrt(AB) where 19AB is a perfect square, A,B digits

The number $19\overline{AB}$, where $A$ and $B$ are digits, is a perfect square. The value of $\sqrt{\overline{AB}}$ (the square root of the two-digit number $\overline{AB}$) is:

A) $5$ \quad B) $6$ \quad C) $7$ \quad D) $8$ \quad E) $5$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Trova sqrt(AB) dove 19AB è un quadrato perfetto, cifre A, B

Il numero $19\overline{AB}$, dove $A$ e $B$ sono cifre, è un quadrato perfetto. Il valore di $\sqrt{\overline{AB}}$ (radicola quadrata del numero a due cifre $\overline{AB}$) è:

A) $5$ \quad B) $6$ \quad C) $7$ \quad D) $8$ \quad E) $5$

Risposta: B src_obm_2003_n3_f1__Q01

Find 2003rd term of oscillating sequence 1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,…

Consider the oscillating sequence: $1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,\dots$ What is the $2003^{\text{rd}}$ term of this sequence?

A) $1$ \quad B) $2$ \quad C) $3$ \quad D) $4$ \quad E) $5$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: E Fonte: apri PDF

Ricerca il termine 2003 della sequenza oscillante 1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,…

Considera la sequenza oscillante: $1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,\dots$ Qual è il termine $2003^{\text{rd}}$ di questa sequenza?

A) $1$ \quad B) $2$ \quad C) $3$ \quad D) $4$ \quad E) $5$

Risposta: E src_obm_2003_n3_f1__Q02

Count Camila’s marked cells in 4x4 Minesweeper-style board

Camila and Lara are playing a simplified version of Minesweeper on a $4\times 4$ board. Camila marks some cells and tells Lara, for each cell, the number of marked cells in its neighborhood. In this game, two cells are neighbors if they share at least one side (vertex) in common. Lara then figures out which cells were marked. After marking some cells, Camila showed Lara the following board (each entry is the count of marked neighbors): $\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 2& 1& 2\\ 3& 3& 1& 1\\ 1& 0& 2& 1\end{array}$ The number of marked cells is:

A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $5$ \quad D) $6$ \quad E) $7$

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Casi e conteggio Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Le cellule segnate del conte Camila su una lavagna in stile 4x4 Minesweeper

Camila e Lara stanno giocando una versione semplificata di Minesweeper su una scheda $4\times 4$. Camila segna alcune cellule e dice a Lara, per ogni cellula, il numero di cellule segnate nel suo quartiere. In questo gioco, due celle sono vicine se condividono almeno un lato (vertice) in comune. Lara scopre poi quali cellule sono state segnate. Dopo aver contrassegnato alcune celle, Camila ha mostrato a Lara la seguente tabella (ogni voce è il numero di vicini contrassegnati): $\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 2& 1& 2\\ 3& 3& 1& 1\\ 1& 0& 2& 1\end{array}$ Il numero di celle contrassegnate è:

A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $5$ \quad D) $6$ \quad E) $7$

Risposta: B src_obm_2003_n3_f1__Q03

Count arrangements of 35 people in a line with Arnaldo first among his 5 friends

Five friends — Arnaldo, Bernaldo, Cornaldo, Dernaldo, and Ernaldo — must form a line together with another 30 people (35 people in total). In how many ways can we form this line so that Arnaldo is ahead of each of the other four friends? (Note: The friends do not need to be in consecutive positions.)

A) $35!$ \quad B) $\frac{35!}{5!}$ \quad C) $\frac{35!}{5}$ \quad D) $\left(\frac{35}{5}\right)!\cdot 5!$ \quad E) $e^{\sqrt{10}}$

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Contiamo 35 persone in fila con Arnaldo tra i suoi 5 amici.

Cinque amici Arnaldo, Bernaldo, Cornaldo, Dernaldo e Ernaldo devono formare una linea insieme ad altre 30 persone (35 persone in totale). In quanti modi possiamo formare questa linea in modo che Arnaldo sia prima di ciascuno degli altri quattro amici? (Nota: gli amici non devono essere in posizione consecutiva.)

A) $35!$ \quad B) $\frac{35!}{5!}$ \quad C) $\frac{35!}{5}$ \quad D) $\left(\frac{35}{5}\right)!\cdot 5!$ \quad E) $e^{\sqrt{10}}$

Risposta: B src_obm_2003_n3_f1__Q04

Estimate order of magnitude of Earth’s volume in cubic meters

The French Revolution in 1789 brought many changes to humanity. In 1791, after the French Revolution, the Academy of Sciences proposed a new system of measures based on a natural unit of length called the meter, defined as one ten-millionth of the distance from the North Pole to the Equator along the meridian passing through Paris. This system was effectively adopted in 1795. The current definition of the meter differs slightly, but the value is approximately the same.

Considering the Earth’s radius to be of the order of $10^7$ meters, what is the order of magnitude of the volume $V$ of the Earth, in cubic meters, using the formula $V=\frac{4}{3}\pi R^3,$ where $R$ is the Earth’s radius?

A) $10^{10}$ \quad B) $10^{21}$ \quad C) $10^{26}$ \quad D) $10^{21}$ \quad E) $10^{36}$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: B Fonte: apri PDF

Ordine di magnitudo stimato del volume terrestre in metri cubi

La Rivoluzione francese del 1789 portò molti cambiamenti all’umanità. Nel 1791, dopo la Rivoluzione francese, l’Accademia delle Scienze propose un nuovo sistema di misure basato su un’unità naturale di lunghezza chiamata metro, definita come un decimo milione della distanza dal Polo Nord all’Equatore lungo il meridiano che attraversa Parigi. Questo sistema fu adottato effettivamente nel 1795. La definizione attuale del contatore differisce leggermente, ma il valore è approssimativamente lo stesso.

Considerando che il raggio della Terra è dell’ordine di $10^7$ metri, qual è l’ordine di grandezza del volume $V$ della Terra, in metri cubi, utilizzando la formula $V=\frac{4}{3}\pi R^3,$ dove $R$ è il raggio della Terra?

A) $10^{10}$ \quad B) $10^{21}$ \quad C) $10^{26}$ \quad D) $10^{21}$ \quad E) $10^{36}$

Risposta: B src_obm_2003_n3_f1__Q05

Evaluate infinite sum of Fibonacci numbers divided by powers of 2

In the Fibonacci sequence $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots$, each term from the third onward equals the sum of the two preceding terms. What is the value of the infinite sum $S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{5}{32}+\frac{8}{64}+\frac{13}{128}+\frac{21}{256}+\frac{34}{512}+\frac{55}{1024}+\cdots ,$ where the $n$-th term is the $n$-th Fibonacci number divided by $2^n$?

A) $3/2$ \quad B) $2$ \quad C) $5/2$ \quad D) $3$ \quad E) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

Evaluare la somma infinita dei numeri di Fibonacci diviso per potenze di 2

Nella sequenza di Fibonacci $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots$, ogni termine dal terzo in poi è uguale alla somma dei due termini precedenti. Qual è il valore della somma infinita $S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{5}{32}+\frac{8}{64}+\frac{13}{128}+\frac{21}{256}+\frac{34}{512}+\frac{55}{1024}+\cdots ,$ dove il $n$-th termine è il $n$-th numero di Fibonacci diviso da $2^n$?

A) $3/2$ \quad B) $2$ \quad C) $5/2$ \quad D) $3$ \quad E) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Risposta: B src_obm_2003_n3_f1__Q06

Find equation of y=x^2-5x+9 after 180-degree rotation about origin

The graph of $y=x^2-5x+9$ is rotated $180^{\circ }$ about the origin. What is the equation of the new curve?

A) $y=x^2+5x+9$ \quad B) $y=x^2-5x-9$ \quad C) $y=-x^2+5x-9$ \quad D) $y=-x^2-5x+9$ \quad E) $y=-x^2-5x-9$

Topic: Geometria analitica, Algebra Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Ricerca l’equazione di y=x^2-5x+9 dopo una rotazione di 180 gradi circa l’origine

Il grafico di $y=x^2-5x+9$ è rotato $180^{\circ }$ circa l’origine. Qual è l’equazione della nuova curva?

A) $y=x^2+5x+9$ \quad B) $y=x^2-5x-9$ \quad C) $y=-x^2+5x-9$ \quad D) $y=-x^2-5x+9$ \quad E) $y=-x^2-5x-9$

Risposta: E src_obm_2003_n3_f1__Q07

Find n in tennis club with n left-handed, 2n right-handed players, given win ratio 3:4

A tennis club has $n$ left-handed players and $2n$ right-handed players, with fewer than 20 players in total. In the last championship, each player played against every other club player exactly once. Each left-handed player beat exactly 20 right-handed players (in total, across all matches), and the ratio of total games won by left-handed players to total games won by right-handed players is $3:4$. What is the value of $n$?

A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $5$ \quad D) $6$ \quad E) More information is needed.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

Trova n in un club da tennis con n giocatori a sinistra, 2n a destra, dato il rapporto di vittoria 3:4

Un club di tennis ha giocatori di sinistra $n$ e di destra $2n$, con meno di 20 giocatori in totale. Nell’ultimo campionato, ogni giocatore ha giocato contro ogni altro giocatore di club esattamente una volta. Ogni giocatore a sinistra batte esattamente 20 giocatori a destra (in totale, in tutte le partite), e il rapporto tra il totale delle partite vinte da giocatori a sinistra e il totale delle partite vinte da giocatori a destra è $3:4$. Qual è il valore di $n$?

A) $3$ \quad B) $4$ \quad C) $5$ \quad D) $6$ \quad E) Sono necessarie ulteriori informazioni.

Risposta: C src_obm_2003_n3_f1__Q08

Find radius of circle C3 tangent to two parallel lines and two circles C1,C2

The figure below shows two parallel lines $r$ and $s$. The line $r$ is tangent to circles $C_1$ and $C_3$; the line $s$ is tangent to circles $C_2$ and $C_3$; and the circles also touch each other as shown in the figure.

The circles $C_1$ and $C_2$ have radii $a$ and $b$, respectively. What is the radius of circle $C_3$?

A) $2\sqrt{a^2+b^2}$ \quad B) $a+b$ \quad C) $2\sqrt{ab}$ \quad D) $\frac{4ab}{a+b}$ \quad E) $2b-a$

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Ricerca il raggio del cerchio C3 tangente a due linee parallele e a due cerchi C1,C2

La figura seguente mostra due linee parallele $r$ e $s$. La linea $r$ è tangente ai cerchi $C_1$ e $C_3$; la linea $s$ è tangente ai cerchi $C_2$ e $C_3$; e i cerchi si toccano anche tra loro come mostrato nella figura.

I cerchi $C_1$ e $C_2$ hanno rispettivamente radii $a$ e $b$. Qual è il raggio del cerchio $C_3$?

A) $2\sqrt{a^2+b^2}$ \quad B) $a+b$ \quad C) $2\sqrt{ab}$ \quad D) $\frac{4ab}{a+b}$ \quad E) $2b-a$

Risposta: C src_obm_2003_n3_f1__Q09

Identify which sequence does NOT describe itself autologically

The sequence $‘‘22"$ describes itself, since it is formed by exactly two $2$‘s. Analogously, the sequence $‘‘31123315"$ describes itself since it contains exactly three $1$‘s, one $2$, three $3$‘s, one $4$ (=zero fours), and one $5$… Which of the following sequences does NOT describe itself?

A) $21322316$ \quad B) $31123318$ \quad C) $3122331719$ \quad D) $31323324151618$ \quad E) $41323324151618$

Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Identificare quale sequenza NON si descrive autologicamente

La sequenza $‘‘22"$ si descrive, poiché è formata da esattamente due $2$. Analogamente, la sequenza $‘‘31123315"$ si descrive perché contiene esattamente tre $1$, uno $2$, tre $3$, uno $4$ (=quattro zero), e uno $5$… Quale delle seguenti sequenze NON si descrive?

A) $21322316$ \quad B) $31123318$ \quad C) $3122331719$ \quad D) $31323324151618$ \quad E) $41323324151618$

Risposta: D src_obm_2003_n3_f1__Q10

Find f(21,12) from functional equations defining f on positive integer pairs

The function $f$ is defined for all ordered pairs $(x;y)$ of positive integers and has the following properties: $f(x;x)=x,f(x;y)=f(y;x),(x+y)f(x;y)=(2x+y)f(x;y+x).$ What is the value of $f(21;12)$?

A) $\frac{7}{4}$ \quad B) $\frac{7}{2}$ \quad C) $\frac{11}{6}$ \quad D) $\frac{6}{11}$ \quad E) $\frac{1}{2003}$

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Ricorsione, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: D Fonte: apri PDF

Ricerca f(21,12) da equazioni funzionali che definiscono f su coppie di integri positivi

La funzione $f$ è definita per tutte le coppie ordinate $(x;y)$ di integri positivi e ha le seguenti proprietà: $f(x;x)=x,f(x;y)=f(y;x),(x+y)f(x;y)=(2x+y)f(x;y+x).$ Qual è il valore di $f(21;12)$?

A) $\frac{7}{4}$ \quad B) $\frac{7}{2}$ \quad C) $\frac{11}{6}$ \quad D) $\frac{6}{11}$ \quad E) $\frac{1}{2003}$

Risposta: D src_obm_2003_n3_f1__Q11

Find position of first non-prime in sequence of numbers 2 less than two largest successors

Among all natural numbers greater than $10$, consider the two largest numbers that are subtracted by $2$ from their successors. These form the sequence $5,11,19,\dots$ What is the first element of this sequence that is NOT a prime number?

A) fourth \quad B) fifth \quad C) sixth \quad D) none \quad E) seventh

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: C Fonte: apri PDF

Ricerca la posizione del primo non primo in sequenza di numeri 2 meno di due successivi più grandi

Tra tutti i numeri naturali superiori a $10$, considera i due numeri più grandi che vengono sottratti da $2$ dai loro successori. Questi formano la sequenza $5,11,19,\dots$ Qual è il primo elemento di questa sequenza che NON è un numero primo?

A) quarto \quad B) quinto \quad C) sesto \quad D) nessuno \quad E) settimo

Risposta: C src_obm_2003_n3_f1__Q12

Logic puzzle about truth-telling in foreign language with ‘KAB’/‘BAK’ meaning yes/no

You are in a foreign country and do not know the local language, called LUCIANÊS, but you know that the words “BAK” and “KAB” mean “yes” or “no” (you do not know which is which). You meet a person who speaks Portuguese and ask: “KAB significa sim?” (“Does KAB mean yes?”). The person answers “KAB”. You can deduce:

A) KAB means no. B) The person said yes but lied. C) The person who answered lied. D) The person who answered told the truth. E) It is not possible to determine whether the person told the truth without a LUCIANÊS—PORTUGUESE dictionary.

Topic: Logica Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: D Fonte: apri PDF

Puzzle logico sulla narrazione della verità in lingua straniera con “KAB”/“BAK” che significa sì/no

Vi trovate in un paese straniero e non conoscete la lingua locale, chiamata LUCIANÊS, ma sapete che le parole “BAK” e “KAB” significano “sì” o “no” (non sapete quale è quale). Incontri una persona che parla portoghese e chiedi: “KAB significa sim?” La persona risponde “KAB”. Si può dedurre:

A) KAB significa no. B) La persona ha detto di sì ma ha mentito. C) La persona che ha risposto ha mentito. D) La persona che ha risposto ha detto la verità. E) Non è possibile determinare se la persona ha detto la verità senza un dizionario LUCIANÊS - PORTUGUEZES.

Risposta: D src_obm_2003_n3_f1__Q13

Find which player has fewer chances in coin-toss game with Beatriz,Isabele,Nicole

Beatriz, Isabele, and Nicole are playing a game of consecutive coin tosses. Isabele wins if tails appear in two consecutive tosses; Nicole wins if heads appear in two consecutive tosses. They toss until one of them wins. Beatriz wins if neither Isabele nor Nicole has won yet when the game ends. Which player(s) have fewer chances of winning the game?

A) Beatriz \quad B) Isabele \quad C) Nicole \quad D) Beatriz and Nicole \quad E) All three have the same chance.

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Ricorsione Abilita: Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: B Fonte: apri PDF

Scopri quale giocatore ha meno possibilità nel gioco di lancio con Beatriz, Isabele, Nicole.

Beatriz, Isabele e Nicole stanno giocando a lanciare monete consecutive. Isabele vince se le code appaiono in due lanci consecutivi; Nicole vince se le teste appaiono in due lanci consecutivi. Lanciano finche’ uno di loro non vince. Beatriz vince se né Isabele né Nicole hanno ancora vinto quando finisce la partita. Quali giocatori hanno meno possibilità di vincere la partita?

A) Beatriz \quad B) Isabele \quad C) Nicole \quad D) Beatriz e Nicole \quad E) Tutti e tre hanno la stessa possibilità.

Risposta: B src_obm_2003_n3_f1__Q14

Divide {2,3,5,7,11,13,17} into groups A,B with A-B=1; find digit sum of AB*

Divide the numbers $2,3,5,7,11,13$, and $17$ into two groups with products $A$ and $B$, such that $A-B=1$. The sum of the digits of $A\cdot B$ is:

A) $10$ \quad B) $11$ \quad C) $13$ \quad D) $14$ \quad E) $15$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: C Fonte: apri PDF

dividere {2,3,5,7,11,13,17} nei gruppi A,B con A-B=1; trovare la somma digitali di AB*

Dividere i numeri $2,3,5,7,11,13$ e $17$ in due gruppi con i prodotti $A$ e $B$, in modo tale che $A-B=1$. La somma delle cifre di $A\cdot B$ è:

A) $10$ \quad B) $11$ \quad C) $13$ \quad D) $14$ \quad E) $15$

Risposta: C src_obm_2003_n3_f1__Q15

Find area of triangle BFG inside square ABCD with equilateral triangle BEF of side 1

The figure below shows a square $ABCD$ and an equilateral triangle $BEF$, both with side length $1\text{cm}$. The points $A$, $B$, $E$ are collinear, and so are the points $A$, $G$, $F$.

The area of triangle $BFG$, in ${\text{cm}}^2$, is:

A) $\frac{1}{4}$ \quad B) $\frac{1}{4}$ \quad C) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ \quad D) $\frac{\sqrt{3}}{12}$ \quad E) $\frac{3}{10}$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: D Fonte: apri PDF

Ricerca l’area del triangolo BFG all’interno del quadrato ABCD con triangolo equilaterale BEF del lato 1

La figura seguente mostra un quadrato $ABCD$ e un triangolo equilaterale $BEF$, entrambi con lunghezza laterale $1\text{cm}$. I punti $A$, $B$, $E$ sono collineari, così come i punti $A$, $G$, $F$.

L’area del triangolo $BFG$, in ${\text{cm}}^2$, è:

A) $\frac{1}{4}$ \quad B) $\frac{1}{4}$ \quad C) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ \quad D) $\frac{\sqrt{3}}{12}$ \quad E) $\frac{3}{10}$

Risposta: D src_obm_2003_n3_f1__Q16

Count guests at party given 77 plates of 4 types serving different numbers of people

At a typical party, each plate of rice served $2$ people, each plate of mayonnaise served $3$ people, each plate of meat served $4$ people, and each plate of sweets served $5$ people. A total of $77$ plates were used and every person at the party was served exactly once. How many people were at the party?

A) $20$ \quad B) $30$ \quad C) $45$ \quad D) $60$ \quad E) $75$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Conta gli ospiti alla festa che riceve 77 piatti di 4 tipi che servono diversi numeri di persone

In una tipica festa, ogni piatto di riso servito a persone $2$, ogni piatto di magonese servito a persone $3$, ogni piatto di carne servito a persone $4$, e ogni piatto di dolci servito a persone $5$. Sono stati utilizzati un totale di piatti $77$ e ogni persona alla festa è stata servita esattamente una volta. Quante persone erano alla festa?

A) $20$ \quad B) $30$ \quad C) $45$ \quad D) $60$ \quad E) $75$

Risposta: D src_obm_2003_n3_f1__Q17

Minimum yes/no questions to find odd number chosen by Carlinha up to 100

Carlinha thinks of a positive odd number less than $100$. Pedrinho wants to discover the number. Carlinha answers questions of the form: “Is the number greater than or equal to $x$?” with yes or no. How many such questions does Pedrinho need to ask in order to guarantee finding Carlinha’s number?

A) $15$ \quad B) $7$ \quad C) $15$ \quad D) $25$ \quad E) $45$

Topic: Logica, Teoria dei Numeri Metodo: Backward, Casework Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: A Fonte: apri PDF

Minimum di domande di sì/no per trovare il numero impar scelto da Carlinha fino a 100

Carlinha pensa a un numero odd positivo inferiore a $100$. Pedrinho vuole scoprire il numero. Carlinha risponde alle domande del modulo: “Il numero è maggiore o uguale a $x$?” con sì o no. Quante domande di questo tipo deve fare Pedrinho per poter trovare il numero di Carlinha?

A) $15$ \quad B) $7$ \quad C) $15$ \quad D) $25$ \quad E) $45$

Risposta: A src_obm_2003_n3_f1__Q18

Find speed of train given Augusto and Eduardo barely escape from bridge

Two friends, Augusto and Eduardo, are crossing a bridge. Each has walked $\frac{2}{5}$ of the bridge when a train appears from behind Augusto (coming from Augusto’s side). If Augusto runs back at $15\text{km/h}$, he barely escapes (exits just as the train arrives). Eduardo runs forward at $15\text{km/h}$ and also barely escapes. What is the speed of the train, in $\text{km/h}$?

A) $30$ \quad B) $45$ \quad C) $60$ \quad D) $75$ \quad E) $90$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Backward Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

Trova la velocità del treno dato che Augusto ed Eduardo scampano a malapena dal ponte

Due amici, Augusto e Eduardo, stanno attraversando un ponte. Ciascuno ha camminato $\frac{2}{5}$ del ponte quando un treno appare da dietro Augusto (venendo dal lato di Augusto). Se Augusto torna a $15\text{km/h}$, scappa a malapena (esce proprio quando arriva il treno). Eduardo corre avanti a $15\text{km/h}$ e scappa a malapena. Qual è la velocità del treno, in $\text{km/h}$?

A) $30$ \quad B) $45$ \quad C) $60$ \quad D) $75$ \quad E) $90$

Risposta: D src_obm_2003_n3_f1__Q19

Find digit sum of N expressible as 9 consecutive integers and as 11 consecutive integers

There exist positive integers $n_1$ and $n_2$ such that $N=(n_1-4)+(n_1-3)+(n_1-2)+(n_1-1)+n_1+(n_1+1)+(n_1+2)+(n_1+3)+(n_1+4)$ (a sum of $9$ consecutive integers centered at $n_1$) and also $N=(n_2-5)+(n_2-4)+\cdots +(n_2+5)$ (a sum of $11$ consecutive integers centered at $n_2$). The smallest such positive $N$ is $N=495$. The sum of the digits of $N$ is:

A) $9$ \quad B) $18$ \quad C) $22$ \quad D) $27$ \quad E) $36$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: B Fonte: apri PDF

Trova la somma di N espressibile come 9 numeri interi consecutivi e come 11 numeri interi consecutivi

Esistono numeri interi positivi $n_1$ e $n_2$ in modo tale che $N=(n_1-4)+(n_1-3)+(n_1-2)+(n_1-1)+n_1+(n_1+1)+(n_1+2)+(n_1+3)+(n_1+4)$ (una somma di $9$ numeri interi consecutivi incentrati su $n_1$) e anche $N=(n_2-5)+(n_2-4)+\cdots +(n_2+5)$ (una somma di $11$ numeri interi consecutivi incentrati su $n_2$). Il più piccolo di questi valori $N$ è $N=495$. La somma delle cifre di $N$ è:

A) $9$ \quad B) $18$ \quad C) $22$ \quad D) $27$ \quad E) $36$

Risposta: B src_obm_2003_n3_f1__Q20

Find floor of (3^2001+2^2001)/(3^2000+2^2000)

The largest integer that does not exceed $\frac{3^{2001}+2^{2001}}{3^{2000}+2^{2000}}$ is equal to:

A) $4$ \quad B) $6$ \quad C) $7$ \quad D) $8$ \quad E) $9$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Disuguaglianze, skill_manipolazione_algebrica Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: D Fonte: apri PDF

*Trovare pavimento di (3^2001+2^2001)/(3^2000+2^2000) *

Il numero intero più grande non superiore a $\frac{3^{2001}+2^{2001}}{3^{2000}+2^{2000}}$ è uguale a:

A) $4$ \quad B) $6$ \quad C) $7$ \quad D) $8$ \quad E) $9$

Risposta: D src_obm_2003_n3_f1__Q21

Count true statements about triangle T and derived triangles T’ and sqrt(T)

Let $T=(a,b,c)$ be a triangle, where $a$, $b$, $c$ are the side lengths. Define $T^{\prime }=(a^2,b^2,c^2)$ and $\sqrt{T}=(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})$, and let $\tilde{T}=$ the square root of $T$. Consider the following statements:

1. $T^{\prime }$ is always a triangle.
2. If $T$ is equilateral, then $T^{\prime }$ is equilateral.
3. $T^{\prime }$ is a right triangle if and only if $T$ is a right triangle.
4. $\sqrt{T}$ is a triangle for every triangle $T$.
5. All angles of $\sqrt{T}$ are acute.

The number of true statements is:

A) $1$ \quad B) $2$ \quad C) $3$ \quad D) $4$ \quad E) $5$

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Casework, Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: A Fonte: apri PDF

*Contare le affermazioni vere sul triangolo T e sui triangoli derivati T’ e sqrt(T) *

$T=(a,b,c)$ sia un triangolo, dove $a$, $b$, $c$ sono le lunghezze laterali. Definire $T^{\prime }=(a^2,b^2,c^2)$ e $\sqrt{T}=(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})$, e lasciare $\tilde{T}=$ la radice quadrata di $T$. Considerate le seguenti affermazioni:

1. $T^{\prime }$ è sempre un triangolo. 2. Se $T$ è equilaterale, allora $T^{\prime }$ è equilaterale. 3. $T^{\prime }$ è un triangolo rettangolo se e solo se $T$ è un triangolo rettangolo. 4. $\sqrt{T}$ è un triangolo per ogni triangolo $T$. 5. Tutti gli angoli di $\sqrt{T}$ sono acuti.

Il numero delle dichiarazioni vere è:

A) $1$ \quad B) $2$ \quad C) $3$ \quad D) $4$ \quad E) $5$

Risposta: A src_obm_2003_n3_f1__Q22

Max number after 2003 operations: replace digit by its square or double (choose max)

A written number is operated on as follows: if the number is greater than $1$, it is replaced by its square; if it equals $1$, it is doubled. Starting from any single digit and applying this operation exactly $2003$ times, what is the greatest number that can be obtained?

A) $2^{2003}$ \quad B) $4^{2003}$ \quad C) $2^{(2^{\cdots })}$ \quad D) $2^{(2^{2003})}$ \quad E) $2^{(2^{2004})}$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

*Numero massimo dopo le operazioni del 2003: sostituire la cifra con il suo quadrato o doppio (selezionare il massimo) *

Un numero scritto è operato come segue: se il numero è superiore a $1$, viene sostituito dal suo quadrato; se è uguale a $1$, viene raddoppiato. Partendo da una singola cifra e applicando questa operazione esattamente $2003$ volte, quale è il numero più grande che può essere ottenuto?

A) $2^{2003}$ \quad B) $4^{2003}$ \quad C) $2^{(2^{\cdots })}$ \quad D) $2^{(2^{2003})}$ \quad E) $2^{(2^{2004})}$

Risposta: E src_obm_2003_n3_f1__Q23

Characterize all real functions satisfying f(x)(f(x)-x)=0 for all x

If $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is a function such that, for all $x\in \mathbb{R}$, $f(x)(f(x)-x)=0,$ then:

A) $f$ is the zero function. B) $f$ is the identity function, i.e., $f(x)=x$ for all real $x$. C) $f$ is either the zero function or the identity function. D) There are exactly $4$ possible functions $f$. E) There are infinitely many functions $f$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: E Fonte: apri PDF

Caricare tutte le funzioni reali che soddisfano f(x)(f(x) -x) = 0 per tutte le x

Se $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è una funzione tale che, per tutti $x\in \mathbb{R}$, $f(x)(f(x)-x)=0,$:

A) $f$ è la funzione zero. B) $f$ è la funzione di identità, cioè $f(x)=x$ per tutte le $x$ reali. C) $f$ è la funzione zero o la funzione identità. D) Esistono esattamente $4$ funzioni possibili $f$. E) Ci sono infinite funzioni $f$.

Risposta: E src_obm_2003_n3_f1__Q24

Find angle DAE in triangle ABC with AB=20,AC=21,BC=29 and D,E on BC

In triangle $ABC$, $AB=20$, $AC=21$, and $BC=29$. Points $D$ and $E$ lie on side $BC$ such that $BD=8$ and $EC=9$. The measure of angle $\widehat{DAE}$, in degrees, is equal to:

A) $30$ \quad B) $40$ \quad C) $45$ \quad D) $60$ \quad E) $75$

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: C Fonte: apri PDF

Ricerca angolo DAE nel triangolo ABC con AB=20, AC=21,BC=29 e D,E su BC

In triangolo $ABC$, $AB=20$, $AC=21$ e $BC=29$. I punti $D$ e $E$ si trovano sul lato $BC$ in modo tale che $BD=8$ e $EC=9$. La misura dell’angolo $\widehat{DAE}$, in gradi, è uguale a:

A) $30$ \quad B) $40$ \quad C) $45$ \quad D) $60$ \quad E) $75$

Risposta: C src_obm_2003_n3_f1__Q25