Olimpíada Brasileira de Matemática 2003 — Nível 3 — Fase 2

Area of sub-triangle in triangle with angle bisector and median

In triangle $ABC$, $M$ is the midpoint of side $AC$, $D$ is a point on side $BC$ such that $AD$ bisects angle $\widehat{BAC}$, and $P$ is the intersection of $AD$ and $BM$. Given that the area of $ABC$ is $100$, $AB=10$, and $AC=30$, find the area of triangle $APB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 20 Fonte: apri PDF

Area di triangolo in triangolo con angolo bisector e media

Nel triangolo $ABC$, $M$ è il punto medio del lato $AC$, $D$ è un punto sul lato $BC$ in modo tale che $AD$ divisa l’angolo $\widehat{BAC}$, e $P$ è l’intersezione di $AD$ e $BM$. Poiché la superficie di $ABC$ è $100$, $AB=10$ e $AC=30$, si trova la superficie del triangolo $APB$.

Risposta: 20 src_obm_2003_n3_f2__Q01

Count 4-digit biquadrate numbers

We say that a 4-digit number $N$ is a biquadrate if it equals the sum of the squares of two numbers: one formed by the first two digits of $N$ and the other formed by the last two digits of $N$, in the order in which they appear in $N$. For example, $1233$ is a biquadrate because $1233=12^2+33^2$. Note: A 4-digit number cannot begin with zero. Find all biquadrate numbers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Contare i numeri quadrati a 4 cifre

Diciamo che un numero a 4 cifre $N$ è un biquadrato se equivale alla somma dei quadrati di due numeri: uno formato dalle prime due cifre di $N$ e l’altro formato dalle ultime due cifre di $N$, nell’ordine in cui appaiono in $N$. Ad esempio, $1233$ è un biquadrato perché $1233=12^2+33^2$. Nota: Un numero a 4 cifre non può iniziare con lo zero. Trova tutti i numeri quadrati.

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Maximum value of largest among 15 reals with no triangle triple

Among $15$ distinct real numbers all greater than $1$, no three of them can be the side lengths of a triangle. What are the possible values for the largest of the $15$ numbers?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Estremalità, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Valuta massima del più grande tra i 15 reali senza triangolo triplo

Tra $15$ diversi numeri reali tutti più grandi di $1$, non possono essere tre le lunghezze laterali di un triangolo. Quali sono i valori possibili per il più grande dei numeri $15$?

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Point on perimeter of right triangle minimizing sum of distances

Triangle $ABC$ is right-angled at $A$. Among all points $P$ on the perimeter of the triangle, find the one that minimizes $AP+BP+CP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto sul perimetro del triangolo rettangolo minimizzando la somma delle distanze

Il triangolo $ABC$ è angolato a destra a $A$. Tra tutti i punti $P$ sul perimetro del triangolo, trova quello che riduce al minimo $AP+BP+CP$.

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Probability that a 3x3 coloring contains a monochromatic 2x2 square

A square of side $3$ is divided into $9$ unit squares forming a $3\times 3$ grid. Each unit square is painted blue or red, each color chosen with probability $\frac{1}{2}$, independently of the others. What is the probability that, after coloring all unit squares, at least one $2\times 2$ square (aligned with the grid) is entirely one color?

Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Inclusione-esclusione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{95}{256}$ Fonte: apri PDF

Probabilità che un colorante 3x3 contenga un quadrato monocromatico 2x2

Un quadrato di lato $3$ è diviso in quadrati di unità $9$ che formano una griglia $3\times 3$. Ogni quadrato unitario è dipinto blu o rosso, ogni colore scelto con probabilità $\frac{1}{2}$, indipendentemente dagli altri. Qual è la probabilità che, dopo aver colorato tutti i quadrati unitari, almeno un quadrato $2\times 2$ (allineato con la griglia) sia interamente di un colore?

Risposta: \dfrac{95}{256} src_obm_2003_n3_f2__Q05

Closed form for a telescoping sum involving powers of 3

Compute the sum ${\sum }_{i=0}^n\frac{2^{i+1}}{3^{2^i}+1}=\frac{2}{3^1+1}+\frac{2^2}{3^2+1}+\frac{2^3}{3^{2^2}+1}+\cdots +\frac{2^{n+1}}{3^{2^n}+1}.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $1-\frac{2^{n+1}}{3^{2^{n+1}}-1}$ Fonte: apri PDF

Formulara chiusa per una somma telescopica con potenze di 3

Calcolare la somma ${\sum }_{i=0}^n\frac{2^{i+1}}{3^{2^i}+1}=\frac{2}{3^1+1}+\frac{2^2}{3^2+1}+\frac{2^3}{3^{2^2}+1}+\cdots +\frac{2^{n+1}}{3^{2^n}+1}.$

Risposta: 1 - \dfrac{2^{n+1}}{3^{2^{n+1}}-1} src_obm_2003_n3_f2__Q06