Olimpíada Brasileira de Matemática 2003 — Nível 3 — Fase 3

Smallest prime dividing x^2+5x+23 for some integer x

Find the smallest positive prime that divides $x^2+5x+23$ for some integer $x$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La più piccola divisione primaria x^2+5x+23 per un certo numero intero x

Trova il primo positivo più piccolo che divide $x^2+5x+23$ per un intero $x$.

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Smallest k so k subsets cover S via signed unions

Let $S$ be a set with $n$ elements. Find the smallest positive integer $k$ with the following property: given any $k$ distinct subsets $A_1,A_2,\dots ,A_k$ of $S$, there exists a suitable choice of signs $+$ and $-$ such that $S=A_1^{\pm }\cup A_2^{\pm }\cup \cdots \cup A_k^{\pm },$ where $A_i^{+}=A_i$ and $A_i^{-}=S\setminus A_i$ is the complement of $A_i$ with respect to $S$.

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework, Conteggio Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Le sottogruppe minori di k so k coprono S tramite sindacati firmati

Il $S$ deve essere un insieme di elementi $n$. Trova il numero intero positivo $k$ con la seguente proprietà: data qualsiasi $k$ sottogruppo distinto $A_1,A_2,\dots ,A_k$ di $S$, esiste una scelta appropriata dei segni $+$ e $-$ in modo tale che $S=A_1^{\pm }\cup A_2^{\pm }\cup \cdots \cup A_k^{\pm },$, dove $A_i^{+}=A_i$ e $A_i^{-}=S\setminus A_i$ sono il complemento di $A_i$ rispetto a $S$.

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Lines EH and FG parallel in rhombus with tangent lines

Let $ABCD$ be a rhombus. Let $E$, $F$, $G$, and $H$ be points on sides $AB$, $BC$, $CD$, and $DA$, respectively, such that lines $EF$ and $GH$ are tangent to the inscribed circle of the rhombus. Prove that lines $EH$ and $FG$ are parallel.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Line EH e FG parallele nel rombo con linee tangenti

Lascia che il $ABCD$ sia un rombo. Le parti $E$, $F$, $G$ e $H$ siano punti sui lati $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$, rispettivamente, in modo tale che le linee $EF$ e $GH$ siano tangenti al cerchio inscritto del rombo. Provare che le linee $EH$ e $FG$ sono parallele.

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Points on circle maximizing quadrilateral ABCD area

A circumference $K$ and a point $A$ interior to it, fixed and distinct from the centre, are given. Find points $B$, $C$, and $D$ on the circumference such that the area of the quadrilateral $ABCD$ is as large as possible.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Stima, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti sul cerchio che massimizzano l’area ABCD quadrilaterale

Un’interferenza $K$ e un punto $A$ interno, fisso e distinto dal centro, sono indicati. Trova i punti $B$, $C$ e $D$ sulla circonferenza in modo tale che l’area del quadrilaterale $ABCD$ sia il più grande possibile.

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Functional inequality implying f(x_0)<0 for some x_0

Suppose $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ satisfies: \begin{enumerate} \item[(i)] $x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$, \item[(ii)] $f\left(\frac{2xy}{x+y}\right)\ge \frac{f(x)+f(y)}{2}$, for all $x,y\in (0,+\infty )$. \end{enumerate} Prove that there exists $x_0\in (0,+\infty )$ such that $f(x_0)<0$.

Topic: Insiemi e funzioni, Disuguaglianze Metodo: Backward, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ineguaglianza funzionale che implica f(x_0)<0 per alcuni x_0

Supponiamo che $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$ soddisfi: \begin{enumerate} \item[(i) $x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$, \item[(ii) $f\left(\frac{2xy}{x+y}\right)\ge \frac{f(x)+f(y)}{2}$, per tutti $x,y\in (0,+\infty )$. \end{enumerate} Prove che esiste $x_0\in (0,+\infty )$ tale che $f(x_0)<0$.

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Minimum n_0 so n>=n_0 implies no bacana graph exists

A graph with vertex set $V$ having $n$ elements is called bacana if there exists a set $D\subset N$ and an injective function $f:V\to \lfloor 1,n^2/4\rfloor \cap N$ such that two vertices $p$ and $q$ are connected by an edge if and only if $f(p)-f(q)\in D$.

Show that there exists $n_0\in N$ such that for every $n\ge n_0$ there exist graphs with $n$ vertices that are not bacana.

Observation: A graph with vertex set $V$ is a pair $(V,E)$ where $E$ is a set of subsets of $V$, each with exactly two elements. A subset $\{p,q\}$ is called an edge; we say this edge connects vertices $p$ and $q$.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum n_0 quindi n>=n_0 implica che non esiste un grafico bacana

Un grafico con un insieme di vertici $V$ che contiene elementi $n$ si chiama bacana se esiste un insieme $D\subset N$ e una funzione iniettabile $f:V\to \lfloor 1,n^2/4\rfloor \cap N$ tale che due vertici $p$ e $q$ siano collegati da un bordo se e solo se $f(p)-f(q)\in D$.

Mostrare che esiste $n_0\in N$ in modo che per ogni $n\ge n_0$ esistano grafici con vertici $n$ che non sono bacana.

**Osservazione: ** Un grafico con insieme verticale $V$ è una coppia $(V,E)$ dove $E$ è un insieme di sottoinsiemi di $V$, ognuno con esattamente due elementi. Un sottoinsieme $\{p,q\}$ è chiamato edge; diciamo che questo bordo collega i vertici $p$ e $q$.

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