Olimpíada Brasileira de Matemática 2003 — Nível Universitário — Fase 1

Volume of convex polyhedron with integer vertices on sphere radius sqrt(2)

Let $X\subseteq {\mathbb{R}}^3$ be the convex polyhedron whose vertices are all points $(x,y,z)\in {\mathbb{Z}}^3$ with $x^2+y^2+z^2=2$. Calculate the volume of $X$.

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

*Volume di poliedro converso con vertici interi sul raggio di sfera sqrt(2) *

Il $X\subseteq {\mathbb{R}}^3$ deve essere il poliedro convexo le cui vertici sono tutti i punti $(x,y,z)\in {\mathbb{Z}}^3$ con $x^2+y^2+z^2=2$. Calcolare il volume di $X$.

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Count ways to schedule rest days with no three consecutive training days

A tennis player has 30 days to prepare for a tournament. If he trains 3 consecutive days, the following days he suffers muscle fatigue. He decides that during those 30 days he will train exactly 20 days, never train 3 consecutive days in a row, and rest the remaining 10 days. In how many different ways can he choose the 10 rest days?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi per pianificare i giorni di riposo senza tre giorni di formazione consecutivi

Un giocatore di tennis ha 30 giorni per prepararsi a un torneo. Se si allenano 3 giorni consecutivi, i giorni successivi soffre di stanchezza muscolare. Decide che durante quei 30 giorni si allenerà esattamente 20 giorni, non si allenerà mai per 3 giorni consecutivi, e riposa i restanti 10 giorni. In quanti modi diversi può scegliere i 10 giorni di riposo?

src_obm_2003_nu_f1__Q02

If (AB)^k = A^k B^k for three consecutive integers then AB=BA

Let $A$ and $B$ be real $n\times n$ invertible matrices. Show that if the condition $(AB{)}^k=A^k{B}^k$ holds for three consecutive integer values of $k$, then $AB=BA$.

Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Se (AB)^k = A^k B^k per tre numeri interi consecutivi allora AB=BA

Lasciate che $A$ e $B$ siano matrici invertibili $n\times n$ reali. Indicare che se la condizione $(AB{)}^k=A^k{B}^k$ è valida per tre valori interi consecutivi di $k$, allora $AB=BA$.

src_obm_2003_nu_f1__Q03

Find a>0 such that limit of f(n) - pi^2/6 + a/n exists; compute the limit

We know that $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$. Define $f(n)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}$. Prove that there exists a real number $a>0$ such that the limit ${\lim }_{n\to \infty }\left(f(n)-\frac{{\pi }^2}{6}+\frac{a}{n}\right)$ exists. Find $a$ and this limit.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca un>0 tale che esista il limite di f(n) - pi^2/6 + a/n; calcola il limite

Sappiamo che $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$. Definire $f(n)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}$. Prove che esiste un numero reale $a>0$ tale che il limite ${\lim }_{n\to \infty }\left(f(n)-\frac{{\pi }^2}{6}+\frac{a}{n}\right)$ esista. Trova $a$ e questo limite.

src_obm_2003_nu_f1__Q04

Polynomial (1/n)((X+a)^n - X^n - a) has integer coefficients iff n is prime

Let $a$ and $n$ be integers with $n>1$ and $\gcd (a,n)=1$. Prove that the polynomial $\frac{1}{n}((X+a{)}^n-X^n-a)$ has all integer coefficients if and only if $n$ is prime.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Il polinomio (1/n) (((X+a)^n - X^n - a) ha coefficienti interi se n è primo

$a$ e $n$ siano integri con $n>1$ e $\gcd (a,n)=1$. Prova che il polinomio $\frac{1}{n}((X+a{)}^n-X^n-a)$ ha tutti i coefficienti interi se e solo se $n$ è primo.

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Limits involving log log of a recursive sequence a_{n+1}=a_n^2-2

Define $a_1=3$ and $a_{n+1}=a_n^2-2$. Prove that ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\log \log a_n}{n}=\log 2$ and calculate $\underset{n\to \infty }{\lim }(\log \log a_n-n\log 2)$. (All logarithms are in base $e$.)

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Limiti che coinvolgono il log log di una sequenza ricorsiva a_{n+1}=a_n^2-2

Definire $a_1=3$ e $a_{n+1}=a_n^2-2$. Prove che ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\log \log a_n}{n}=\log 2$ e calcola $\underset{n\to \infty }{\lim }(\log \log a_n-n\log 2)$. (Tutti i logaritmi sono in base $e$.)

src_obm_2003_nu_f1__Q06