Olimpíada Brasileira de Matemática 2003 — Nível Universitário — Fase 2

Parabola tangent and perpendicular lines trace a hyperbola

Let a parabola and a point $A$ outside it be given. For each point $P$ on the parabola, let $t$ be the tangent to the parabola at $P$ and $r$ the line parallel to the axis of the parabola through $P$. The perpendicular to $t$ through $A$ meets $r$ at $Q$. Prove that, as $P$ varies on the parabola, $Q$ traces a hyperbola.

Topic: Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Le linee tangenti e perpendicolari della parabola tracciano un’iperbola

Si deve indicare una parabola e un punto $A$ al di fuori di essa. Per ogni punto $P$ della parabola, $t$ è la tangente della parabola a $P$ e $r$ la linea parallela all’asse della parabola attraverso $P$. La perpendicolare a $t$ attraverso $A$ incontra $r$ a $Q$. Prove che, poiché $P$ varia sulla parabola, $Q$ traccia un iperbola.

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Coprime complex-coefficient polynomials: dependence and functional identity

Let $p,q\in \mathbb{C}[x]$ be coprime polynomials (i.e.\ with no common non-constant factor) with complex coefficients. Suppose there exist 4 vectors $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2$, two-by-two linearly independent (over $\mathbb{C}$), such that $ap+bq$ is the square of a polynomial in $\mathbb{C}[x]$.

(a) Prove that $p$ and $q$ are constants.

(b) Prove that there are no non-constant polynomials $r,s,t,u\in \mathbb{C}[x]$ such that $f=\frac{r}{s}$, $g=\frac{t}{u}$, and $f^2=g(g-1)(g-a),a\in \mathbb{C},a\ne 0,a\ne 1.$

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Polinomi complessi-coefficienti di coprime: dipendenza e identità funzionale

$p,q\in \mathbb{C}[x]$ siano polinomi copriemi (cioè\ senza fattore non costante comune) con coefficienti complessi. Supponiamo che esistano 4 vettori $(a,b)\in {\mathbb{C}}^2$, due per due linealmente indipendenti (sopra $\mathbb{C}$), in modo tale che $ap+bq$ sia il quadrato di un polinomio in $\mathbb{C}[x]$.

a) dimostrare che $p$ e $q$ sono costanti.

b) Prove che non esistono polinomi non costanti $r,s,t,u\in \mathbb{C}[x]$ come $f=\frac{r}{s}$, $g=\frac{t}{u}$ e $f^2=g(g-1)(g-a),a\in \mathbb{C},a\ne 0,a\ne 1.$

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Count matrices of order 4 over Z/(p) whose square is the identity

Let $p>2$ be a prime number. Let $X_p$ be the set of all square matrices $A$ with coefficients in $\mathbb{Z}/(p)$ and of order $4$ such that $A^2=I:X_p=\left\{A\in (\mathbb{Z}/(p){)}^{4\times 4}\mid A^2=I\right\}.$ Compute the number of elements of $X_p$.

Remark. $\mathbb{Z}/(p)=\{0,1,2,\dots ,p-1\}$ is the finite field with $p$ elements. Addition and product are defined modulo $p$; for instance, in $\mathbb{Z}/(7)$, $4+5=2$ and $4\cdot 5=6$.

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta matrici di ordine 4 su Z/(p) il cui quadrato è l’identità

$p>2$ sia un numero primo. $X_p$ sia l’insieme di tutte le matrici quadrate $A$ con coefficienti in $\mathbb{Z}/(p)$ e di ordine $4$ in modo tale che $A^2=I:X_p=\left\{A\in (\mathbb{Z}/(p){)}^{4\times 4}\mid A^2=I\right\}.$ calcoli il numero di elementi di $X_p$.

Remark. $\mathbb{Z}/(p)=\{0,1,2,\dots ,p-1\}$ è il campo finito con elementi $p$. L’aggiunta e il prodotto sono definiti modulo $p$; ad esempio, in $\mathbb{Z}/(7)$, $4+5=2$ e $4\cdot 5=6$.

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Characterise honest die via conditional probability equality

We have a die with 6 faces, not necessarily fair. We roll it three times and obtain results $a$, $b$, $c$. Prove that $P(a=c\mid a=b)\ge P(a=c\mid a\ne b)$, with equality if and only if the die is fair.

Remark. $P(a=c\mid a=b)$ is the conditional probability $P(a=c\mid a=b)=\frac{P(a=b\text{ and }a=c)}{P(a=b)}.$ A die is fair if the probability of each face is $\frac{1}{6}$.

Topic: Probabilità Metodo: Disuguaglianze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Caricare la morte onesta attraverso l’uguaglianza di probabilità condizionata

Abbiamo un dado con sei facce, non necessariamente giusto. Lo rotoliamo tre volte e otteniamo risultati $a$, $b$, $c$. Prove che $P(a=c\mid a=b)\ge P(a=c\mid a\ne b)$, con uguaglianza se e solo se il dado è giusto.

Remark. $P(a=c\mid a=b)$ è la probabilità condizionale $P(a=c\mid a=b)=\frac{P(a=b\text{ and }a=c)}{P(a=b)}.$ Un dado è giusto se la probabilità di ciascuna faccia è $\frac{1}{6}$.

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C-infinity lacunary functions closed under addition and product

A function $f:(-1,1)\to \mathbb{R}$ of class $C^{\infty }$ is called lacunary if there exist a positive integer $n$ and polynomials $P_j\in \mathbb{R}[t]$, $0\le j\le n$, with $P_n$ not identically zero, such that ${\sum }_{j=0}^n{P}_j(t)f^{(j)}(t)=0\text{for all }t\in (-1,1).$ Prove that if $f$ and $g$ are lacunary then $f+g$ and $f\cdot g$ are also lacunary.

Remarks. We define $f^{(m)}=f$ for $m\ge 0$ (meaning $f^{(0)}=f$), and $(f^{(m)}{)}^{\prime }=f^{(m+1)}$.

Topic: Insiemi e funzioni, Algebra Metodo: Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

C-infinity funzioni lacunarie chiuse con aggiunta e prodotto

Una funzione $f:(-1,1)\to \mathbb{R}$ della classe $C^{\infty }$ viene chiamata lacunaria se esiste un intero positivo $n$ e polinomi $P_j\in \mathbb{R}[t]$, $0\le j\le n$, con $P_n$ non identicamente zero, in modo tale che ${\sum }_{j=0}^n{P}_j(t)f^{(j)}(t)=0\text{for all }t\in (-1,1).$ dimostri che se $f$ e $g$ sono lacunarie allora $f+g$ e $f\cdot g$ sono anche lacunarie.

Remarchi. Definimmo $f^{(m)}=f$ per $m\ge 0$ (che significa $f^{(0)}=f$), e $(f^{(m)}{)}^{\prime }=f^{(m+1)}$.

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Lower bound on trace of A^k for matrix with entries in [0,1]

Let $A=(a_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$ be an $n\times n$ matrix such that $a_{ij}\in [0,1]$ for all $i,j$, and $|(G,J)|=\Vert a_{ij}\Vert \ge \frac{99}{100}\cdot n^2.$ Prove that $\mathrm{tr}(A^k)\ge {\left(\frac{9}{10}\right)}^{k}n,\text{for all }k\ge 2.$

Remark. If $B=(b_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$ is a square matrix, then $\mathrm{tr}(B)=\sum _{i=1}^n{b}_{ii}$ denotes the trace of $B$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Limitazione inferiore sulla traccia di A^k per matrice con voci in [0,1]

$A=(a_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$ sia una matrice $n\times n$ tale che $a_{ij}\in [0,1]$ per tutte le $i,j$, e $|(G,J)|=\Vert a_{ij}\Vert \ge \frac{99}{100}\cdot n^2.$ dimostri che $\mathrm{tr}(A^k)\ge {\left(\frac{9}{10}\right)}^{k}n,\text{for all }k\ge 2.$

Se $B=(b_{ij}{)}_{1\le i,j\le n}$ è una matrice quadrata, allora $\mathrm{tr}(B)=\sum _{i=1}^n{b}_{ii}$ indica la traccia di $B$.

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