Olimpíada Brasileira de Matemática 2004 — Nível 1 — Fase 2

Digit sum of a sum of fractions with powers of 2

What is the sum of the digits of the number $\frac{2^2}{2}+\frac{2^2}{2^2}+\frac{2^3}{2^3}+\cdots +\frac{2^{2003}}{2^{2003}}+\frac{2^{2006}}{2^{2006}}?$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF

Summa digitali di una somma di frazioni con potenze di 2

Qual è la somma dei numeri $\frac{2^2}{2}+\frac{2^2}{2^2}+\frac{2^3}{2^3}+\cdots +\frac{2^{2003}}{2^{2003}}+\frac{2^{2006}}{2^{2006}}?$

Risposta: 6 src_obm_2004_n1_f2__Q01

Weight before a diet: fat mass changes by 20% then 40%

The fat mass of a certain person corresponds to 20% of their total body mass. This person, weighing 100 kg, went on a diet and lost 40% of their fat, keeping all other indicators the same. How many kilograms did she weigh at the end of the diet?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 92 Fonte: apri PDF

Peso prima di una dieta: variazioni della massa grassa del 20% e poi del 40%

La massa grassa di una determinata persona corrisponde al 20% della sua massa corporea totale. Questa persona, che pesava 100 kg, ha fatto una dieta e ha perso il 40% del grasso, mantenendo gli altri indicatori uguali. Quanti chili ha pesato alla fine della dieta?

Risposta: 92 src_obm_2004_n1_f2__Q02

Count two-digit numbers whose digit sum is a perfect square

How many two-digit numbers have a digit sum equal to a perfect square? Note that, for example, 09 is a two-digit number and $853$ is a three-digit number.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 14 Fonte: apri PDF

Conta i numeri a due cifre la cui somma di cifre è un quadrato perfetto

Quanti numeri a due cifre hanno una somma di una cifra uguale a un quadrato perfetto? Si noti che, ad esempio, 09 è un numero a due cifre e $853$ è un numero a tre cifre.

Risposta: 14 src_obm_2004_n1_f2__Q03

Numbers 1–99 written side by side; erase even-position digits 4 times

The integers from 1 to 99 are written side by side: $123456789101112\dots 9899$. We then apply the following operation: we erase the digits that appear in even positions, obtaining $135790112\dots 89$. Repeating this operation 4 times in total, how many digits will remain?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

I numeri 199 scritti fianco a fianco; cancellare 4 volte i numeri di posizione pari

I numeri interi da 1 a 99 sono scritti fianco a fianco: $123456789101112\dots 9899$. Applicheremo quindi la seguente operazione: cancelleremo le cifre che appaiono in posizioni pari, ottenendo $135790112\dots 89$. Ripetendo questa operazione 4 volte in totale, quante cifre resteranno?

src_obm_2004_n1_f2__Q04

Volume of a cube made from a rectangular paper sheet net

Using the highlighted part of a rectangular sheet of paper as a net, one can assemble a cube. If the area of the sheet is $300{\text{cm}}^2$, what is the volume of this cube, in ${\text{cm}}^3$?

Topic: Geometria solida, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 125 Fonte: apri PDF

Volume di un cubo realizzato da una rete di fogli di carta rettangolare

Utilizzando la parte evidenziata di un foglio rettangolare di carta come rete, si può assemblare un cubo. Se la superficie del foglio è $300{\text{cm}}^2$, qual è il volume di questo cubo, in ${\text{cm}}^3$?

Risposta: 125 src_obm_2004_n1_f2__Q05

Fill 9×9 grid with 1–9 per column, row sums equal; find X+Y

In the table below, write the numbers from 1 to 9 in each column so that the sum of the numbers written in the 9 rows is the same, equal to $Y$. $X$ is the sum of the numbers in each column. Find $X+Y$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Doppio conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Fill 9×9 grid con 19 per colonna, somma di righe uguale; trovare X+Y

Nella tabella seguente, scrivete i numeri da 1 a 9 in ogni colonna in modo che la somma dei numeri scritti nelle nove righe sia la stessa, pari a $Y$. $X$ è la somma dei numeri di ciascuna colonna. Trova $X+Y$.

src_obm_2004_n1_f2__Q06

Card game: count cards used and minimum draws to guarantee two blue

Jade wrote all 3-digit numbers on yellow cards, one per card, and all 4-digit numbers on blue cards, one per card. All cards are the same size.

(a) In total, how many cards were used? Note that, for example, 037 is a 3-digit number.

(b) All cards are placed face down in the same pile and shuffled. Jade draws the cards one by one, without looking at what she is drawing. How many cards must Jade draw in order to be certain that there are at least two blue cards among those drawn?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gioco di carte: carte utilizzate e sorte minime per garantire due blu

Jade scrisse tutti i numeri a 3 cifre sulle carte gialle, uno per carta, e tutti i numeri a 4 cifre sulle carte blu, uno per carta. Tutte le carte sono della stessa taglia.

(a) In totale, quante carte sono state usate? Si noti che, ad esempio, 037 è un numero a 3 cifre.

(b) Tutte le carte sono poste faccia a faccia nella stessa pila e mescolate. Jade disegna le carte una per una, senza guardare quello che sta disegnando. Quante carte deve disegnare Jade per essere sicuro che tra quelle disegnate ci siano almeno due carte blu?

src_obm_2004_n1_f2__Q07

Area and perimeter of gray squares in grid; maximize area with fixed perimeter

In the grid below, each small square has area $1{\text{cm}}^2$.

(a) What are the area and perimeter of the figure formed by the gray squares?

(b) By coloring other squares, we can increase the area of this figure without changing its perimeter. What is the maximum area we can achieve?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

L’area e il perimetro dei quadrati grigi nella griglia; massimizzare l’area con perimetro fisso

Nella griglia di seguito, ogni piccolo quadrato ha area $1{\text{cm}}^2$.

(a) Qual è l’area e il perimetro della figura formata dai quadrati grigie?

b) Coloring altri quadrati, possiamo aumentare l’area di questa figura senza cambiare il suo perimetro. Qual è la superficie massima che possiamo raggiungere?

src_obm_2004_n1_f2__Q08

Digit-count toy: iterated row description gives sequence; find digits on line 10 and 2006

Esmeralda invented a toy. She typed some numbers in the first line of a sheet. Then, the description of the numbers typed appears on the second line: she presented the quantities of each number that appeared, in increasing order of the number. For example, after typing 21035662112, she typed $1011321526$, meaning: one 0, one 1, three 2s, one 5, two 6s.

(a) She started a new sheet with com 1. So, her description is typed on the second line. Then, she described the second line on the third line, and so on. What is the digit typed on the $10^{\text{th}}$ line of the first sheet?

(b) Esmeralda liked this and decided to repeat the process on several sheets, starting with 01 on the first line of the first sheet. Which are the first two digits from the left that she typed on the $2006^{\text{th}}$ line?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Invarianti, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Gioco di conteggio di numeri: la descrizione della riga iterata dà la sequenza; trovare i numeri sulla riga 10 e 2006

Esmeralda ha inventato un giocattolo. Ha digitato alcuni numeri nella prima riga di un foglio. Poi, la descrizione dei numeri digitati appare sulla seconda riga: presenta le quantità di ogni numero che appare, in ordine crescente del numero. Ad esempio, dopo aver digitato 21035662112, ha digitato $1011321526$, il che significa: uno 0, uno 1, tre 2s, uno 5, due 6s.

(a) Ha iniziato un nuovo foglio con com 1. Quindi, la sua descrizione e’ scritta sulla seconda riga. Poi, ha descritto la seconda riga sulla terza riga, e così via. Qual è la cifra scritta sulla riga $10^{\text{th}}$ del primo foglio?

(b) A Esmeralda è piaciuto e ha deciso di ripetere il processo su diversi fogli, a partire dal 01 nella prima riga del primo foglio. Quali sono le prime due cifre a sinistra che ha digitato sulla linea $2006^{\text{th}}$?

src_obm_2004_n1_f2__Q09