Olimpíada Brasileira de Matemática 2004 — Nível 1 — Fase 3

Find all 3-digit odd perfect squares whose digit sum is a perfect square

Find all three-digit natural numbers $n$ satisfying all of the following properties: \begin{itemize} \item $n$ is odd; \item $n$ is a perfect square; \item the sum of the digits of $n$ is a perfect square. \end{itemize}

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trova tutti i quadrati perfetti parziali a 3 cifre la cui somma di numeri è un quadrato perfetto

Trova tutti i numeri naturali a tre cifre $n$ che soddisfano tutte le seguenti proprietà: \begin{itemize} \item $n$ è odd; \item $n$ è un quadrato perfetto; \item la somma delle cifre di $n$ è un quadrato perfetto. # Finire #

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Count distinct tricolor equilateral-triangle pieces (side 2) up to rotation

With four equilateral triangles of side $1$ it is possible to form a piece in the shape of an equilateral triangle of side $2$, as shown in the figure. The four small triangles making up the piece are colored in three possible colors: white, black, and gray. Two pieces are considered equal when one can be obtained from the other by rotation. How many different pieces can be formed under the given conditions?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i pezzi tricolori equilaterali triangolari distinti (lato 2) fino alla rotazione

Con quattro triangoli equilaterali di lato $1$ è possibile formare un pezzo a forma di triangolo equilaterale di lato $2$, come mostrato nella figura. I quattro piccoli triangoli che compongono il pezzo sono colorati in tre possibili colori: bianco, nero e grigio. Due pezzi sono considerati uguali quando uno può essere ottenuto dall’altro mediante rotazione. Quanti pezzi diversi si possono formare alle condizioni indicate?

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Prove a specific large number is composite

We say that a natural number is \emph{composite} if it can be written as the product of two natural numbers both greater than $1$. For example, $91$ is composite because we can write $91=7\times 13$.

Prove that the number $\frac{1}{2}\left(2^{2004}+2\right)+1$ is composite.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Prove che un numero specifico di grandi dimensioni è composto

Diciamo che un numero naturale è composto se può essere scritto come il prodotto di due numeri naturali entrambi più grandi di$1$. Ad esempio, $91$ è composto perché possiamo scrivere $91=7\times 13$.

Provare che il numero $\frac{1}{2}\left(2^{2004}+2\right)+1$ è composto.

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Determine winning strategy in 2×n domino placement game

Arnaldo and Bernaldo play a game on a $2\times n$ board. The pieces of the game are $1\times 2$ dominoes. Initially Arnaldo places a domino covering exactly two cells of the board, either horizontally or vertically. The players then take turns, each placing a domino covering exactly two cells of the board, always covering exactly two cells. It is not permitted to place a piece on top of an already placed piece. The player who cannot place a piece loses.

Which of the two players has a winning strategy — that is, a strategy that leads to victory no matter what moves the opponent makes — for: \begin{enumerate} \item[(a)] $n=2004$? \item[(b)] $n=2005$? \end{enumerate}

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Simmetria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Determine la strategia di vincita in 2 ×n gioco di posizionamento di domino

Arnaldo e Bernaldo giocano su una tavola. I pezzi del gioco sono $1\times 2$ domino. Inizialmente Arnaldo pone un domino che copre esattamente due celle della tavola, orizzontale o verticale. I giocatori si alternano poi, ognuno di loro mettendo un domino che copre esattamente due celle della tavola, sempre coprendo esattamente due celle. Non è consentito posizionare un pezzo sopra un pezzo già posto. Il giocatore che non riesce a piazzare un pezzo perde.

Quale dei due giocatori ha una strategia vincente cioè, una strategia che porta alla vittoria non importa quali mosse fa l’avversario per: \begin{enumerate} \item[(a)] $n=2004$? \item[(b)] $n=2005$? \end{enumere}

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Determine if a 13-sided polygon can tile the plane by translation copies

Consider the $6$-sided polygon $\mathbf{P}$ shown in the figure.

With copies of $\mathbf{P}$ we can tile the entire plane without overlaps, as shown in the figure.

Is there a $13$-sided polygon with which it is possible to tile the entire plane using its copies without overlaps? If yes, exhibit such a polygon. If not, explain why not.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Casework, Simmetria, Invarianti Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Astrazione Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Determine se un poligono a 13 lati può piastrellare il piano tramite copie di traduzione

Considerate il poligono laterale $6$ $\mathbf{P}$ mostrato nella figura.

Con le copie di $\mathbf{P}$ possiamo tessere l’intero piano senza sovrapposizioni, come mostrato nella figura.

Esiste un poligono laterale $13$ con il quale è possibile tessere l’intero piano utilizzando le sue copie senza sovrapposizioni? In caso affermativo, mostrare un poligono del genere. Se no, spiegate perché no.

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