Olimpíada Brasileira de Matemática 2004 — Nível 2 — Fase 2

Find digit sum a+b+c from a long multiplication

In the following multiplication, $a$, $b$, and $c$ are digits: $\begin{array}{r}1ab\\ \times b3\\ \ast \ast \ast \\ \ast \ast \ast \\ 1cc01\end{array}$ Find $a+b+c$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca la somma a+b+c da una moltiplicazione lunga

Nella seguente moltiplicazione, $a$, $b$ e $c$ sono numeri: $\begin{array}{r}1ab\\ \times b3\\ \ast \ast \ast \\ \ast \ast \ast \\ 1cc01\end{array}$ Trova $a+b+c$.

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Count ways to shade one cell per row and column in 4x4 grid

In how many ways can we shade four cells of a $4\times 4$ grid so that each row and each column contains exactly one shaded cell?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i modi per ombrare una cella per riga e colonna nella griglia 4x4

In quanti modi possiamo ombrare quattro celle di una griglia $4\times 4$ in modo che ogni riga e ogni colonna contengano esattamente una cellula ombrata?

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Find digit sum of a nested radical expression

What is the sum of the digits of the number $\sqrt{2004\times 2002\times 1998\times 1996+36}$?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca la somma digitali di un’espressione radicale incastonata

Qual è la somma delle cifre del numero $\sqrt{2004\times 2002\times 1998\times 1996+36}$?

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Find x so staircase polygon area equals right triangle area

In the figure, triangle $ABC$ is right-angled and the sides of the polygon (shaded region) are parallel to the legs of the triangle and coincide with segments along those legs. The top side of the triangle has lengths $5$ and $10$ marked (so the horizontal leg at the top equals $15$), and $x$ is the length marked at the bottom right near $C$.

Find $x$ such that the area of the polygon equals the area of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Trova x così la superficie del poligono delle scale è uguale all’area del triangolo rettangolo

Nella figura, il triangolo $ABC$ è angolato a destra e i lati del poligono (regione ombreggiata) sono paralleli alle gambe del triangolo e coincidono con segmenti lungo quelle gambe. Il lato superiore del triangolo ha le lunghezze $5$ e $10$ contrassegnate (così la gamba orizzontale in alto è uguale a $15$), e $x$ è la lunghezza contrassegnata in basso a destra vicino a $C$.

Trova $x$ tale che l’area del poligono sia uguale all’area del triangolo $ABC$.

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Count right triangles formed by vertices of a regular 20-gon

A polygon with 20 sides is called an icosagon. By connecting three vertices of a regular icosagon we obtain triangles. How many of these triangles are right triangles?

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Contare i triangoli rettangolari formati da vertici di un normale 20-gon

Un poligono con 20 lati si chiama icosagono. Collegando tre vertici di un icosagono regolare otteniamo triangoli. Quanti di questi triangoli sono triangoli rettangolari?

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Split set of perfect squares into two equal-sum groups

Problema 1 (Part B)

(a) Is it possible to divide the set $\{1^2,2^2,3^2,\dots ,7^2\}$ into two groups $A$ and $B$ such that the sum of the elements of $A$ equals the sum of the elements of $B$? Justify your answer.

(b) Is it possible to divide the set $\{1^2,2^2,3^2,\dots ,9^2\}$ into two groups $C$ and $D$ such that the sum of the elements of $C$ equals the sum of the elements of $D$? Justify your answer.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Invarianti Abilita: Lettura attenta, Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Spartire l’insieme di quadrati perfetti in due gruppi di somma uguale

Problema 1 (parte B)

(a) È possibile dividere l’insieme $\{1^2,2^2,3^2,\dots ,7^2\}$ in due gruppi $A$ e $B$ in modo tale che la somma degli elementi di $A$ sia uguale alla somma degli elementi di $B$? Giustifica la tua risposta.

b) È possibile dividere l’insieme $\{1^2,2^2,3^2,\dots ,9^2\}$ in due gruppi $C$ e $D$ in modo tale che la somma degli elementi di $C$ sia uguale alla somma degli elementi di $D$? Giustifica la tua risposta.

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Simplify continued fraction; find initial calculator display value

Problema 2 (Part B)

(a) Simplify the expression $1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}.$

(b) A calculator has two special keys: key $A$ transforms the number $x$ currently shown on the display into $\frac{1}{x}$; key $B$ transforms $x$ into $1-x$.

Pedro presses the keys alternately in the order $A,B,A,B,\dots$ for a total of 1000 key presses. After these 1000 operations, the display showed the number $2004$. What number did Pedro have on the display initially?

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione, Invarianti, Backward Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Semplificare la frazione continua; trovare il valore di visualizzazione iniziale della calcolatrice

Problema 2 (parte B)

(a) semplificare l’espressione "$1-\frac{1}{1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}.$"

b) Una calcolatrice ha due chiavi speciali: la chiave $A$ trasforma il numero $x$ attualmente visualizzato sul display in $\frac{1}{x}$; la chiave $B$ trasforma $x$ in $1-x$.

Pedro preme i tasti a turno nell’ordine $A,B,A,B,\dots$ per un totale di 1000 tastiere. Dopo queste 1000 operazioni, il display ha mostrato il numero $2004$. Quale numero aveva Pedro all’inizio?

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Paper folding: find segment AB’ and side AD

Problema 3 (Part B)

A rectangular sheet of paper $ABCD$ was folded so that vertex $B$ was brought to a point $B^{\prime }$ on side $AD$. The fold line is $EF$, with $E$ on side $AB$ and $F$ on side $CD$.

It is known that $AE=8$, $BE=17$, and $CF=3$.

(a) Find the length of segment $A{B}^{\prime }$. (b) Find the length of side $AD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Piegamento di carta: trovare segmento AB’ e lato AD

Problema 3 (parte B)

Un foglio rettangolare di carta $ABCD$ è stato piegato in modo che il vertice $B$ sia portato a un punto $B^{\prime }$ sul lato $AD$. La linea pieghevole è $EF$, con $E$ sul lato $AB$ e $F$ sul lato $CD$.

È noto che $AE=8$, $BE=17$ e $CF=3$.

(a) Trovare la lunghezza del segmento $A{B}^{\prime }$. b) Trova la lunghezza del lato $AD$.

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Count 4-digit legal numbers defined by digit sum condition

Problema 4 (Part B)

A 4-digit number $\overline{abcd}$ is called legal if the sum of the number formed by its first two digits and the number formed by its last two digits equals the number formed by its two middle digits. In other words, $\overline{ab}+\overline{cd}=\overline{bc}$ (equivalently, $(10a+b)+(10c+d)=10b+c$). For example, $2307$ is legal because $23+07=30$.

(a) What is the smallest legal number greater than $2307$? (b) How many legal 4-digit numbers are there?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare i numeri giuridici a 4 cifre definiti con la condizione somma di cifre

Problema 4 (parte B)

Un numero a 4 cifre $\overline{abcd}$ è chiamato legal se la somma del numero formato dalle sue prime due cifre e il numero formato dalle sue ultime due cifre è uguale al numero formato dalle sue due cifre medie. In altre parole, $\overline{ab}+\overline{cd}=\overline{bc}$ (equivalentemente, $(10a+b)+(10c+d)=10b+c$). Ad esempio, $2307$ è legale perché $23+07=30$.

(a) Qual è il numero legale più piccolo di $2307$? (b) Quanti numeri legali di 4 cifre ci sono?

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