Olimpíada Brasileira de Matemática 2004 — Nível 2 — Fase 3

Isosceles triangles with equal sides; find angle, length, segment

In the figure, $ABC$ and $DAE$ are isosceles triangles with $AB=AC=AD=DE$ and the angles $\angle BAC$ and $\angle ADE$ both equal $36^{\circ }$.

a) Using geometric properties, find the measure of angle $\angle EDC$.

b) Knowing that $BC=2$, calculate the length of segment $DC$.

c) Calculate the length of segment $AC$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangoli a pari lato; trovare angolo, lunghezza, segmento

Nella figura, $ABC$ e $DAE$ sono triangoli a uguale taglia con $AB=AC=AD=DE$ e gli angoli $\angle BAC$ e $\angle ADE$ sono entrambi uguali $36^{\circ }$.

a) Usando le proprietà geometriche, si trova la misura dell’angolo $\angle EDC$.

b) Sapendo che $BC=2$, calcolare la lunghezza del segmento $DC$.

c) Calcolare la lunghezza del segmento $AC$.

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Sequence defined by last digit of sum of previous four terms

The sequence of digits $1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,\dots$ is constructed as follows: each element, starting from the fifth, equals the last digit of the sum of the four preceding elements.

a) Do the digits $2,0,0,4$ appear consecutively (in this order) somewhere in the sequence?

b) Do the digits $1,2,3,4$ appear consecutively again in the sequence?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Ricorsione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Sequenza definita dall’ultima cifra della somma dei quattro termini precedenti

La sequenza di cifre $1,2,3,4,0,9,6,9,4,8,7,\dots$ è costruita come segue: ogni elemento, a partire dalla quinta, è uguale all’ultima cifra della somma dei quattro elementi precedenti.

a) Le cifre $2,0,0,4$ appaiono consecutivamente (in questo ordine) in qualche parte della sequenza?

b) Le cifre $1,2,3,4$ riappare successivamente nella sequenza?

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Splitting pile of 100 stones; sum of products written in squares

Esmeralda has a pile of $100$ stones. She divides this pile into two smaller piles and then multiplies the numbers of stones in these two new piles, writing the product in a square. She then chooses the pile with the most stones and repeats the procedure: the quantities of stones in the two new piles are multiplied and the product is written in the next square. This operation is repeated until only piles of $1$ stone each remain.

What are the possible values of the sum of all products written in the squares?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Massetta di 100 pietre; somma di prodotti scritti in quadrati

Esmeralda ha un mucchio di pietre. Divide questa pila in due pile più piccole e poi moltiplica il numero di pietre in queste due nuove pile, scrivendo il prodotto in un quadrato. Sceglie poi la pila con la maggior parte delle pietre e ripete la procedura: le quantità di pietre nelle due nuove pile vengono moltiplicate e il prodotto viene scritto nel quadrato successivo. Questa operazione è ripetuta fino a quando non rimangono solo pile di pietra $1$ ciascuna.

Quali sono i valori possibili della somma di tutti i prodotti scritti nei quadrati?

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Two-player game: alternately pick integer greater than double previous; who reaches 2004?

In a game for two players, Arnaldo and Bernaldo alternately choose a positive integer. At each turn, the number chosen must be greater than double the last number chosen. The winner is the first player to choose the number $2004$.

In this game, Arnaldo goes first and begins with the number $2$. Which of the two players has a winning strategy — that is, can guarantee choosing the number $2004$ regardless of the opponent’s moves?

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Invarianti, Backward, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco a due giocatori: scegliere alternativamente un numero intero superiore al doppio del precedente; chi raggiunge il 2004?

In una partita per due giocatori, Arnaldo e Bernaldo scelgono alternativamente un intero positivo. A ogni turno, il numero scelto deve essere superiore al doppio dell’ultimo numero scelto. Il vincitore è il primo giocatore a scegliere il numero $2004$.

In questo gioco, Arnaldo va per primo e inizia con il numero $2$. Quale dei due giocatori ha una strategia vincente cioè può garantire la scelta del numero $2004$ indipendentemente dalle mosse dell’avversario?

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Midpoint of hypotenuse; circumcenters of sub-triangles; tangency

Let $D$ be the midpoint of the hypotenuse $AB$ of a right triangle $ABC$ (with the right angle at $C$). Let $O_1$ and $O_2$ be the circumcenters of triangles $ADC$ and $DBC$, respectively.

a) Show that $\angle O_{1}D{O}_2=90^{\circ }$.

b) Show that $AB$ is tangent to the circle with diameter $O_1{O}_2$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Midpoint of hypotenuse; circumcenters of sub-triangles; tangency

$D$ sia il punto medio dell’ipotenusa $AB$ di un triangolo rettangolo $ABC$ (con angolo retto a $C$). $O_1$ e $O_2$ siano rispettivamente i circoncenti dei triangoli $ADC$ e $DBC$.

a) Indicare che $\angle O_{1}D{O}_2=90^{\circ }$.

b) Indicare che $AB$ è tangente al cerchio di diametro $O_1{O}_2$.

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10×10 table with digits 0–9 each 10 times; largest guaranteed distinct digits in a line

Consider all ways of filling the cells of a $10\times 10$ table with exactly ten of each of the digits $0,1,2,\dots ,9$ (so each digit appears exactly $10$ times in the entire table).

Find the largest integer $n$ with the property that, in every such table, there exists some row or some column that contains at least $n$ distinct digits.

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

10×10 tabella con numeri 09 ogni 10 volte; più grandi numeri distinti garantiti in una riga

Considerate tutti i modi di riempire le celle di una tabella $10\times 10$ con esattamente dieci dei cifre $0,1,2,\dots ,9$ (per cui ogni cifra appare esattamente $10$ volte in tutta la tabella).

Trova il più grande intero $n$ con la proprietà che, in ogni tabella di questo tipo, esiste una riga o una colonna che contiene almeno $n$ cifre distinte.

src_obm_2004_n2_f3__Q06