Iterated function application 2004 times from a table.
The function is given by the following table.
1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 For example, . How much is ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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Applicazione di funzione iterata 2004 volte da una tabella.
La funzione è indicata nella tabella seguente.
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | | 4 | 1 | 3 | 5 | 2 |
Per esempio, . Quanto è ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Length EF of two points on a semicircle whose feet on the diameter are at distances 1 and 8 from A.
Let be a segment of length 26, and let and be points on the segment such that and . Let and be points on a semicircle of diameter , with and perpendicular to . How much is ?
(A) 5 (B) (C) 7 (D) (E) 12
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Lunghezza EF di due punti su un semicircolo i cui piedi sul diametro si trovano a distanze 1 e 8 da A.
Il segmento deve essere di lunghezza 26, e il segmento e il segmento devono essere punti del segmento in modo tale che il segmento e il segmento . I punti e siano punti su un semicircolo di diametro , con e perpendicolari a . Quanto è ?
(A) 5 (B) (C) 7 (D) (E) 12
Largest interior angle of a triangle with sides 12, 15, 20.
The sides of a triangle measure 12, 15 and 20. The largest interior angle of the triangle measures
(A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF
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L’angolo interno più grande di un triangolo con lati 12, 15, 20.
I lati di un triangolo misurano 12, 15 e 20. L’angolo interno più grande del triangolo misura
(A) (B) (C) (D) (E)
Number of divisors of the sum of the six three-digit numbers formed from three distinct nonzero digits.
Esmeralda, very attentive, took three distinct (nonzero) digits , and and, with them, it is possible to form 6 distinct three-digit numbers, all with distinct digits. How many are the divisors of the sum of these 6 numbers?
(A) 4 (B) 6 (C) 10 (D) 15 (E) More than four
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Fattorizzazione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Numero di divisori della somma dei sei numeri a tre cifre formati da tre cifre distinte non a zero.
Esmeralda, molto attento, prese tre cifre distinte (non zero) , e e, con loro, è possibile formare 6 numeri a tre cifre distinte, tutte con cifre distinte. Quanti sono i divisori della somma di questi 6 numeri?
(A) 4 (B) 6 (C) 10 (D) 15 (E) Più di quattro
Self-referential: the product of the numbers in the incorrect alternatives is a perfect cube.
The product of the numbers that appear in the incorrect alternatives of this question is a perfect cube. Mark the correct alternative.
(A) 4 (B) 8 (C) 18 (D) 54 (E) 192
Topic: Teoria dei Numeri, Logica Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Auto-referenziale: il prodotto dei numeri nelle alternative errate è un cubo perfetto.
Il prodotto dei numeri che appaiono nelle alternative errate di questa domanda è un cubo perfetto. Segna l’alternativa corretta.
(A) 4 (B) 8 (C) 18 (D) 54 (E) 192
Smallest n so that any n-subset of {1,…,20} contains two numbers differing by 8.
How much is the smallest positive integer such that any subset of elements of contains two numbers whose difference is 8?
(A) 2 (B) 8 (C) 12 (D) 13 (E) 15
Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Principio dei cassetti, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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Nello più piccolo in modo che qualsiasi sottoinsieme di n di {1,…,20} contenga due numeri diversi di 8.
Quanto è il più piccolo intero positivo tale che qualsiasi sottoinsieme di elementi di contiene due numeri la cui differenza è di 8?
(A) 2 (B) 8 (C) 12 (D) 13 (E) 15
Integer closest to a-b for two finite sums of squares over odd denominators.
Let and Which is the integer closest to ?
(A) 500 (B) 501 (C) 999 (D) 1000 (E) 1001
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Telescoping, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Integra più vicina a-b per due somme finite di quadrati su denominatori unici.
Che e sia il numero intero più vicino a ?
(A) 500 (B) 501 (C) 999 (D) 1000 (E) 1001
Time for sand in upper cone to reach a given height fraction in a double-cone hourglass.
An hourglass is formed by two identical cones. Initially, the upper cone is full of sand and the lower one is empty. The sand then flows from the upper cone to the lower one at a constant rate. The upper cone empties completely in exactly one and a half hours. How long does it take for the height of the sand in the upper cone to become half the height of the (whole) cone?
(A) 30min (B) 10h (C) 1h03min26s (D) 1h31min12s (E) 1h34min30s
Topic: Geometria solida Metodo: Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Tempo per la sabbia nella parte superiore del cono per raggiungere una determinata frazione di altezza in un orologio di sabbia a doppio cono.
Un orologio di sabbia è formato da due coni identici. Inizialmente, il cono superiore è pieno di sabbia e quello inferiore è vuoto. La sabbia scorre quindi dal cono superiore a quello inferiore a velocità costante. Il cono superiore si svuota completamente in esattamente un’ora e mezza. Quanto tempo ci vuole per che l’altezza della sabbia nel cono superiore diventi metà dell’altezza dell’intero cono?
(A) 30min (B) 10h (C) 1h03min26s (D) 1h31min12s (E) 1h34min30s
Value f(0) of an integer function satisfying f(n)-(n+1)(2-n)=(n+3)^2.
The function , defined on the integers, satisfies , for every integer . How much is ?
(A) (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) 9
Topic: Algebra, Equazioni funzionali Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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*Valuta f(0) di una funzione interiore che soddisfa f(n) - n+1)
La funzione , definita sui numeri interi, soddisfa per ogni numero intero . Quanto è ?
(A) (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) 9
Number of digit-sets {a,b,c} whose six two-digit numbers sum to 484.
With three distinct digits , and , it is possible to form 6 numbers of two distinct digits. How many sets are such that the sum of the 6 formed numbers is 484?
(A) One (B) Two (C) Three (D) Four (E) More than four
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Numero di set di numeri {a,b,c} i cui sei numeri a due cifre si sommano a 484.
Con tre cifre distinte , e , è possibile formare 6 numeri di due cifre distinte. Quante serie sono tali che la somma dei 6 numeri formati sia di 484?
A) Uno B) Due C) Tre D) Quattro E) Più di quattro
Number of yellow faces on five two-colour cubes given probability 1/2 of exactly two yellow tops.
Five wooden cubes are painted on each of their faces, with one face yellow and the other magenta. When these cubes are tossed, the probability that two of the faces turned up are yellow and the other three magenta (no matter in what order the colors appear) is . How many of these cubes’ faces are yellow in total, on a single cube?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Topic: Probabilità, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
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Numero di facce gialle su cinque cubetti bicolori data la probabilità di 1/2 di esattamente due cime gialle.
Su ciascuno dei loro volti sono dipinti cinque cubetti di legno, con una faccia gialla e l’altra magenta. Quando questi cubetti vengono gettati, la probabilità che due di queste facce siano gialle e le altre tre magenta (non importa in quale ordine appaiano i colori) è . Quanti di questi cubi hanno la faccia gialla su un singolo cubo?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
For how many positive integers m is 2004/(m^2-2) a positive integer.
For how many positive integers is the number a positive integer?
(A) one (B) two (C) three (D) four (E) more than four
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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Per quanti integri positivi m è 2004/(m^2-2) un intero positivo.
Per quanti numeri interi positivi il numero è un intero positivo?
A) uno B) due C) tre D) quattro E) più di quattro
Total path length of a light ray reflecting between two mirrors at 30 degrees.
Two mirrors form an angle of at point . A light ray, coming from a source , is emitted parallel to one of the mirrors and is reflected by the other at point , as shown in the figure. After a certain number of reflections, the ray returns to . If metre, the distance travelled by the light ray, in metres, is
(A) 2 (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Simmetria, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Lunghezza totale del percorso di un raggio luminoso che riflette tra due specchi a 30 gradi.
Due specchi formano un angolo di al punto . Un raggio luminoso proveniente da una fonte viene emesso parallelo a uno degli specchi e riflettuto dall’altro al punto , come mostrato nella figura. Dopo un certo numero di riflessi, il raggio torna a . Se metri, la distanza percorsa dal raggio luminoso, in metri, è
(A) 2 (B) (C) (D) (E)
Find n from the prime factorization of n!.
For a positive integer , we define (read ” factorial”) as the product of all positive integers less than or equal to . For example, . If , then equals
(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
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Ricerca n dalla fattorizzazione primaria di n!.
Per un intero positivo , definiamo (leggi ” fattoriale”) come il prodotto di tutti gli integri positivi inferiori o uguali a . Per esempio, . Se , allora è uguale
(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17
Measure (in radians) of angle BXC for a square built externally on a side of a regular heptagon.
On side of the regular heptagon a square is constructed, exterior to the heptagon. The measure of the angle , in radians, is
(A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF
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Misura (in radiani) dell’angolo BXC per un quadrato costruito esternamente su un lato di un setttagone regolare.
Sul lato dell’eptagone regolare è costruito un quadrato , esterno all’eptagone. La misura dell’angolo in radiani è
(A) (B) (C) (D) (E)
Set of real roots of an equation with nested square roots.
The set of real roots of the equation is
(A) (B) (C) (D) (E)
Topic: Algebra Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
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insieme di radici reali di un’equazione con radici quadrate incastonate.
L’insieme delle radici reali dell’equazione è
(A) (B) (C) (D) (E)
Area of triangle ABM where M is on AD and BMC is a non-isosceles right triangle; AB=2, CD=4, BC=6.
In the drawing alongside, segments and are perpendicular to segment . Knowing that point belongs to segment and that triangle is a right (non-isosceles) triangle, what is the area of triangle ? (From the figure: , , .)
(A) 1 (B) (C) (D) (E)
Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Area del triangolo ABM in cui M è su AD e BMC è un triangolo rettangolo non isosceles; AB=2, CD=4, BC=6.
Nel disegno laterale, i segmenti e sono perpendicolari al segmento . Sapendo che il punto appartiene al segmento e che il triangolo è un triangolo retto (non isosceles), qual è l’area del triangolo ? (Dalla figura: , , .)
(A) 1 (B) (C) (D) (E)
Height of a stack of cruzado banknotes equal to a 640-real salary, given a conversion rate.
Between 1986 and 1989, the country’s currency was the cruzado (Cz$). With the immense inflation of that time, the currency had to change its values several times: there were the cruzado novo, the cruzeiro, the cruzeiro real and, finally, the real. The conversion between cruzado and real was:
Imagine that the currency had not changed and that João, who earns 640 reais per month today, were to receive his salary entirely in 1-cruzado banknotes, each 1,5 cm tall. The salary of João in cruzados would form a stack of height:
(A) 26,4 km (B) 264 km (C) 2640 km (D) 26400 km (E) 264000 km
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Stima, Modellizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
L’altezza di una pila di banconote di cruzado pari a un salario di 640 reali, dato il tasso di conversione.
Tra il 1986 e il 1989, la moneta del paese era il cruzado (Cz$). Con l’immensa inflazione dell’epoca, la moneta ha dovuto cambiare i suoi valori più volte: c’erano il cruzado novo, il cruzeiro, il cruzeiro reale e, infine, il reale. La conversione tra cruzado e reale è stata:
Immaginate che la moneta non avesse cambiato e che João, che oggi guadagna 640 reais al mese, avrebbe ricevuto il suo stipendio interamente in banconote da 1 cruzado, di 1,5 cm di altezza ciascuna. Lo stipendio di João in cruzados costituirebbe una pila di altezza:
(A) 26,4 km (B) 264 km (C) 2640 km (D) 26400 km (E) 264000 km
Maximum number of 0.8m cubes stacked in a corner that a 1.80m person outside can see through a glass door.
In a store, a person stacked several blocks of in the corner of the store, encostados (leaning) against a glass wall that passes by the door, as shown in the figure below. At most how many blocks can a person of height, who is outside the store, see?
Note: We consider that a person can see a box if there is at least a small region of positive area of its surface (visible).
(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17
Topic: Geometria solida, Geometria analitica Metodo: Coordinate, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Numero massimo di 0,8 m di cubetti impilati in un angolo che una persona di 1,80 m di distanza può vedere attraverso una porta di vetro.
In un negozio, una persona ha impilato diversi blocchi di nell’angolo del negozio, incostati (inclinati) contro una parete di vetro che passa dalla porta, come mostrato nella figura di seguito. Al massimo quanti blocchi può vedere una persona di di altezza, che si trova fuori dal negozio?
Nota: Riteniamo che una persona possa vedere una scatola se c’è almeno una piccola regione di area positiva della sua superficie (visibile).
(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17
Minimum number of matchsticks to build an arrangement of 32 hexagons.
The arrangement below, composed of 32 hexagons, was assembled with matchsticks, all of length equal to the side of the hexagon. At least how many matchsticks are necessary to assemble the arrangement?
(A) 113 (B) 123 (C) 122 (D) 132 (E) 152
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Minimum di palo di fiammifero per costruire un sistema di 32 esagoni.
La disposizione di sotto, composta da 32 esagoni, era montata con bastoni di fiammifero, tutti di lunghezza uguale al lato dell’esagono. Quanti bastoncini di fiammifero sono necessari per assemblare l’arrangimento?
(A) 113 (B) 123 (C) 122 (D) 132 (E) 152
Smallest and largest possible class average given means of the 10 worst (3) and 10 best (9) of 30 grades.
In a test for a class of 30 students, the arithmetic mean of the 10 worst grades is 3 and the arithmetic mean of the 10 best grades is 9. The smallest possible value and the largest possible value for the arithmetic mean of the grades of the class are, respectively:
(A) 6 and 7 (B) 5 and 7 (C) 4 and 6 (D) 3 and 9 (E) 4 and 8
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Stima, Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
La media di classe più piccola e più grande possibile data dalla media delle 10 classi peggiori (3) e 10 migliori (9) di 30 classi.
In una prova per una classe di 30 studenti, la media aritmetica dei 10 voti peggiori è di 3 e la media aritmetica dei 10 voti migliori è di 9. Il valore più piccolo possibile e il valore più grande possibile per la media aritmetica dei gradi della classe sono rispettivamente:
A) 6 e 7 B) 5 e 7 C) 4 e 6 D) 3 e 9 E) 4 e 8
Logic puzzle: determine which box holds the coin from left/right positional clues.
On a table there are three boxes, each one with an object of a different colour: a coin, a paperclip and a rubber band. We know that:
- The blue box is to the left of the green box;
- The red box is to the left of the blue box;
- The green box is to the right of the rubber band;
- The rubber band is to the right of the red box.
In which box is the coin?
(A) In the red box. (B) In the green box. (C) In the blue box. (D) The information given is insufficient to give an answer. (E) The information given is contradictory.
Topic: Logica, Combinatoria Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Puzzle logico: determinare quale scatola contiene la moneta da indizi di posizione sinistra/destra.
Su un tavolo ci sono tre scatole, ognuna con un oggetto di colore diverso: una moneta, un cartone e una banda di gomma. Lo sappiamo .
- la scatola blu è a sinistra della scatola verde; - la scatola rossa è a sinistra della scatola blu; - la scatola verde è a destra della fascia di gomma; - la fascia di gomma è a destra della scatola rossa.
In quale scatola c’è la moneta?
(A) Nella scatola rossa. (B) Nella scatola verde. (C) Nella scatola blu. D) Le informazioni fornite sono insufficienti per dare una risposta. (E) Le informazioni fornite sono contraddittorie.
Two-digit perfect square N whose digits doubled give a four-digit perfect square; sum of digits of N.
Esmeralda, the typist, wanted to type a number of two digits that is a perfect square. By a great coincidence, she typed each digit twice and the obtained number is also a perfect square! Which is the sum of the digits of ?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Quadrato perfetto a due cifre N i cui numeri raddoppiati danno un quadrato perfetto a quattro cifre; somma di numeri di N.
Esmeralda, il tipografo, voleva scrivere un numero di due cifre che è un quadrato perfetto. Per una grande coincidenza, ha digitato ogni cifra due volte e il numero ottenuto è anche un quadrato perfetto! Qual è la somma delle cifre di ?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
Number of times the string ‘21’ appears when the integers 1 to 999 are concatenated.
Esmeralda wrote (correctly!) all the numbers from 1 to 999, one after the other: How many times does the grouping “21” appear, in this order?
(A) 11 (B) 21 (C) 31 (D) 41 (E) 51
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Numero di volte in cui la stringa ‘21’ appare quando i numeri interi da 1 a 999 sono concatenati.
Esmeralda scrisse (giustamente!) tutti i numeri da 1 a 999, uno dopo l’altro: Quante volte appare il raggruppamento “21”, in questo ordine?
(A) 11 (B) 21 (C) 31 (D) 41 (E) 51
Number of positive integers n that can be weighed in one weighing on a two-pan balance with 1, 3, 10 kg weights placed on either pan.
A market vendor sells potatoes and, to weigh, uses a two-pan balance, a 1 kg weight, a 3 kg weight and a 10 kg weight. Consider the following statement: “This vendor can weigh (in a single weighing) kilograms of potatoes”. How many positive values of make this statement true, supposing he may place the weights on both pans?
(A) 7 (B) 10 (C) 12 (D) 13 (E) 14
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF
Estratto/tradotto da verificare con la fonte.
Numero di integri positivi n che possono essere pesati in uno pesante su un equilibrio a due pannelli con 1, 3, 10 kg di peso posizionati su entrambe le pannelle.
Un venditore di mercato vende patate e, per pesare, utilizza un equilibrio di due pannelli, un peso di 1 kg, un peso di 3 kg e un peso di 10 kg. Considerate la seguente affermazione: “Questo venditore può pesare (in un singolo peso) chilogrammi di patate”. Quanti valori positivi di rendono questa affermazione vera, supponendo che possa posizionare i pesi su entrambe le pentole?
(A) 7 (B) 10 (C) 12 (D) 13 (E) 14